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弗雷格与晨星：a = b 说了什么

比较两句话： $$1024=1024\qquad\text{和}\qquad 2^{10}=1024.$$两句都对，而且两句都说一个数等于它自己：$2^{10}$ 就是 $1024$。可是，第一句不会让任何人学到什么，第二句却是一个小小的发现，要做十次乘法才能得到。如果等号只是说“这两样东西是同一个”，那么这两句话说的就完全一样。那么，第二句多出来的是什么？ 昏星与晨星 戈特洛布·弗雷格（1848–1925），耶拿大学的数学教授，他把等号变成了一个哲学问题。Emil Tesch，约 1905 年 · Wikimedia Commons · 公有领域 这个问题困扰过德国数学家戈特洛布·弗雷格。1892 年，他在一篇短文《论涵义与指称》中作出了回答。他的例子来自天文学。古希腊人把黄昏时出现在西方的那颗亮星叫作赫斯珀洛斯（昏星），把黎明前出现在东方的那颗叫作福斯福洛斯（晨星）。发现两者是同一个天体——金星——是一项成就。“昏星是昏星”什么也没教；“昏星是晨星”却教了东西。 弗雷格的办法是把一个名字携带的两样东西分开： 指称（Bedeutung）：名字所指向的对象，这里就是金星； 涵义（Sinn）：名字呈现这个对象的方式，“黄昏时发光的天体”或“黎明时发光的天体”。 当 $a$ 和 $b$ 的指称相同时，等式 $a=b$ 为真。而当它们的涵义不同、经由不同的路径到达同一个对象时，这个等式才有信息量。 数里的涵义与指称 数学里到处是同一个数的不同名字： $$4,\qquad 2+2,\qquad 2^2,\qquad \sqrt{16},\qquad \tfrac{8}{2},$$还有“唯一的偶素数与它自己相加”。它们的指称全都相同。但每一个都以自己的方式呈现这个数，每种方式都讲一个故事：$2+2$ 说怎样合并，$2^2$ 说怎样相乘，$\sqrt{16}$ 说它是哪个正方形的边长。这就是第2章所说的能指与对象的区别：符号不是事物本身，同一个事物有许多符号。 这对写计算的人有一个重要的推论。计算，就是把一种写法换成另一种指称相同、涵义更有用的写法。在 $$\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\qquad(x\neq3)$$中，三个式子指向同一个值，但第三个最好用。按照本书的说法，当一种记号的涵义本身就指出通往其他写法的道路时，它就是能动的：$2^{10}$ 显示出 $2^{10}=2^5\cdot2^5=32\cdot32$，而 $1024$ 什么也没显示。 莱布尼茨定律 如果两种写法指向同一个对象，那么在任何句子里用一个替换另一个，都应该不改变句子的真假。戈特弗里德·莱布尼茨把这个想法写成一句拉丁文，弗雷格赞同地引用了它： 能够在保全真理（salva veritate）的情况下相互替换的东西，就是相同的。 — 莱布尼茨，弗雷格《算术基础》（1884）§65 引用 这正是代数里时时刻刻在用、却没人给它命名的规则。如果 $x=3$，那么 $x^2+x=3^2+3=12$。如果 $y=2x$，那么 $x+y=x+2x=3x$。用相等的东西替换相等的东西，是一切计算的发动机。 但弗雷格注意到，这条规则在一种特殊的句子里会失效。考虑： 这个学生知道 $2^{10}=2^{10}$。 对任何学生来说这都是真的。现在把第二个 $2^{10}$ 换成同一个数 $1024$： 这个学生知道 $2^{10}=1024$。 这可能是假的。当句子谈论的是某人知道、相信或写下了什么时，重要的是涵义，而不仅仅是指称。逻辑学家把这样的地方叫作晦暗语境。在计算内部，等号允许随意替换；在谈论“人们对这个计算知道什么”的句子里，就不行了。 维特根斯坦与多余的等号 1879 年，弗雷格曾用一个特殊的符号 $\equiv$ 表示同一，读作“内容相同”：这是两个名字之间的关系。1892 年他改变了主意，开始把它当作对象之间的关系。奥地利人路德维希·维特根斯坦曾到耶拿拜访弗雷格，并在弗雷格的建议下去跟罗素学习。他在《逻辑哲学论》（1921）里走得更远：说两个东西是同一的，是胡说；说一个东西与它自己同一，则什么也没说。他提议，在一种完美的记号中，相同的对象应当有相同的符号，于是 $=$ 就不再需要了。数学没有采纳这个建议。等号之所以存活下来，恰恰是因为同一个对象需要不同的名字。

October 17, 2026 阅读
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一个符号，许多种等于

1557 年，罗伯特·雷科德发明了 $=$，理由很简单：没有什么比两条一样长的平行线更相等了（第1章讲运算符号的那一篇讲过这段历史）。这个符号流行得如此成功，以至于今天它在做许多雷科德从未想到的工作。看看这几行： $$3+4=7,\qquad 2x+1=7,\qquad (a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$$$$f(x)=x^2,\qquad \tfrac12=\tfrac24.$$每一行里的符号都一样，说的却不一样。 在 $3+4=7$ 中，等号记录一个结果。这是计算器教给我们的读法。 在 $2x+1=7$ 中，等号提出一个问题：哪个数能让它成立？这是一个方程。 在 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 中，等号陈述一条规律，对所有的数都成立。这是一个恒等式。 在 $f(x)=x^2$ 中，等号给出一个名字：从此以后，$f(x)$ 就表示 $x^2$。这是一个定义。 在 $\frac12=\frac24$ 中，等号说两种不同的写法指向同一个数。 本章后面的几篇分别讨论这些工作。在那之前，值得先问一问：它们有什么共同之处？ 等号的三条定律 公元前 300 年左右，欧几里得在《几何原本》的开头列出几条“公理”（共同概念），他认为这些道理明显到不需要证明。第一条是： 等于同一个量的量，彼此相等。 — 欧几里得，《几何原本》第一卷，公理 1 今天这句话叫作传递性：如果 $A=B$ 且 $B=C$，那么 $A=C$。它和另外两条一起，构成任何相等关系的画像： 性质 符号写法 文字说法 自反性 $A=A$ 每个东西都等于它自己 对称性 若 $A=B$，则 $B=A$ 天平没有偏爱的一边 传递性 若 $A=B$ 且 $B=C$，则 $A=C$ 等于同一个量的量彼此相等 正是这三条定律让我们可以把计算串起来，写成 $A=B=C=D$，并断定第一项等于最后一项。整个中学代数都依赖它们，却几乎没有人把它们说出口。 等号的亲戚 每当等号的某一份工作变得足够重要，数学就给它一个专门的符号。结果是一家长得很像的符号，每个都有自己的读法： 符号 读法 例子 对称吗？ $=$ 等于 $3+4=7$ 是 $\equiv$ 恒等于；同余于 $\sin^2x+\cos^2x\equiv1$；$17\equiv2\pmod5$ 是 $:=$ 定义为 $f(x):=x^2$ 否：新名字总在左边 $\approx$ 约等于 $\pi\approx3.14$ 是 $\cong$ 全等于（图形） $\triangle ABC\cong\triangle DEF$ 是 $\sim$ 相似于 $\triangle ABC\sim\triangle DEF$ 是 $\Leftrightarrow$ 等价于（命题） $2x=6\Leftrightarrow x=3$ 是 请看最后一列。$:=$ 不对称：也可以写成 $x^2=:f(x)$，但符号会变形，让新名字始终挨着冒号。而看起来最无害的 $\approx$ 藏着一个陷阱，第一道练习会说明：它不满足传递性。

October 17, 2026 阅读
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参考文献与图片来源

延伸阅读 Usiskin, Zalman. Conceptions of school algebra and uses of variables. In: Coxford, A. F.; Shulte, A. P. (eds.). The Ideas of Algebra, K–12. Reston: NCTM, 1988, pp. 8–19. Küchemann, Dietmar. Algebra. In: Hart, K. M. (ed.). Children’s Understanding of Mathematics: 11–16. London: John Murray, 1981, pp. 102–119. Clement, John; Lochhead, Jack; Monk, George S. Translation difficulties in learning mathematics. The American Mathematical Monthly, 88(4), 1981, pp. 286–290. MacGregor, Mollie; Stacey, Kaye. Students’ understanding of algebraic notation: 11–15. Educational Studies in Mathematics, 33, 1997, pp. 1–19. Philipp, Randolph A. The many uses of algebraic variables. The Mathematics Teacher, 85(7), 1992, pp. 557–561. Kieran, Carolyn. The learning and teaching of school algebra. In: Grouws, D. A. (ed.). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. New York: Macmillan, 1992, pp. 390–419. Kleiner, Israel. Evolution of the function concept: a brief survey. The College Mathematics Journal, 20(4), 1989, pp. 282–300. Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 vols. Chicago: Open Court, 1928–1929. 关于 cossic 记号、韦达和笛卡儿的字母、$f(x)$ 以及赫歇尔的 $\sin^{-1}$。 Heath, Thomas L. Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra. Cambridge: Cambridge University Press, 1910. Viète, François. In artem analyticem isagoge. Tours: Jamet Mettayer, 1591. l’Hôpital, Guillaume de. Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes. Paris: Imprimerie Royale, 1696. 本站早期关于函数的文章提供了“函数是带空格的句子”这一想法，第 1 章用过，这里再次采用。

October 15, 2026 阅读
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如何阅读一个字母：指南与术语表

本章表明，一个字母至少能做五种不同的工作，而写法几乎从不说明是哪一种。下面的指南汇集了有助于弄清这一点的问题。 关于一个字母的五个问题 它隐藏一个值，还是代表任意值？ 如果隐藏一个值，它就是未知数，任务是找出它。如果代表任意值，这句话就是一条普遍定律或一个恒等式。 它在问题中移动吗？ 如果是，它就是变量，值得问它依赖于谁、谁依赖于它。 别的字母移动时它保持不动吗？ 那它就是参数或常数。值得问：是永远固定，像 $\pi$，还是只在这个问题里固定，像 $ax^2$ 中的 $a$？ 它被某个运算符约束吗？ 如果出现在 $\Sigma$、$\int$、$\forall$ 或 $\mapsto$ 中，它就是约束字母，可以换成别的字母而什么都不改变。 文中哪个词宣告了它的角色？ “求”“对任意”“设”“当……时”“已知”。如果一个也没有，就由这一领域的惯例来决定，最好把惯例说明白。 对 y = ax² + bx + c 的完整解读 $y$ 和 $x$： 变量。$x$ 是自变量，$y$ 是因变量。它们一起走遍一条抛物线上的点。 $a$、$b$ 和 $c$： 参数。在问题中固定，它们选择是哪一条抛物线。$a$ 必须不为零，否则曲线就变成直线。 问题变了，角色就变了。 在“抛物线在哪里与 $x$ 轴相交？”中，我们令 $y=0$，$x$ 就成了未知数。在“哪条抛物线经过 $(1,2)$、$(2,3)$ 和 $(3,6)$？”中，参数成了未知数，$x$ 和 $y$ 成了已知数据：$a+b+c=2$，$4a+2b+c=3$，$9a+3b+c=6$，解得 $a=1$，$b=-2$，$c=3$。 没有哪个字母是哑字母。 它们都重要：把 $a$ 换成 $k$，就必须在全文中都换。 短短一行，三种不同的角色，而每个问题都会把一切重新安排。 术语表 未知数。 代表一个确定而尚不知道的值的字母，这个值由问题的条件决定。在 $2x+1=7$ 中，$x=3$。 推广的数。 代表某个集合中任意元素的字母，所在的句子对所有元素都成立。如 $a+b=b+a$。 恒等式。 对字母的一切值都成立的等式，如 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。它不用解；要证明。 变量。 走遍某个集合中各个值的字母，通常与它所依赖的或依赖它的其他字母一起变化。 自变量与因变量。 在 $y=f(x)$ 中，$x$ 自由选择，$y$ 由规则决定。这种选择可能随问题而颠倒。 参数。 在一个问题中固定、但在不同问题之间可以取不同值的字母。它从一个家族中选出一个成员。 常数。 值永远相同的字母，如 $\pi$、$e$ 或光速 $c$。 自由字母。 表达式的值所依赖的字母。在 $\sum_{k=1}^n k$ 中，是 $n$。 约束字母（哑字母）。 被运算符约束、可以换成别的字母而不改变意思的字母。在 $\sum_{k=1}^n k$ 中，是 $k$。 函数。 给一个集合（定义域）的每个元素指定另一个集合中唯一元素的规则。$f$ 是函数；$f(x)$ 是它在 $x$ 处的值。 变量捕获。 在同一个表达式中把同一个字母既用作自由字母又用作约束字母的错误，如 $\int_0^x x\,dx$。 练习：运用这份指南读一读 $\displaystyle V(r)=\frac43\pi r^3$。$V$ 是一个函数的名字，$V(r)$ 是它的值。$r$ 是自变量，即半径。$\pi$ 是常数。$\frac43$ 是一个数。没有约束字母。如果问题是“多大的半径给出 $36\pi$ 的体积？”，$r$ 就成了未知数：$\frac43r^3=36$，$r^3=27$，$r=3$。

October 15, 2026 阅读
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当字母误导人：学生、教授与苹果

1981 年，马萨诸塞大学的三位研究者约翰·克莱门特、杰克·洛克黑德和乔治·蒙克给工科一年级学生出了一道简单的题： 用变量 $S$ 和 $P$ 写一个方程，表示下面这句话：“这所大学的学生人数是教授人数的六倍。”用 $S$ 表示学生人数，用 $P$ 表示教授人数。 大约 37% 的人答错了。而几乎所有答错的人都写了同一个式子： $$6S=P.$$为什么 6S = P 看起来是对的 方程 $6S=P$ 遵循的是词语的顺序：“六倍……学生……教授”。这是逐词翻译，就像不理解句子就去翻译一篇文章。它背后是把字母读作标签：$S$ 的意思是“学生”，就像在 $6\,\text{m}$ 中 m 的意思是“米”。这样读，$6S=P$ 说的是“每位教授对六名学生”，这恰恰是正确的想法。 问题在于，在方程里 $S$ 不是“学生”这个词：它是学生的人数。有 $P=100$ 位教授，就有 $600$ 名学生，正确的方程必须给出 $S=600$： $$S=6P.$$要检验，只需代入数字：$P=100$ 时，错误的方程会给出 $6S=100$，也就是不到 $17$ 名学生。把字母当标签是一种自然的读法，它来自日常语言和计量单位，必须被“忘掉”。 屈赫曼的六种读法 同一年，英国研究者迪特马尔·屈赫曼（Dietmar Küchemann）发表了一项针对 13 到 15 岁学生的大型研究，即 CSMS 项目的结果。他指出，学生对字母至少有六种不同的解释，从最简单到最高级： 字母的读法 学生怎么做 示例题目 给字母赋值 一上来就给字母一个值 若 $a+5=8$，$a$ 等于多少？ 不理会字母 不看字母就把题解了 若 $e+f=8$，$e+f+g$ 等于多少？ 字母作为物体 把字母当成一样东西 $2a+5b+a$“是 3 个苹果和 5 根香蕉” 特定的未知数 接受字母是一个未知的数 若 $e+f=8$，则 $e+f+g=8+g$ 推广的数 接受字母可以是好几个数 若 $c+d=10$ 且 $c

October 15, 2026 阅读
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哑字母：求和里的 k 与积分里的 t

这两个式子的值相同： $$\sum_{k=1}^{4}k^2=1+4+9+16=30,\qquad\sum_{j=1}^{4}j^2=1+4+9+16=30.$$把 $k$ 换成 $j$，什么也没变。字母在那里只是为了标出计算经过的地方；求和一结束，它就消失了。这样的字母叫作哑字母，或约束字母。它们是未知数的反面：未知数保存一个重要的值；哑字母在运算结束后不保存任何值。 自由与约束 再比较： $$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$$这里有两种性质不同的字母。$k$ 被求和约束：它只存在于 $\Sigma$ 和式子结尾之间，可以换成任何别的字母。$n$ 是自由的：结果依赖于它。把 $n$ 换成 $m$，就成了另一个关于另一个数的论断。 积分里也一样： $$\int_0^x t\,dt=\frac{x^2}{2}.$$$t$ 被积分约束，$dt$ 标出它的辖域，像一个右括号。$x$ 是自由的：面积取决于积分到哪里。在逻辑的量词里也是这样： $$\forall x\,(x+0=x)$$$x$ 被 $\forall$ 约束，整句话不依赖任何值：它就是真的。 运算符 约束字母 辖域 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}$ $k$ 后面的那一项 $\displaystyle\int_a^b\cdots\,dt$ $t$ $\int$ 与 $dt$ 之间 $\forall x,\ \exists x$ $x$ 后面的公式 $\lim\limits_{h\to0}$ $h$ 极限号下的表达式 $\{x\mid x>2\}$ $x$ 花括号之内 $x\mapsto x^2$ $x$ 函数的规则 捕获字母的错误 因为哑字母可以替换，就有一种危险的诱惑：用同一个字母表示两样东西。公式 $$\int_0^x x\,dx$$是一个陷阱。上限的 $x$ 是自由的；积分里面的 $x$ 是约束的。这个式子好像在说“把 $x$ 从 $0$ 积到 $x$”，但分不清哪个 $x$ 是哪个。正确的写法把字母分开：$\int_0^x t\,dt=\frac{x^2}2$。在逻辑和编程中，这个错误有个名字，叫变量捕获，编程语言的编译器会自动给变量改名来避免它。

October 15, 2026 阅读
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f、f(x) 与 x ↦ x²：给函数命名的三种方式

第 1 章讲述了欧拉如何在 1734 年发明 $f(x)$，函数又如何变成一个带空格的句子（欧拉与函数）。这一篇看的是给函数命名的各种方式，以及每一种带来的混淆。 函数与它的值 比较两句话： “函数 $f$ 是递增的”； “当 $x>0$ 时，$f(x)$ 是正的”。 在第一句里，$f$ 是整个函数，是规则，是可以求导、复合、画图的对象。在第二句里，$f(x)$ 是一个数：输入为 $x$ 时函数给出的值。两者的区别，就像“计算器”和“屏幕上显示的数”的区别。 实际上大家都写“函数 $f(x)=x^2$”，几乎从不出问题。但有些情况下这个区别很重要。函数 $f$ 的导数是另一个函数 $f'$，而 $f'(3)=2\cdot3=6$。如果先算出 $f(3)=9$，再“对 $9$ 求导”，就会得到 $0$，因为常数的导数是零。错误在于顺序：求导的是一个数，即值 $f(3)$，而不是函数 $f$。 三种写法 “平方”这同一个函数，至少有三种记号： 记号 读法 来源 $f(x)=x^2$ $f$ 在 $x$ 处的值是 $x^2$ 欧拉，1734 年 $f:x\mapsto x^2$ $f$ 把每个 $x$ 送到 $x^2$ 二十世纪由布尔巴基学派推广 $\lambda x.\,x^2$ 接受 $x$、返回 $x^2$ 的那个函数 阿隆佐·丘奇，1930 年代 箭头 $\mapsto$ 有一个优点：它把函数表现为从输入到输出的移动，不会让人觉得 $x$ 是某个特定的数。丘奇的 $\lambda$ 走得更远：它给函数一个不需要名字的名字。表达式 $\lambda x.\,x^2$ 就是函数本身，正如 $5$ 就是数本身。函数式编程语言正是从这个想法诞生的，在其中可以写出，例如，lambda x: x**2。

October 15, 2026 阅读
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参数：别的字母移动时保持不动的字母

在方程 $$y=ax^2+bx+c$$中有五个字母，它们不在同一个层次上。$x$ 和 $y$ 在变：它们走遍一条抛物线上的点。在这期间，$a$、$b$ 和 $c$ 保持不动，但可以事先随意选择。每一种选择给出一条不同的抛物线。这样的字母叫作参数，来自希腊语 pará（旁边）和 métron（度量）：站在度量旁边、调节它的东西。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 改变参数和改变变量不是一回事。改变 $x$，是沿着曲线走。改变 $a$，是换一条曲线：整条抛物线张开或收拢。 一个方程，一个家族 这是韦达的伟大发明，第 3 篇讲过：问题中给定的数也用字母表示。方程 $$ax^2+bx+c=0$$不是一个方程，而是一个方程家族，每个满足 $a\ne0$ 的三元组 $(a,b,c)$ 对应一个。在这里角色很清楚：$x$ 是未知数，$a$、$b$、$c$ 是参数。公式 $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$用参数表示未知数，一次就解出了整个家族。这使得我们能提出任何单独一个方程都无法提出的问题：参数取哪些值时有两个解？答案 $b^2-4ac>0$ 是关于家族的论断，而不是关于某一个方程的。 物理学的字母 物理学是参数的王国。在匀速运动中， $$s=s_0+vt,$$时间 $t$ 和位置 $s$ 在运动中变化，而初始位置 $s_0$ 和速度 $v$ 保持固定。但换一个运动，它们就变了。在理想气体定律 $pV=nRT$ 中，$R$ 是普适常数，对所有气体都一样；$n$ 对给定的样品是固定的；$p$、$V$、$T$ 在变。一行之中有三个层次的“不动”，却没有任何记号来区分它们。 另一种参数 更复杂的是，参数这个词还有第二种意思。在方程 $$x=\cos t,\qquad y=\sin t$$中，字母 $t$ 叫作参数，这些方程叫作参数方程。但在这里，$t$ 并不静止：它从 $0$ 跑到 $2\pi$，跑的时候点 $(x,y)$ 画出一个圆。好像 $t$ 是时间，点是一个运动的物体。在这个意义上，参数是指挥另外两个变量的隐藏变量。 超参数 在人工智能里，这套词汇又多了一层。神经网络在训练中调整的数是它的参数，有数十亿个。程序员事先选定、用来调节训练的数，比如学习率，就成了超参数。结构和 $y=ax^2+bx+c$ 一样：会动的字母，别的字母动时不动的字母，以及在那些字母不动时也不动的字母。

October 15, 2026 阅读
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变量：会移动的字母

连续增加或减少的量称为变量；反之，在其他量变化时保持不变的量称为常量。 — 洛必达侯爵，《无穷小分析》（1696），定义 I 未知数是一个静止的字母：它隐藏一个值，而这个值不变。变量是一个会移动的字母。在 $y=x^2-4x+3$ 中，没有人问“$x$ 等于多少？”。问的是另一件事：“$x$ 变化时，$y$ 会怎样？” 从方程到曲线 从一种想法到另一种想法的过渡发生在十七世纪。1637 年前后，笛卡儿和费马把方程和曲线联系起来，含两个字母的方程，比如 $y=x^2$，就不再只有一个答案，而有无穷多个：组成抛物线的所有数对 $(x,y)$。$x$ 不再被寻找，而是被走遍。对每一个位置，方程都告诉我们 $y$ 在哪里。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 流动的量 牛顿给这个想法赋予了一个物理形象。对他来说，变量是随时间流动的量，就像运动物体的位置，他称之为流量（fluent）；它流动的速度则是流数（fluxion）。莱布尼茨说 quantitas variabilis（可变的量），而第一本微积分教科书，洛必达 1696 年的著作，就以本页开头引用的定义开篇：变量增加或减少，常量保持不动。 这个词带着运动的形象。所以我们说“当 $x$ 趋于 $0$ 时”“$y$ 增长”“函数上升”，好像字母在走路。 一个字母依赖另一个 有了两个变量，就出现了依赖的观念。1755 年，欧拉在《微分学原理》的序言中写道：如果某些量依赖于另一些量，使得后者变化时前者也随之变化，那么前者就称为后者的函数。在 $y=x^2-4x+3$ 中： $x$ 是自变量：我们可以自由选择它的值； $y$ 是因变量：它的值由规则决定。 这种选择并没有写在字母里。在 $A=\pi r^2$ 中，我们通常把半径看作自变量，但如果问题是“多大的半径给出 $10$ 平方米的面积？”，角色就颠倒了：$r=\sqrt{A/\pi}$。 魏尔斯特拉斯的静止变量 运动的形象很有用，但也带来了问题。如果 $h$ 只是纸上的一个字母，“$h$ 趋于零”是什么意思？十九世纪，卡尔·魏尔斯特拉斯等人把时间从定义中去掉了。变量变成仅仅是一个可以被某个集合（它的定义域）中任何元素替换的字母。什么也不动：存在的只是所有可能替换的总和。这就是柯西与魏尔斯特拉斯的极限定义及其 $\varepsilon$ 和 $\delta$ 背后的读法。 今天，两种形象并存。说“随着 $x$ 不断增大”的老师用的是牛顿的变量；书里的定义用的是魏尔斯特拉斯的变量。记号是同一个，读者需要懂得在两者之间切换。 常量不等于数字 对洛必达来说，常量是“在其他量变化时保持不变”的东西。它不必是用数字写出来的数。在 $y=ax^2$ 中，$a$ 在问题进行期间是常量，但可以取任何值。物理学里满是这样的字母：重力加速度 $g$，气体常数 $R$，光速 $c$。下一篇讨论它们。 练习：从表格找出规则一张表记录着：$x=0\to y=1$，$x=1\to y=3$，$x=2\to y=5$，$x=3\to y=7$。$x$ 增加 $1$，$y$ 增加 $2$，而 $x=0$ 时 $y$ 等于 $1$。规则是 $y=2x+1$。注意，有限的表格永远不能证明规则：另一条规则可能在这四个点上一致，却在 $x=4$ 处不同。表格只是提示；公式才是断言。

October 15, 2026 阅读
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用来推广的字母：从 3 + 5 = 5 + 3 到 a + b = b + a

算一算 $3+5$ 和 $5+3$：两次都得 $8$。再试 $12+7$ 和 $7+12$，$100+1$ 和 $1+100$。总是对的。可是要多少个例子才能确定呢？一千个？一百万个？多少个例子都不够，因为数对有无穷多个。 句子 $$a+b=b+a$$用另一种方式解决了这个问题。它不谈任何一对特定的数：它一次谈的是所有的数对。这里的字母 $a$ 和 $b$ 不像未知数那样隐藏一个值；它们代表任意的值。这就是乌西斯金所说的推广的算术。 想一个数 一个古老的聚会把戏：想一个数，乘以 2，加 $6$，除以 $2$，再减去你想的那个数。结果总是 $3$。 用例子可以增加信心：用 $5$，依次得到 $10$、$16$、$8$、$3$；用 $20$，依次得到 $40$、$46$、$23$、$3$。用一个字母就可以确定。把那个数叫作 $n$： $$n\ \to\ 2n\ \to\ 2n+6\ \to\ \frac{2n+6}{2}=n+3\ \to\ (n+3)-n=3.$$字母做到了例子做不到的事：它一次走遍了所有的数。它还说明了把戏为什么灵：想的那个数进去又出来，只有 $6$ 除以 $2$ 留了下来。 一步一步看这个把戏（点击前进） 想一个数：$n$。 乘以 2：$2n$。 加 $6$：$2n+6$。 除以 $2$：$n+3$。 减去想的那个数：$(n+3)-n=3$。$n$ 消失了；结果与它无关。 奇数之和 把最前面的几个奇数加起来：$1=1$，$1+3=4$，$1+3+5=9$，$1+3+5+7=16$。出现了平方数。要对每一个 $n$ 说这件事，我们需要一个字母： $$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.$$式子 $2n-1$ 是第 $n$ 个奇数的画像：$n=1$ 时得 $1$，$n=4$ 时得 $7$。证明可以用另一个字母和一个倒着写的和来完成，就像少年高斯那样：把这列数和倒过来的自己相加，每一对都得 $2n$，共有 $n$ 对，所以和的两倍是 $2n\cdot n$，和就是 $n^2$。

October 15, 2026 阅读
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未知数：为所寻之物留一个位置

未知数，字面意思就是不知道的数。但它不是随便什么东西：它是一个我们还不知道的确定的数。方程 $x+3=7$ 说的不是所有的数；它说的是一个数，任务是找出是哪一个。 为不知道的东西起名字 很长时间里，未知数的名字是一个词，而不是一个字母。 公元 250 年前后，亚历山大的丢番图在《算术》中把未知数叫作 arithmós，“数”，并用一个像词尾西格玛的记号 $\varsigma$ 来缩写。他还有未知数平方的缩写 $\Delta^{\Upsilon}$（dýnamis，幂）和立方的缩写 $K^{\Upsilon}$（kýbos）。 公元 820 年前后在巴格达，花拉子米把它叫作 shay’，东西，把它的平方叫作 māl，财富。他全部用文字书写，没有任何符号。 十五、十六世纪，意大利人把 shay’ 译作 cosa，而抄写意大利人著作的德国代数学家被戏称为 cossists（“东西派”）。1544 年，米夏埃尔·施蒂费尔仍然给“东西”、它的平方和它的立方各用不同的记号： 米夏埃尔·施蒂费尔《整数算术》（1544）中的“cossic”记号：未知数的每个幂都有自己的符号，彼此之间看不出关系。Michael Stifel · Wikimedia Commons · 公有领域 在这些记号里，“东西”的平方和立方看上去都不像“东西”。按本书的说法，这是一种无生气的记号：要知道立方乘平方得到五次幂，必须背一张表。当笛卡儿写下 $x$、$x^2$、$x^3$ 时，规则 $x^3\cdot x^2=x^5$ 在指数里变得看得见了。第 1 章的从修辞到符号一文更详细地讲述了这一转变。 丢番图的一页 1621 年，法国人克洛德-加斯帕尔·巴歇出版了希腊文的丢番图《算术》，旁边附有拉丁文译文。这是第 II 卷第 8 题的一页：把一个给定的平方数分成两个平方数。 巴歇版（1621）中的第 II.8 题：右边是希腊文，左边是拉丁文，用 N 表示未知数，用 Q 表示它的平方。费马正是在这一页的页边写下了他的大定理。Diophantus, ed. Bachet · Wikimedia Commons · 公有领域 在巴歇的拉丁文里，未知数是 N，取自 numerus（数），它的平方是 Q，取自 quadratus（平方）：“Ponatur primus 1 Q”，设第一个平方数为 $1Q$。用今天的语言说，要把 $16$ 分成两个平方数，丢番图把第一个取作 $x^2$，第二个取作 $16-x^2$，并为第二个的边选一个形式 $2x-4$。条件是

October 15, 2026 阅读
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一个字母，五种角色

看看这五行： $$x+3=7,\qquad A=b\cdot h,\qquad a+b=b+a,\qquad y=kx,\qquad \sin^2x+\cos^2x=1.$$它们都用了字母，看起来都是代数。但在任何两行里，字母做的事都不一样。 在 $x+3=7$ 中，$x$ 是一个确定而未知的数。只有 $4$ 合适。它是未知数。 在 $A=b\cdot h$ 中，字母什么也不隐藏：它们说的是三个量之间的关系。这是一个公式，字母是一起变化的量。 在 $a+b=b+a$ 中，字母是任意的数。这句话对每一对数都成立。字母在推广。 在 $y=kx$ 中，$x$ 和 $y$ 在移动，$k$ 保持不动。$k$ 是参数：在每个问题里固定，但可以任意取。 在 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 中，$x$ 也是任意的，但这句话不是要解的方程：它是一个恒等式，对每个 $x$ 都成立。 乌西斯金的观念 1988 年，美国教育学者扎尔曼·乌西斯金（Zalman Usiskin）在一篇后来成为经典的文章中提出：学校代数混合了至少四种观念，每一种都给字母一个不同的角色： 代数观 字母是什么 例子 推广的算术 推广某个规律的任意数 $a+b=b+a$ 解决问题 未知数，等待被发现 $3x+5=20$ 研究关系 变量，随其他量一起变化 $y=2x+1$ 研究结构 按规则操作的任意符号 $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ 在最后一行，没有人去想数：$x$ 和 $y$ 是按规则移动的记号，就像棋子。在这四种之外，我们再加上第五种，它贯穿全书：作为名字的字母，函数的名字（$f$）、常数的名字（$\pi$、$e$、$c$）或对象的名字（点 $A$，直线 $r$）。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 文字不提醒你 符号学上的问题在于：对所有角色，写法都一样。能指里没有任何东西能区分未知数和变量：两者都是一个斜体的 $x$。起决定作用的是语境，也就是莫里斯所说的语用（见第 2 章）。线索通常是一些小词，学生学会了忽略它们，其实不该忽略：

October 15, 2026 阅读