Euler's Eyes
2026-10-24
第九章练习——直角三角形
总是画一个图形：标记直角、数据和未知数。然后选择未知数和数据一起出现的直角三角形。
度量关系
计算图中所示的元素$a$、$h$、$m$和$n$（类别$b = 4$和$c = 3$）。
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为 $c = 3$ 和 $b = 4$：
$$a^2 = b^2 + c^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow a = 5$$$$h = \frac{bc}{a} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5}$$$$m = \frac{c^2}{a} = \frac{9}{5}$$$$n = \frac{b^2}{a} = \frac{16}{5}.$$计算图中的元素$x$、$y$、$z$、$t$：腿的尺寸为12和5，$t$是斜边，$x$是相对于斜边的高度，$y$和$z$是腿5的投影， 12 在斜边上。
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$x = \dfrac{60}{13}$, $y = \dfrac{25}{13}$, $z = \dfrac{144}{13}$, $t = 13$
写出涉及图形元素的 6 度量关系：直角三角形，边为 $\alpha$ 和 $\beta$，斜边为 $\gamma$，相对于斜边的高度为 $\varphi$，该三角形分为投影 $\delta$（来自 $\alpha$）和 $\varepsilon$（来自 $\beta$）。
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例如：$\alpha^2 = \gamma\delta$、$\beta^2 = \gamma\varepsilon$、$\varphi^2 = \delta\varepsilon$、$\alpha^2 + \beta^2 = \gamma^2$、$\alpha\beta = \gamma\varphi$、$\alpha^2 = \delta^2 + \varphi^2$
计算直角三角形的面积，其中直角三角形的直角边在斜边上的投影分别为 4 和 9。
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$39$
计算周长为 56 且高度相对于斜边 $\dfrac{168}{25}$ 的直角三角形的斜边。
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$25$
等腰三角形 $ABC$ 具有底边 $a = 12$，并且内接于直径为 $2R = 20$ 的圆。计算三角形边 $b$ 和 $c$ 的尺寸。
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将顶点$A$连接到中心$O$，我们得到一条在$D$处切割圆的直线：$\overline{AD}$是直径。由于$AD$是$\overline{BC}$的垂直平分线，所以我们有$AD \perp BC$和$BM = MC = 6$。三角形$ADC$是$C$的矩形（内接于半圆），$\overline{CM}$是它的高度。对于 $AM = y$ 和 $MD = 20 - y$：
$$6^2 = y(20 - y) \Longrightarrow y^2 - 20y + 36 = 0 \Longrightarrow y = 2 \;\text{ ou }\; y = 18.$$然后是$b^2 = 6^2 + y^2$，即$b^2 = 40$或$b^2 = 360$。有两种可能的三角形：$b = c = 2\sqrt{10}$（当 $A$ 和中心 $O$ 位于底边的相对侧时，$y = 2$）或 $b = c = 6\sqrt{10}$（当它们位于同一侧时，$y = 18$）。
已知外接圆的半径 $R$ 和底面 $a$，计算 等腰三角形 的高度。数据：$R = 5$ 和 $a = 8$。
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$h = 8$ 或 $h = 2$
计算以 等腰三角形 为底 6 外接圆的半径，其其他边的尺寸为 $\sqrt{90}$。
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$5$
点 $P$ 距半径为 $R = 5$ 的圆的中心 $O$ 的距离为 $d = 13$。如果我们通过 $P$ 在点 $T$ 处画一条与圆的切线，则线段 $\overline{PT}$ 的尺寸是多少？
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$PT = 12$
计算半径为 $R$ 的圆内接的正八边形的边。
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$\ell_8 = R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$
三角比率
计算直角三角形的内角，其边为 $b = 9$ 和 $c = 12$。
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答案：$\hat{A} = 90^\circ$、$\hat{B} = \operatorname{arc\,tg}\frac{3}{4}$（关于$36^\circ 52'$）和$\hat{C} = \operatorname{arc\,tg}\frac{4}{3}$（关于$53^\circ 8'$）。
计算直角三角形的边，已知相对于斜边的高度为 $h = 4$，锐角为 $\hat{B} = 30^\circ$。
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$a = \dfrac{16\sqrt{3}}{3}$, $b = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}$, $c = 8$
计算直角三角形的边，已知相对于斜边的高度为 4，并与边 $b$ 形成 $15^\circ$ 角。
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$a = 16$, $b = \dfrac{16}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$, $c = \dfrac{16}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$
计算直角三角形 $ABC$ 的边，知道它内接于半径为 3 的圆并具有锐角，例如 $\hat{B} = 2\hat{C}$。
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$b = 3\sqrt{3}$ e $c = 3$
计算斜边直角三角形的锐角 20，已知相对于其中一条边的中位数为 15。
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$\operatorname{arc\,tg}\sqrt{\dfrac{5}{7}}$ e $\operatorname{arc\,tg}\sqrt{\dfrac{7}{5}}$
(FFCLUSP-66) 图中，角度$O\hat{A}_iB_i$和$O\hat{B}_{i+1}A_i$($i = 0, 1, 2, 3, \ldots$)是直角。就 $\overline{A_0B_0}$ 和 $\theta$ 而言，段 $\overline{A_0B_0}$、$\overline{A_1B_1}$、$\overline{A_2B_2}$、… 的总和值多少？
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在三角形 $A_0B_1B_0$ 中，在 $B_1$ 中为矩形，在 $B_0$ 中角度的测量值为 $90^\circ - \theta$；标志 $A_0B_1 = A_0B_0\cos\theta$。同样，在三角形$A_0A_1B_1$中，在$A_1$、$A_1B_1 = A_0B_1\cos\theta = A_0B_0\cos^2\theta$中为矩形。每个垂直线段都是前一个线段乘以 $\cos^2\theta$：总和是比率 $\cos^2\theta < 1$ 的无限几何级数，
$$A_0B_0\,(1 + \cos^2\theta + \cos^4\theta + \cdots) = \frac{A_0B_0}{1 - \cos^2\theta} = \frac{A_0B_0}{\operatorname{sen}^2\theta} = A_0B_0\operatorname{cossec}^2\theta.$$Ver resposta
$A_0B_0 \cdot \operatorname{cossec}^2\theta$
计算边长比为 $\dfrac{3}{4}$ 的矩形的对角线与最小边形成的角度。
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$\operatorname{arc\,tg}\dfrac{4}{3}$
已知$\hat{A} = 45^\circ$，计算底为$a = 8$的等腰三角形$ABC$的面积。
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绘制高度 $\overline{AM}$，将三角形分为两个全等部分，即 $\hat{A}' = \hat{A}'' = 22^\circ 30'$ 和 $BM = MC = 4$。然后
$$\operatorname{tg} 22^\circ 30' = \frac{MC}{AM} \Longrightarrow AM = \frac{4}{\operatorname{tg} 22^\circ 30'} = \frac{4\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}},$$使用 $\operatorname{tg} 22^\circ 30' = \sqrt{\frac{1 - \cos 45^\circ}{1 + \cos 45^\circ}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$（弧线一半）。面积为
$$S = \frac{BC \cdot AM}{2} = \frac{16\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}} = 16(\sqrt{2} + 1),$$因为$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{4 - 2}} = \sqrt{2} + 1$。
计算周长为 $2p = 36$ 的 等腰三角形 相对于底边的高度，已知与底边相邻的角度等于 $\operatorname{arc\,cos}\dfrac{2}{7}$。
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设 $a$ 为底，$b$ 各边相等。高度将底面分成两半，得到$\frac{a}{2} = b\cos\hat{B} = \frac{2b}{7}$，即$a = \frac{4b}{7}$。从周边开始，$\frac{4b}{7} + 2b = 36$，然后是$b = 14$和$a = 8$。然后$h = \sqrt{14^2 - 4^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$。
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$h = 6\sqrt{5}$（边尺寸为 14、14 和 8）。打印的模板显示$2\sqrt{37}$，这是一个与数据不兼容的值。
计算以 等腰三角形 为底 $a = 8$ 外接圆的半径以及与底 $\hat{A} = 120^\circ$ 相对的角度。
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$R = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
一条直线在半径为 10 的圆上确定长度为 16 的弦。观察绳子的中心角是多少？
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$2\operatorname{arc\,sen}\dfrac{4}{5}$
确定直角三角形 $ABC$ 在 $A$ 中的角度 $\hat{B}$，已知关系 $\dfrac{1}{c} + \dfrac{2}{b} = \dfrac{\sqrt{5}}{h}$ 已验证，其中 $h$ 是相对于斜边的高度。
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$\hat{B} = \operatorname{arc\,tg}\dfrac{1}{2} \approx 26^\circ 34'$
在与$A$成直角的三角形$ABC$中，已知中线$\overline{BM}$和$\overline{CN}$所形成的锐角是$\theta = 30^\circ$。计算角度 $\hat{C}$。
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$\hat{C} = \dfrac{1}{2}\operatorname{arc\,sen}\dfrac{4}{3\sqrt{3}}$（或该角度的补角，因为 $B$ 和 $C$ 的角色可以互换）
在 $A$ 中的直角三角形 $ABC$ 中，绘制了内部 角平分线、$\overline{BB'}$ 和 $\overline{CC'}$。已知 $AB' = 1$ 和 $AC' = 1$，计算角度 $\hat{B}$ 和斜边 $a$。
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$\hat{B} = 2\operatorname{arc\,tg}(\sqrt{2} - 1) = 45^\circ$ 和 $a = 2 + \sqrt{2}$。打印的模板给出$a = 2\sqrt{2}$；但是，使用 $\hat{B} = 45^\circ$、$c = \frac{1}{\operatorname{tg} 22^\circ 30'} = \sqrt{2} + 1$ 和 $a = c\sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$。
已知内接圆的半径为$r = 2$米，计算斜边$a = 13$米的直角三角形的锐角。
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$\operatorname{arc\,sen}\dfrac{5}{13}$ e $\operatorname{arc\,sen}\dfrac{12}{13}$
观察者以 $60^\circ$ 的角度看到一座建在平地上的建筑物。距离建筑物30米远一点，可以从$45^\circ$角度看到它。大楼有多高？
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在三角形 $BXY$ 中：$\operatorname{tg} 60^\circ = \dfrac{h}{\ell} \Rightarrow \ell = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$。在三角形 $AXY$ 中：$\operatorname{tg} 45^\circ = \dfrac{h}{\ell + 30} \Rightarrow h = \ell + 30$。然后
$$h = \frac{h}{\sqrt{3}} + 30 \Longrightarrow h = \frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = 15\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1) = 45 + 15\sqrt{3} \approx 71 \text{ m}.$$(MAUÁ-68) 为了测量垂直塔 $\overline{DE}$ 的高度，在穿过塔底 $D$ 的水平面上截取长度 12 m 且中点为 $C$ 的线段 $\overline{AB}$。测量角度$D\hat{A}E$、$D\hat{B}E$和$D\hat{C}E$，验证$D\hat{A}E = D\hat{B}E = 45^\circ$和$D\hat{C}E = 60^\circ$。确定塔的高度。
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$h = 3\sqrt{6}$ m
计算摩天大楼两个窗户窗台之间的距离，已知从地面上的点 $O$ 观察到的角度 $\alpha$ 和 $\beta$ ($\alpha < \beta$) 以及从该点到建筑物的距离 $d$。
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$h = d(\operatorname{tg}\beta - \operatorname{tg}\alpha)$
(MAUÁ-65) 为了获得烟囱 $\overline{CD}$ 的高度 $H$，工程师使用特殊设备确定了水平 $\overline{AB}$（烟囱中的 $B$）并测量了角度 $\alpha = B\hat{A}C$（向下，到底部 $C$）和 $\beta = B\hat{A}D$（向上，到顶部 $D$），具有以下测量结果 $BC = h$。确定烟囱的高度。
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$H = h\left(\dfrac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha} + 1\right)$
(MAUÁ-67) 观察者位于高速公路上的直线和水平部分，该部分位于同一垂直平面上，该平面上包含山顶的电视塔。从该部分的两个位置 $A$ 和 $B$（彼此相距 60 米），观察者分别在 $30^\circ$ 和 $31^\circ 53'$ 角度下看到塔的上端。测量角度的设备放置在轨道上方 1,50 米，即海拔 721,50 米。确定塔末端相对于海平面的高度。数据：$\operatorname{tg} 31^\circ 53' \approx 0{,}62$。
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令 $x$ 为从 $B$ 到塔的水平距离，$t$ 为设备上方顶部的高度。然后是$t = 0{,}62\,x$和$t = (x + 60)\operatorname{tg} 30^\circ$。对于 $\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}5774$：
$$0{,}62x = 0{,}5774x + 34{,}64 \Longrightarrow x \approx 812 \text{ m} \Longrightarrow t \approx 504 \text{ m}.$$海拔高度为$721{,}50 + 1{,}50 + 504 \approx 1227$米。
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大约 $1227$ m（打印模板给出 $1233$ m；结果对 $\operatorname{tg} 30^\circ$ 的舍入非常敏感，因为 $0{,}62 - \operatorname{tg} 30^\circ$ 的差异很小）
(LINS-66) 图中，$A$、$C$和$B$在地板上对齐$AC = CB = 60$米； $\overline{AM} = x$和$\overline{BN} = y$是垂直的； $N\hat{A}B = 2\alpha$、$M\hat{B}A = \alpha$ 和 $M\hat{C}N = 90^\circ$。计算距离 $x$ 和 $y$。
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三角形 $MAC$ 和 $CBN$ 相似（角度 $M\hat{C}A$ 和 $C\hat{N}B$ 相等，因为它们都完成 $N\hat{C}B$ 到 $90^\circ$）：$\frac{x}{60} = \frac{60}{y}$，即 $xy = 3600$。另外，$\operatorname{tg}\alpha = \frac{x}{120}$ 和 $\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{y}{120}$。由双弧公式，
$$\frac{y}{120} = \frac{2 \cdot \frac{x}{120}}{1 - \frac{x^2}{14\,400}} \Longrightarrow \frac{3600}{x} = \frac{28\,800x}{14\,400 - x^2} \Longrightarrow 14\,400 - x^2 = 8x^2 \Longrightarrow x = 40,$$e $y = \frac{3600}{40} = 90$.
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$x = 40$ m e $y = 90$ m
解直角三角形
求解直角三角形 $ABC$，已知内部 角平分线 $S_b = 5$ 的尺寸和角度 $\hat{C} = 30^\circ$。
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立即是$\hat{B} = 60^\circ$和$\frac{\hat{B}}{2} = 30^\circ$。在直角三角形 $ABS$ 中（$S$ 是 角平分线 的脚，在 $\overline{AC}$ 上方）：
$$c = 5\cos 30^\circ = \frac{5\sqrt{3}}{2}.$$然后是$a = \dfrac{c}{\cos\hat{B}} = \dfrac{5\sqrt{3}/2}{1/2} = 5\sqrt{3}$和$b = a\operatorname{sen}\hat{B} = 5\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15}{2}$。
给定 $b = 3$ 和 $a - c = \sqrt{3}$ 求解直角三角形 $ABC$。
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$\hat{B} = 60^\circ$, $\hat{C} = 30^\circ$, $a = 2\sqrt{3}$ e $c = \sqrt{3}$
已知 $a + b = 18$ 和 $a + c = 25$，求解 $A$ 中的直角三角形 $ABC$。
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$a = 13$, $b = 5$, $c = 12$, $\hat{B} = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{5}{13}$, $\hat{C} = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{12}{13}$
已知 $a = 4$ 且 $\overline{BE}$ 内 角平分线 的度量为 $S_b = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$，求解直角三角形 $ABC$。
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$\hat{B} = 30^\circ$, $\hat{C} = 60^\circ$, $b = 2$, $c = 2\sqrt{3}$
求解一个直角三角形，已知相对于斜边的高度 $h = 1$ 和周长 $2p = 2\sqrt{2} + 2$。
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$a = 2$, $b = c = \sqrt{2}$, $\hat{B} = \hat{C} = \dfrac{\pi}{4}$
求解 等腰三角形 $ABC$，已知相对于底面 $\overline{BC}$ 的高度为 $h = 24$，周长为 $2p = 64$。
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$a = 14$, $b = c = 25$, $\hat{A} = 2\operatorname{arc\,sen}\dfrac{7}{25}$, $\hat{B} = \hat{C} = \operatorname{arc\,cos}\dfrac{7}{25}$
已知内切圆的半径 $r = 2$ 和相对于斜边的高度 $h = \dfrac{60}{13}$，求解直角三角形 $ABC$。
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$a = 13$, $b = 12$, $c = 5$, $\hat{B} = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{12}{13}$, $\hat{C} = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{5}{13}$
解直角三角形 $ABC$，已知相对于斜边的高度 $h = 2$ 和位于直角的外切圆的半径 $r' = 2\sqrt{2} + 2$。
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$a = 4$, $b = c = 2\sqrt{2}$, $\hat{B} = \hat{C} = \dfrac{\pi}{4}$