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第2章：参考文献与图片来源

延伸阅读 索绪尔，《普通语言学教程》。原著：Cours de linguistique générale. Paris: Payot, 1916. Peirce, Charles Sanders. Collected Papers of Charles Sanders Peirce. 8 卷. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1931–1958. 第 2 卷收录了关于像似符、指示符与规约符的文章。 Peirce, Charles Sanders. The Essential Peirce: Selected Philosophical Writings. 2 vols. Bloomington: Indiana University Press, 1992–1998. Morris, Charles W. Foundations of the Theory of Signs. Chicago: University of Chicago Press, 1938. Duval, Raymond. Sémiosis et pensée humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Bern: Peter Lang, 1995. Duval, Raymond. A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61, 2006, p. 103–131. Falkner, Karen P.; Levi, Linda; Carpenter, Thomas P. Children’s understanding of equality: a foundation for algebra. Teaching Children Mathematics, 6(4), 1999, p. 232–236. Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton: Princeton University Press, 2014. Swetz, Frank J. Capitalism and Arithmetic: The New Math of the 15th Century. La Salle: Open Court, 1987. 收录了《特雷维索算术》（1478）的译文，其中有比例法则和格子乘法。 Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 卷. Chicago: Open Court, 1928–1929. 关于分数线、比例法则的名称和比例符号。 本站早期关于分数、乘法和比例法则的文章，提供了分子和分母的词源、埃及乘法、帕乔利的格子乘法，以及比例法则名称的表格。

October 11, 2026 阅读
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如何阅读一种记号：指南与术语表

如果数学记号是一种透明的代码，有一本词典就够了：$+$ 表示“加”，$=$ 表示“等于”，仅此而已。这一章说明了事情并非如此。同一道横线，可能是运算，也可能是一个数的名字；等号是天平而不是箭头；空白在 $ab$ 中表示相乘，在 $23$ 中却不是；根号只给出一个值，尽管方程有两个解。读数学，就是为每个公式重建书写、对象和规则之间的关系。 这篇文章把本章的工具汇集成一份实用指南。 面对陌生公式的七个问题 写了什么？ 看看符号、字母、每个符号的位置（上、下、相连、分开）和组合方式。这是句法。 需要知道哪些约定？ 运算顺序、特定字母的意义（$\pi$、$e$、$i$）、该领域的记号。如果某个约定不是通常的那种，文中应当说明。 表达式指的是什么对象？ 一个数、一个函数、一个集合、一个命题？在什么范围内？这是语义。 它要我做什么？ 计算、求解、证明、比较、作图？“求 $x$”和“设 $x$ 为任意数”要求的是相反的事。这是语用。 哪些变换是允许的？ 计算的每一步都需要一条许可它的规则，有时还需要一个前提：除以 $a$ 要求 $a\ne0$；$\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$ 要求 $a,b\ge0$。 同样的内容有没有别的语域？ 图形、表格、句子、图像？各自最能显示什么？ 这种表示隐藏了什么？ 图形不一定按比例；表格只显示部分值；公式可能隐藏前提；图像的刻度可能被拉长。 能动的记号的检验 从本书第一篇文章起，我们就在使用能动的记号与贫瘠的记号这一对概念。借助皮尔斯的工具，可以把它变成一个包含三个问题的检验： 形状是否复现了对象的关系？ $\frac{dy}{dx}$ 有比的形状，因为导数是比的极限。$\dot y$ 什么也没有复现。 看着它，能否发现原本没有刻意放进去的东西？ 这是皮尔斯判断像似符的标准。位值制让人看出 9 的乘法表的规律；罗马数字不能。 它在新问题上是否依然管用？ 凯莱为线性方程组创造的矩阵，后来被用于旋转、量子力学和计算机。 还有一个提醒，欧拉的平方根已经说得很清楚：能动的记号也会提示错误的步骤。形状越是诱人，就越要知道规则在多大范围内成立。 对 dy/dx 的完整解读 最后，用七个问题来读一读 $\dfrac{dy}{dx}$： 书写： 两个表达式 $dy$ 和 $dx$，用分数线上下叠放。 约定： $d$ 不是乘以 $y$ 的变量，而是莱布尼茨的算子，取自 differentia。 对象： $y$ 对 $x$ 的导数，今天定义为一个极限：$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}$。 它要求什么： 取决于上下文；可能是计算变化率、求切线、建立微分方程。 变换： 分数的形状允许链式法则和积分中的换元，但并不允许一切对普通分数成立的操作。 其他语域： 图像在该点切线的斜率；拉格朗日的记号 $y'$；如果变量是时间，还有牛顿的 $\dot y$。 它隐藏了什么： 极限是存在的（并非每个函数都有导数）；单独的 $dy$ 和 $dx$ 只在更高深的理论中才有严格的意义。 一个只有五个字符的记号，承载着三百年的历史、一个定义、一组规则，以及至少三种画法。

October 11, 2026 阅读
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公式、表格与图像：处理与转换

1637 年笛卡儿出版《几何学》时，他既没有发明曲线，也没有发明方程。两者都已存在了几个世纪。他发明的是两者之间的一座桥：通过测量到一条参考直线的距离，把每条曲线变成一个方程，把每个方程变成一条曲线（今天所说的笛卡儿坐标系中那两条互相垂直的坐标轴，是在他之后才确立的）。笛卡儿平面首先是一部把一种书写翻译成另一种书写的机器。 这种翻译我们太熟悉了，以至于忘了它有多难。法国人雷蒙·杜瓦尔毕生研究为什么那么多计算很好的学生，一看到图像就卡住了，他得出的一个想法，今天已是数学教育的核心。 表征语域 杜瓦尔把有自己规则的符号系统称为表征语域：葡萄牙语或中文、代数书写、表格、笛卡儿坐标图、几何图形。同一个对象，比如“加倍再加一”的函数，在所有这些语域中都会出现： 用文字说：“对每个输入，输出是它的两倍加一”； 用公式写：$f(x)=2x+1$； 用表格列：数对 $(0,1)$、$(1,3)$、$(2,5)$； 用图像画：一条在 $1$ 处与纵轴相交、每向右走 $1$ 就上升 $2$ 的直线。 拖动下面的图，在三种语域中追踪同一个点： 改变输入 x，在公式、表格和图像之间切换。高亮的点在三种语域中追踪的是同一个关系 f(x) = 2x + 1。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 没有哪一种语域是其他语域的副本。公式最适合计算 $f(100)$。表格展示具体的情形，但只是一部分。图像一眼就显示出函数在增长，以及增长多少。文字说明我们在谈论什么。每一种都照亮了对象的一部分，又把另一部分留在暗处。 处理与转换 杜瓦尔最有用的区分，把两种看似相同、实则不同的活动分开了。 处理是在一个语域内部进行的变换。解方程是一种代数处理： $$2x+1=7\iff 2x=6\iff x=3.$$约分、多项式因式分解、把表格各栏相加，也都是处理。它们遵循语域自身的规则，而学校把这类任务训练得很好。 转换是从一个语域到另一个语域的过渡：从公式到图像，从句子到方程，从表格到公式。要画出 $f(x)=2x+1$ 的图像，必须知道那个 $1$ 变成了直线与纵轴的交点，那个 $2$ 变成了斜率。没有任何代数规则教你这一点；你必须知道两个语域如何对应。 数对 (0, 1)、(1, 3)、(2, 5) 都在 f(x) = 2x + 1 的图像上。为本书绘制的教学示意图。 上面的表格给出了三个点。为什么可以用直线把它们连起来？不是因为这些点：三个共线的点也可以落在无穷多条弯弯曲曲的曲线上。可以连成直线，是因为公式说明了这个函数是一次函数。从表格到图像的转换，依赖于只有公式才有的信息。

October 11, 2026 阅读
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平方根：正方形的边与遗忘了来历的符号

两个看起来一样的问题： 问题 答案 $\sqrt9$ 等于多少？ $3$ 哪些实数满足 $x^2=9$？ $3$ 和 $-3$ 很多人觉得第一行很奇怪。既然 $(-3)^2$ 也等于 $9$，为什么 $\sqrt9$ 不是“$\pm3$”？答案在第 1 章里，在这个符号古老的名字里。Radix quadrati 就是正方形的边。面积为 $9$ 的正方形边长是 $3$，没有哪条边的长度是 $-3$。 面积为 9 的正方形，边长是 3。方程 x² = 9 有两个解，但边长只有一个。为本书绘制的教学示意图。 一个符号，一个值 现代数学把对正方形的记忆保存在一个定义里：对于 $a\ge0$，符号 $\sqrt a$ 表示平方等于 $a$ 的那个唯一的非负数。这也有句法上的理由。一个符号如果接收一个数后，有时给出一个值、有时给出两个值，就无法参与计算：$\sqrt9+1$ 是多少？$4$ 还是 $-2$？要让 $\sqrt{\phantom{a}}$ 像其他运算一样工作，它就必须给出一个答案，而几何告诉我们是哪一个。 这并没有抹掉 $-3$。它仍然是 $x^2=9$ 的解，显示两个解的写法是 $$x^2=9\iff x=\sqrt9\ \text{ 或 }\ x=-\sqrt9\iff x=\pm3.$$$\pm$ 出现在根号外面，因为有两个解的是方程，而不是符号。这就是为什么二次方程求根公式在根号前面写了一个 $\pm$：根号本身只给出一个值，$\pm$ 要求两个都要。

October 11, 2026 阅读
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等号是天平，不是箭头

方框里应该填什么数？ $$8+4=\square+5$$1990 年代末，美国研究者卡伦·福克纳、琳达·利瓦伊和托马斯·卡彭特把这个问题拿去问一到六年级的学生。在每个年级，答 $7$ 的都不到十分之一。最常见的答案是 $12$ 和 $17$。 答 $12$ 的学生算了 $8+4$，像往常一样把结果写在 $=$ 后面。答 $17$ 的学生把看到的数全加了起来。两组人都没有算错。他们都读错了等号。 箭头还是天平？ 对很多学生来说，$=$ 的意思是“结果是”。这是计算器教给我们的读法：按下 $8$、$+$、$4$，再按 $=$ 键，它就做出计算，显示答案。按这种读法，等号是一支箭头：左边是问题，右边是答案，计算只朝一个方向走。 可这并不是雷科德在 1557 年画下的意思。两条一样长的平行线说的是：两样东西价值相同。等号是一架天平：两个托盘是平衡的，哪一边在左边都无所谓。 两边都等于 12。方框里填 7，因为 7 + 5 = 12。等式可以从两个方向读。为本书绘制的教学示意图。 按天平的读法，答案一目了然：左盘重 $12$，右盘也必须重 $12$，还差 $7$。在方框里填 $12$，就会得到 $8+4=12+5$，也就是 $12=17$，一架失去平衡的天平。 天平的读法还说明了为什么 $7=3+4$ 和 $3+4=7$ 一样正确，为什么 $3+4=5+2$ 是一个完全正确的句子，尽管它根本没有“结果”。用数学语言来说，相等是一种对称关系：如果 $A=B$，那么 $B=A$。 等号连写 箭头式的读法，会在书写计算过程时造成一个很常见的错误：$5\cdot3=15+2=17$。本意是好的（先算 $5\cdot3$，再加 $2$），可写出来的意思是 $5\cdot3$ 等于 $15+2$，这是错的，因为 $15\ne17$。把等号读成“然后”的人看不出问题；把它读成天平的人则会看到三个不平衡的托盘。 逐个符号读一个方程 正是天平的读法让代数成为可能。回到第 1 章的那个方程，“一个量加上它的一半，得五”：

October 10, 2026 阅读
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当位置就是算法：乘法与比例法则

上一篇文章我们看到，符号的位置是公式意义的一部分：括号、指数和分数线显示零件如何组合。有些完整的计算方法把这个想法推到了极致：每个数写在什么位置，本身就是算法。知道把数放在哪里的人，就已经会做这道题了。本站早期的文章收集了三个例子，分属三个不同的时代。 埃及人：靠加倍做乘法 三千五百多年前，埃及书吏不用乘法表就能做乘法。他们用两栏：左栏是从 $1$ 开始的 $2$ 的幂；右栏是其中一个因数，每次加倍。计算 $21\times37$： 1 的加倍 37 的加倍 ✓ $1$ $37$ $2$ $74$ ✓ $4$ $148$ $8$ $296$ ✓ $16$ $592$ 在左栏中，标出加起来等于 $21$ 的那几行：$16+4+1=21$。在右栏中，只把标出的行相加：$592+148+37=777$。完成：$21\times37=777$。 这看起来像魔术，本站早期的文章问道：“这是神秘主义吗？”不是。左栏的标记把 $21$ 写成了二进制： $$21=1\cdot2^4+0\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0=10101_2,$$而计算不过是分配律：$21\times37=(16+4+1)\times37$。埃及书吏做二进制算术，比莱布尼茨写到它早了三千多年。他们的表就是一种记号：打了 ✓ 的行和没打 ✓ 的行，就是 1 和 0。 帕乔利：在窗格里做乘法 1494 年，方济各会修士卢卡·帕乔利在威尼斯出版了《算术、几何、比与比例概要》，这是一部收录商人需要知道的一切的百科全书。在各种乘法中，他教了一种在被对角线切开的格子里做的方法，并解释了它的名字： 我们所说的 gelosia，是指那种通常装在有女眷居住的房屋窗户上的格栅。 — 卢卡·帕乔利，《算术概要》（1494） gelosia 是一种木制格窗，让人能看到街上，自己却不被看见。这种算法的版面就像那种格栅： 用格子乘法计算 23 × 12。每一格写上方数字与右侧数字之积；沿对角线相加，读出 0、2、7、6。根据本站早期文章为本书绘制的教学示意图。 把 $23$ 的各位写在上方，$12$ 的各位写在右侧。每一格填入相交的两个数字之积，十位写在对角线上方，个位写在下方：$1\times2=02$，$1\times3=03$，$2\times2=04$，$2\times3=06$。然后沿每一条对角带从下往上相加：$6$；$4+0+3=7$；$0+0+2=2$；$0$。结果是 $0276$，也就是 $23\times12=276$。 秘密又一次在于位置。格子里的对角带就是数位：第一条装个位，第二条装十位，第三条装百位。格子自己完成了学校算法中用“进位”和“每行左移一位”所做的事。本站早期的文章还用一张数位表展示了同一道题：

October 10, 2026 阅读
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公式的语法：括号、顺序与空白

2019 年，一道只有四个数的算式在社交网络上流传，引发了数以百万计的争论： $$8\div2(2+2)=\;?$$一半人回答 $16$，另一半人回答 $1$。不同品牌的计算器给出不同的答案。数学老师们也意见不一。最有意思的是：双方都有道理，各自依据一种约定。 回答 $16$ 的人从左往右读：$8\div2=4$，$4\cdot(2+2)=16$。回答 $1$ 的人认为，没有符号、“粘”在一起的乘法 $2(2+2)$ 构成一个整体，要先于除法计算：$8\div(2\cdot4)=1$。这两种约定都存在，严肃的书里也都在用。问题不在计算，而在句法：这个表达式的写法没有说清楚符号如何组合。数学家绝不会这样写；他会写成 $\frac{8}{2}(2+2)$ 或 $\frac{8}{2(2+2)}$，争论也就不存在了。 同样的零件，不同的组装 公式不是一串排队的符号，而是一种组装，组装方式本身就是意义的一部分。比较： $$a+b\cdot c\qquad\text{和}\qquad(a+b)\cdot c.$$零件是一样的：三个字母、一个 $+$、一个 $\cdot$。但按照通常的约定，第一个式子先做乘法；第二个式子里，括号迫使我们先做加法。取 $a=2$、$b=3$、$c=4$： 取 a = 2、b = 3、c = 4，两种组合分别得 14 和 20。为本书绘制的教学示意图。 括号是一种奇特的符号。它既不代表任何量，也不代表任何运算或对象。它只说明其他符号如何结合在一起。在莫里斯的分类中，它是纯粹句法性的。可它却改变了结果。 先乘后加的规则并不是自然法则，而是一种约定，它在十七到十九世纪之间确立下来，那时笛卡儿的代数开始在多项式中省去括号：写 $3x^2+2x+1$ 时，谁也不想写成 $(3\cdot(x^2))+(2\cdot x)+1$。这种约定的存在，是为了让最常见的表达式变短。 隐藏的树 每个表达式都有一个树状结构，读一个公式，归根结底就是重建这棵树。看看 $2(x+3)^2$： 如何组装 2(x + 3)²（点击继续） 从最“里面”的部分开始：$x+3$。 把结果平方：$(x+3)^2$。高高在上的小小指数，作用于整个括号。 乘以 $2$：$2\,(x+3)^2$。粘在左边的 $2$ 最后才起作用。 再和 $2x+3^2$ 比较一下，它的零件几乎一样。这里 $3^2$ 单独计算，$2x$ 是另一根枝杈，最后由加法把两者连起来。当 $x=1$ 时，第一个表达式得 $2\cdot16=32$，第二个得 $2+9=11$。

October 10, 2026 阅读
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对象及其表示：以分数为例

数五可以写成 $5$、$\text{V}$、“五”、five、二进制的 $101$，或者本子上的五道划痕。写法在变，数始终是同一个。到这里为止，没有什么值得惊讶的。 惊讶在于有人问：那么，五这个数到底在哪里？不在纸上，因为纸上只有写法。也不在一堆五个苹果里，因为苹果有颜色、重量和气味，而数一样也没有。从来没有人见过、也永远不会见到“本人”的数五。我们只能看到它的表示。 法国心理学家和哲学家雷蒙·杜瓦尔花了几十年研究人们如何学习数学，他给这个问题起了一个名字： 数学对象不像物理世界的对象那样可以通过感知接触到。我们只能通过表示接触它们。然而，又不能把对象与它的任何一种表示混为一谈。 — 雷蒙·杜瓦尔，论数学的“认知悖论”（2006，意译） 在生物学中，怀疑一张青蛙照片的人，可以到池塘去看看那只青蛙。在数学里，没有池塘。所以学数学在很大程度上就是学会在不同的表示中认出同一个对象，同时不把其中任何一种表示当成对象本身。 一个分数，多种读法 看看 $\frac12$。你看到了什么？一道横线和两个数字？一个除法？一块被掰成两半的巧克力？数轴上 $0$ 和 $1$ 之间的一个点？ 情境 对 $\frac12$ 的读法 一个比萨切成相等的两块 整体中的一部分 一升果汁由两个人平分 商 $1\div2$：每人半升 数轴 $0$ 与 $1$ 正中间的那个数 “30 个学生的一半” 一个算子：乘以 $\frac12$ “每射门两次进一个球” 两个量之间的比 这些读法都对，指的也都是同一个数。但每一种都照亮了它的不同侧面。“整体的一部分”这种读法，要求知道整体是什么：一小块巧克力的一半和一大块巧克力的一半，是同一个分数，却是不同数量的巧克力。 每根长条的一半保持了同样的比例，但数量取决于所选的单位。为本书绘制的教学示意图。 谁来计数，谁来命名 分数各部分的名称本身，就蕴含着一堂符号学课。分母（denominator）来自拉丁文 denominare，“命名”：下面的数说明这是哪一种部分，是二分之几、三分之几还是四分之几。分子（numerator）来自 numerare，“计数”：上面的数说明这样的部分有几个。在 $\frac34$ 中，$4$ 给出名字（四分之），$3$ 来计数（三个）。这和我们说话的方式完全一样：“四分之三”。 分开两者的那道横线也有自己的历史。印度数学家把一个数写在另一个数上面，中间不画线。北非的阿拉伯人大约在十二世纪加上了横线，比萨的列奥纳多正是从他们那里学到的。在 1202 年的《计算之书》中，他给出了本站早期文章喜欢引用的定义： 当任何一个数的上方出现一道横线，横线上方又写了另一个数时，上面的数比下面的数；下面的叫作分母，上面的叫作分子。 — 比萨的列奥纳多，《计算之书》（1202），意译 注意“上面的数比下面的数”：对斐波那契来说，分数已经是一个比，是两个数之间的关系，而不只是一块比萨。斜线 $3/4$ 出现得晚得多。它在 1784 年墨西哥的一份报纸上出现，1845 年英国人奥古斯塔斯·德摩根出于一个实际理由提倡使用它：在印刷的一行文字中，横线迫使排字工排出三行铅字，而斜线一行就够了。省了空间，也失去了一点清晰，我们在讲公式语法的那篇文章里会看到。 同一个数，四种写法 $$\frac12=\frac24=0.5=50\%.$$每种写法各有所长。当比萨被切成四块时，$\frac24$ 最合适。用计算器、或与 $0.48$ 比较时，小数 $0.5$ 最合适。要和别的百分数（比如银行利率）比较时，百分数最合适。选择表示本身就是解题的一部分：“$\frac38$ 和 $0.4$ 哪个大？”这个问题，一旦把两个量写成同一种形式，就变得容易了。

October 10, 2026 阅读
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皮尔斯：像似符、指示符与规约符

查尔斯·桑德斯·皮尔斯（1839–1914）同时是化学家、天文学家、大地测量学家、逻辑学家和哲学家。他为美国海岸测量局测量地球重力达三十年之久；他独立于弗雷格，创造了一套表示逻辑量词的记号；在剩下的时间里，他建立了二十世纪最有影响的符号理论。他在宾夕法尼亚州的一所房子里贫困而终，留下数万页手稿，至今仍在整理出版。 查尔斯·桑德斯·皮尔斯（1839–1914），美国哲学家、逻辑学家。拿破仑·萨罗尼 · 纽约公共图书馆 · Wikimedia Commons · 公有领域 皮尔斯是逻辑学家，也像逻辑学家那样思考。对他来说，符号学是“广义的逻辑”，他的思想用在数学上再合适不过。 是三，不是二 索绪尔认为符号有两面：能指和所指。皮尔斯则看到三个要素： 符号（或称再现体）：被感知到的东西，比如纸上的记号 $\pi$； 对象：符号所指的东西，即圆周与直径之比； 解释项：符号在读者身上产生的效果，它唤起的理解。 解释项不是读者本人，而是符号所引起的思想；这个思想本身又是一个新的符号，又能引起另一个思想，如此循环往复。看到 $2+3=5$，读者可能认出这是一个等式，可能用它来检验一个计算，也可能把它放进一个证明里。符号是同一个，解释项却取决于正在做的事情。皮尔斯把这个无尽的过程称为符号过程（semiosis）。 皮尔斯的符号—对象—解释项关系。按钮可以切换例子；图示是教学上的简化。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 像似符、指示符与规约符 皮尔斯最有名的分类，是按照符号与对象联系的方式来区分符号： 像似符（icon）靠相似来代表：肖像、地图、图形。画出来的三角形是三角形的像似符。 指示符（index）靠事实上的联系来代表：烟指示火，脚印指示有人经过，箭头指向一个地方。在图形中，顶点旁边的字母 $A$ 是指示符：它指着说“就是这个”。 规约符（symbol）靠约定或习惯来代表：文字、数字、$+$。只有学会了规则的人，它才起作用。 乍看之下，几乎每个数学符号都是皮尔斯意义上的规约符，而惊奇恰恰在这里。 每个方程都是像似符 皮尔斯意识到，这种分类不是一个符号一个符号地适用，而是适用于整个表达式。方程中的符号是规约符，但方程作为一个整体是像似符：它的形状复现了量与量之间关系的形状。他写道： 像似符的一个重大特征是：通过直接观察它，可以发现关于其对象的、超出构造它所需的那些真理之外的其他真理。[……]每个代数方程都是像似符，因为它借助代数符号（它们本身并不是像似符）展示了相关各量之间的关系。 — 查尔斯·S·皮尔斯，《皮尔斯文集》2.279 与 2.282（约 1893–1903） 第一句话是对本书所谓能动的记号最好的定义。当我们看着一种书写，就能发现原本并没有刻意放进去的东西时，这种书写就是能动的。莱布尼茨的链式法则是完美的例子：没有人为了让 $dy$ 约掉才画出 $\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}$，但形状就在那里，看着它的人就发现了这条法则。 再看一个古老得多的例子。画一个边长为 $a+b$ 的正方形，把每条边分成 $a$ 和 $b$ 两段： $$(a+b)^2 \;=\; \underbrace{a^2}_{\text{大正方形}} + \underbrace{ab+ab}_{\text{两个长方形}} + \underbrace{b^2}_{\text{小正方形}} \;=\; a^2+2ab+b^2.$$图形是这个恒等式的像似符：看着它，我们就看到有两个长方形，那么多学生忘掉的 $2ab$ 正是从这里来的。公式也是像似符，只是方式不同：它的形状让人看出，把 $b$ 换成 $-b$ 就得到 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，什么也不用画。

October 10, 2026 阅读
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什么是符号？索绪尔、莫里斯与减号

葡萄牙语的 leviano（轻率的）一词来自 leve（轻）。一个轻率的人之所以“轻”，是因为他不掂量自己行为的后果。在诗里读到这个词的人，可以同时听到两层意思：轻盈与轻率。本站早期的文章把它当作“符号上能动的”词语的例子：词只有一个，阅读的路径却有两条，正是这一点让它丰富。 在数学里，一些朴素得多的符号也有类似的情况。看看一道简单的横线能扮演多少角色： $$12-5,\qquad -5,\qquad -(a+b),\qquad -x.$$在第一个式子里，横线是两个数之间的运算：从 $12$ 中减去 $5$。在第二个里，它是一个数的名字的一部分：负五。在第三个里，它说“取括号里全部内容的相反数”。在第四个里，它说“$x$ 的相反数”，如果 $x$ 是负数，结果可能是正的。形状是同一个；变的是它所占的位置以及它的邻居。要读懂一个符号，光看它本身是不够的。 这正是符号学——研究符号的学问——所关心的：一样东西如何对某个人意味着另一样东西。 索绪尔：能指与所指 瑞士人费迪南·德·索绪尔（1857–1913）在日内瓦教语言学，却从没写过那本让他出名的书。他去世后，两位同事整理了学生的笔记，于 1916 年出版了《普通语言学教程》。 费迪南·德·索绪尔（1857–1913），瑞士语言学家。Wikimedia Commons · 公有领域 在索绪尔看来，符号有两个不可分割的面，就像一张纸的两面。一面是能指：被听到或看到的形式，比如“树”这个读音或这个字形。另一面是所指：这个形式唤起的概念。两者之间的联系没有任何自然的理由： 能指和所指的联系是任意的。 — 费迪南·德·索绪尔，《普通语言学教程》（1916） “树”这个读音一点也不像一棵树；在葡萄牙语里它是 árvore，在英语里是 tree。几乎所有的数学符号也是如此。$+$ 不像一个和；$7$ 里面没有七个任何东西。正如我们在第 1 章看到的，雷科德甚至试图让 $=$ 看起来像“相等”，但使用它的人并不需要知道这一点。 索绪尔还强调了第二点，它对数学更为重要：一个符号的价值，也在于它与系统中其他符号的差别。$6$ 之所以表示六，部分是因为它不是 $5$ 也不是 $7$；$<$ 之所以表示“小于”，是因为它与 $>$ 相对立。一个孤立的、脱离系统的符号，几乎什么也不表示。 任意，但不自由 任意并不意味着每个人想怎么用就怎么用。共同体本可以为加法选另一个符号，但既然选了 $+$，就没有人能在计算中途不打招呼地改掉它。自由在于约定的起源；而使用约定则需要纪律。正因如此，数学书总是从定义符号开始；也正因如此，一种新记号只有在许多人学会以同样方式阅读它时，才能流行起来。 逗号还是小数点？ 在巴西和欧洲大部分地区，人们写 $3{,}14$；在美国、英国和中国，写 $3.14$。小数逗号和小数点从十七世纪起就在竞争，当时苏格兰人约翰·纳皮尔两种都用过。结果，这成了数学中最任意的约定之一，也是最危险的约定之一：$1.000$ 在里斯本是一千，在纽约是一。 句法、语义与语用 1938 年，美国哲学家查尔斯·莫里斯提出把符号研究分成三个部分，本站早期的文章也采用了这种划分： 句法：符号彼此之间的关系。哪些组合是合乎规则的？$3+\times4$ 不是；$3+4\times2$ 是，规则规定先算乘法。 语义：符号与它所代表之物的关系。$\pi$ 指的是什么对象？圆周与直径之比，$3.14159\ldots$ 语用：符号与使用者的关系。老师在黑板上写下 $x^2-5x+6=0$ 时想要什么？多半是要你求出解，而不是欣赏这个方程。 把莫里斯的划分用在字母 $x$ 上，就一清二楚了。在句法上，$x$ 在任何表达式里都占一个数的位置。在语义上，它可以是未知数（在 $x+1=4$ 中）、在某个集合中取值的变量（在 $f(x)=x^2$ 中），或一个坐标（在 $x$ 轴上）。在语用上，“求 $x$”和“设 $x$ 为任意一个数”要求相反的态度：前者是去寻找；后者是什么也不找，只做一般的推理。

October 10, 2026 阅读
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第1章：参考文献与图片来源

延伸阅读 Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 卷. Chicago: Open Court, 1928–1929. 关于每个符号来历的权威著作；本章几乎所有日期都可以在其中查到。 Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton: Princeton University Press, 2014. 一部通俗的历史，主题与本书相同。 Ifrah, Georges. The Universal History of Numbers. London: Harvill Press, 1998. 关于记数系统与零。 Klein, Jacob. Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra. Cambridge, MA: MIT Press, 1968. 关于从丢番图到韦达的过渡。 Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. A History of Mathematics. 第 3 版. Hoboken: Wiley, 2011. Crowe, Michael J. A History of Vector Analysis. Notre Dame: University of Notre Dame Press, 1967. 关于四元数与向量之争。 Maor, Eli. Trigonometric Delights. Princeton: Princeton University Press, 1998. 关于正弦和三角学名称的历史。 Grabiner, Judith V. The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus. Cambridge, MA: MIT Press, 1981. 关于贝克莱、柯西与极限。 Miller, Jeff. Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. 自 1990 年代维护至今的网页，列出每个符号已知最早的出处。 MacTutor 数学史档案，圣安德鲁斯大学：花拉子米、斐波那契、雷科德、韦达、哈里奥特、奥特雷德、凯莱、布尔、弗雷格和皮亚诺的传记。 本站早期关于几何、三角学、平方根、二次方程、对数、导数、链式法则、积分、极限、函数、微分方程、群、矩阵、向量和四元数的文章，是重写本章的基础。radix quadrati 的故事、配方的图形、拉丁文写的毕达哥拉斯定理、直角边、斜边、分和秒的词源、从 $\Sigma$ 到 $\int$ 的过渡、证明 $1=2$ 的把戏、胡克定律、“热的法则”与误差传递、从 logarithmus 缩写到 $\log$、导数和函数的词源、把函数读成带空位的句子、三角形运动的群表、四元数与向量之争，以及能动的记号与贫瘠的记号这两个概念，都来自这些文章。

October 10, 2026 阅读
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布尔、弗雷格与皮亚诺：把推理写下来

直到十九世纪，数学记号都是用来写量以及量之间的运算的。还缺少一种书写，用来记录数学家时时刻刻都在做、却从不写下来的事：推理。“如果这样，那么那样”；“对所有的数”；“存在一个数，使得”。这些话仍然要用拉丁文、法文或德文，夹在一个公式和另一个公式之间说出来。这篇文章讲的是推理本身如何得到了符号。 思维的代数 十九世纪，数学开始向内审视：什么是数？什么是证明？要回答这些问题，就需要一种书写，不仅能写量，还能写命题以及命题之间的推导步骤。 1854 年，英国人乔治·布尔出版了《思维规律》，把推理当作代数来处理。如果 $x$ 代表“白色的东西”，那么 $x\cdot x$（白色的东西中白色的那些）就是 $x$ 本身。于是有了布尔代数中那条奇怪的定律： $$x^2=x,\qquad\text{也就是}\qquad x(1-x)=0,$$布尔把它读作“任何东西都不能同时具有又不具有某种性质”。一个世纪以后，这种只有 $0$ 和 $1$ 两个值的代数，成了计算机电路的基础。 1879 年，德国人戈特洛布·弗雷格走得更远。在《概念文字》（Begriffsschrift）一书中，他创造了一套完整的逻辑语言，能够一步一步地表达任何数学证明。这是了不起的成就，但这种书写是二维的：命题挂在横线和竖线上，像一棵横躺着的树的枝杈。一个简单的公式就要占半页纸。同时代的人觉得它无法阅读，几乎没有人读这本书。 一种天才而贫瘠的记号 弗雷格的思想流传了下来，他的书写却没有。在弗雷格工作的基础上前进的伯特兰·罗素和阿尔弗雷德·诺思·怀特海，选择用意大利人朱塞佩·皮亚诺的线性记号来写《数学原理》（1910–1913）。在《数学原理》中，通向 $1+1=2$ 的那个命题直到第一卷第 379 页才出现，还附了一句干巴巴的评语：“上面这个命题偶尔是有用的。” ∈、∃ 和 ∀ 我们今天使用的逻辑符号，有很大一部分要归功于皮亚诺。1889 年，为了表示一个元素属于一个集合，他用了希腊字母 epsilon，取自希腊语 estí（“是”）的首字母：$3\in\mathbb{N}$ 读作“$3$ 是一个自然数”。1897 年，为了表示存在一个具有某种性质的元素，他用了一个反转的 E：$\exists$。“对所有”的 $\forall$ 是最年轻的：1935 年，德国人格哈德·根岑仿照 $\exists$，把 A（德语 alle，“所有”）倒过来，创造了它。 在一个带量词的命题中，量词、论域和性质扮演不同的角色。为本书绘制的教学示意图。 有了这些符号，“每个实数的平方都大于或等于零”这句话就变成了 $$\forall x\in\mathbb{R},\quad x^2\ge 0.$$看起来只是缩写，但这种书写让日常语言所隐藏的东西变得可见：量词的顺序。比较： $$\forall x\ \exists y:\ y>x \qquad\text{和}\qquad \exists y\ \forall x:\ y>x.$$第一个说：对每个数，都存在一个比它大的数，这是对的。第二个说：存在一个比所有数都大的数，这是错的。在日常语言里，两者都可以塞进一句含糊的话：“总有一个更大的数”。在逻辑书写中，区别就在符号的位置上，一眼就能看出来。 本章说明了什么 从印度的零到根岑的量词，数学书写中每一次重要的变化都开辟了一条新路。位值制把计算变成纸上的工作；韦达的字母把算法变成了对象；纳皮尔的对数把乘法换成加法；莱布尼茨的 $d$ 让链式法则自己写出来；欧拉的 $f(x)$ 给了函数一个名字；伽罗瓦和凯莱的表把运动变成了符号，矩阵把一个方程组当作一个整体；吉布斯和亥维赛的向量把麦克斯韦方程化成四行；量词让命题的结构显现出来。

October 10, 2026 阅读