求解直角三角形意味着计算其主要元素：锐角（$\hat{B}$ 和 $\hat{C}$）和边（$a$、$b$、$c$）。为此，有必要提供关于三角形的两个信息，其中至少一个是与其相连的线段的测量值（边长、高度、中线、角平分线等）——只有角度，我们知道形状但不知道大小。

故事

几个世纪以来，解直角三角形一直是测量员、航海家和炮兵的日常工作。为了测量地面角度，英国人 Leonard Digges 描述了一种他称为 theodelitus 的仪器，它是经纬仪的祖先，至今仍出现在街道上的三脚架上。该描述出现在Pantometria（“通用测量”）中，这是伦纳德未完成的一本书，由他的儿子Thomas Digges完成并出版于1571。有了测量的角度和已知的距离，三角函数表就完成了剩下的工作。

无需攀爬即可测量塔楼：使用经纬仪测量从瞄准器到顶部的角度 $\alpha$，使用链条测量到底座的距离 $d$；仪器上方的高度为 $h = d\operatorname{tg}\alpha$。

来源： Thomas Digges (MacTutor) · L. Digges 和 T. Digges，Pantometry (1571)。

在日常生活中

  • 消防梯。 倾斜于 $70^\circ$ 的 20 米梯子高度达到 $20\operatorname{sen} 70^\circ \approx 18{,}8$ 米（加上卡车的高度）。
  • **入口坡道。**为了克服 80 厘米和 8,33% 坡度，坡道需要 $0{,}80 \div 0{,}0833 \approx 9{,}6$ 米的水平投影。
  • **风筝和无人机。**当距地面 $35^\circ$ 处有 100 米的线时，风筝的高度约为 $100\operatorname{sen} 35^\circ \approx 57$ 米（实际线是弯曲的，因此这是头顶估计值）。
消防员梯：从20米到$70^\circ$，梯尖到达$20\operatorname{sen}70^\circ \approx 18{,}8$米。

理论

解决直角三角形有五个经典问题。总共，$\hat{A} = 90^\circ$。

Exemplo第一个问题 — 给定斜边 a 和锐角 B

$$\hat{C} = 90^\circ - \hat{B} \qquad b = a\operatorname{sen}\hat{B} \qquad c = a\cos\hat{B}$$

Exemplo第二个问题 — 给定斜边 a 和边 b

$$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$$$\operatorname{sen}\hat{B} = \frac{b}{a} \Rightarrow \hat{B} = \operatorname{arc\,sen}\frac{b}{a}$$$$\cos\hat{C} = \frac{b}{a} \Rightarrow \hat{C} = \operatorname{arc\,cos}\frac{b}{a}$$

Exemplo第三个问题 — 给定一侧 b 和邻角 C

$$\hat{B} = 90^\circ - \hat{C} \qquad c = b \cdot \operatorname{tg}\hat{C} \qquad a = \frac{b}{\cos\hat{C}}$$

Exemplo第四个问题 — 给定一侧 b 和对角 B

$$\hat{C} = 90^\circ - \hat{B} \qquad c = \frac{b}{\operatorname{tg}\hat{B}} \qquad a = \frac{b}{\operatorname{sen}\hat{B}}$$

Exemplo第 5 个问题 — 给定两条腿 b 和 c

$$a = \sqrt{b^2 + c^2}$$$$\operatorname{tg}\hat{B} = \frac{b}{c} \Rightarrow \hat{B} = \operatorname{arc\,tg}\frac{b}{c}$$$$\operatorname{tg}\hat{C} = \frac{c}{b} \Rightarrow \hat{C} = \operatorname{arc\,tg}\frac{c}{b}$$

Atenção不是面的骰子

当数据是其他段（高度、角平分线、周长、内切圆半径）时，首先建立将它们连接到边的方程（第一部分中的度量关系有很大帮助），然后才回到五个问题之一。这就是练习 352 到 359 中发生的情况。

Exemplo一个完整的例子

用 $a = 10$ 和 $\hat{B} = 30^\circ$ 解直角三角形（第一题）：$\hat{C} = 60^\circ$、$b = 10\operatorname{sen} 30^\circ = 5$ 和 $c = 10\cos 30^\circ = 5\sqrt{3}$。用毕达哥拉斯检查：$5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 75 = 100 = 10^2$。

应用：最短坡道

靠在墙上的是一个宽度为 $a$ 和高度为 $b$ 的块。直坡道必须离开地板，准确穿过街区的顶角并终止于墙壁。坡道越短，使用的覆盖材料（大理石、花岗岩）就越少。哪个斜率 $\alpha$ 给出最短的斜坡？

拐角将坡道分成两部分，每部分都是直角三角形的斜边。顶部有一条水平腿 $a$，与 $\alpha$ 相邻；底部有一条垂直腿 $b$，与 $\alpha$ 相对。然后

$$L(\alpha) = \frac{a}{\cos\alpha} + \frac{b}{\operatorname{sen}\alpha}.$$

站立或躺下时坡度太大会变长；最好的是中间的。通过导数，将 $L'(\alpha)$ 等于零，我们得到 $\dfrac{a\operatorname{sen}\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{b\cos\alpha}{\operatorname{sen}^2\alpha}$，即

$$\operatorname{tg}^3\alpha^\star = \frac{b}{a} \qquad\Longrightarrow\qquad \operatorname{tg}\alpha^\star = \sqrt[3]{\frac{b}{a}}.$$
更改斜率并查看图表上的长度 $L(\alpha)$。绿点是最小值，位于 $\operatorname{tg}\alpha^\star = \sqrt[3]{b/a}$。

Exemplo块宽 8 米，高 1 米

对于 $a = 8$ 和 $b = 1$：$\operatorname{tg}\alpha^\star = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$。然后 $\cos\alpha^\star = \frac{2}{\sqrt{5}}$、$\operatorname{sen}\alpha^\star = \frac{1}{\sqrt{5}}$ 和

$$L_{\min} = \frac{8\sqrt{5}}{2} + \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{1} = 5\sqrt{5} \approx 11{,}18 \text{ m}.$$

同样的计算回答了经典问题：放在地面上、穿过高度为 $b$ 的墙壁并到达墙后距离 $a$ 的墙壁的最短梯子是多少？

本节中的练习是[章节列表]中的编号352到359（/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap09-triangulos-retangulos/04-exercicios/).