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可以因式分解的 D：作为算子的导数

用 $D$ 表示“对 $x$ 求导”。于是 $D(x^3)=3x^2$，$D(\sin x)=\cos x$，求两次导就是 $D(D(f))$，简写为 $D^2f$。到这里为止，它只是一个缩写。有趣的事从认真对待写法的形状开始：既然 $D^2$ 看起来像平方，为什么不把 $D$ 当作一个数？ 微分方程变成多项式 考虑方程 $$y''-3y'+2y=0.$$用 $D$ 写，就是 $D^2y-3Dy+2y=0$，或者把 $y$ 提出来： $$(D^2-3D+2)\,y=0.$$现在走大胆的一步：把关于 $D$ 的“多项式”像关于 $r$ 的多项式那样因式分解： $$(D-1)(D-2)\,y=0.$$如果 $(D-1)y=0$，那么 $y'=y$，$y=e^{x}$。如果 $(D-2)y=0$，那么 $y'=2y$，$y=e^{2x}$。方程的解是这些组合： $$y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}.$$刚才发生的事情是：一个微分方程被中学代数解出来了。记号 $D$ 把“哪个函数满足它各阶导数之间的这个关系？”这个问题，变成了“$r^2-3r+2$ 的根是什么？”这个问题。教科书把这个多项式叫作特征方程，这个方法对任何常系数线性方程都适用。 指数里的泰勒 这个技巧还能走得更远。泰勒级数说 $$\begin{aligned} f(x+h)&=f(x)+h\,f'(x)\\ &\quad+\frac{h^2}{2!}f''(x)+\frac{h^3}{3!}f'''(x)+\cdots \end{aligned}$$用 $D$ 来写，就成了 $$\begin{aligned} f(x+h)&=\Bigl(1+hD+\frac{(hD)^2}{2!}\\ &\qquad+\frac{(hD)^3}{3!}+\cdots\Bigr)f(x). \end{aligned}$$括号里的级数正是指数函数的级数，只是把数换成了 $hD$。所以 $$f(x+h)=e^{hD}f(x).$$把一个函数平移 $h$，就是对它施以导数的指数。这样一句话按字面读毫无意义，作为一条能给出正确结果的操作规则来读，却完全说得通。 布尔与亥维赛 奥利弗·亥维赛（1850–1925），自学成才的英国工程师和物理学家，在任何人知道如何证明之前，就用算子演算解出了电报线路的问题。作者不详 · Wikimedia Commons · 公有领域 1844 年，乔治·布尔——就是逻辑代数的那个布尔——发表了一篇关于这种“算子演算”的获奖论文。但把这个想法推向极致的，是英国人奥利弗·亥维赛，一位自学成才的电报员。十九世纪八九十年代，他把 $D$ 当作数，对 $D$ 开平方、除以 $D$，来解海底电缆的方程，从不操心如何证明。 剑桥的数学家抱怨他不够严格。亥维赛用一句后来很有名的话回答： 难道我因为不完全理解消化的过程，就该拒绝吃饭吗？ — 据称出自奥利弗·亥维赛 结果都是对的。证明是几十年后随着拉普拉斯变换而来的：它把求导变成乘以一个数，使亥维赛凭眼力做的事变得严格。这是一个罕见而美丽的例子：记号走在了理论前面。写法暗示了计算，计算奏效了，人们后来才明白为什么。

October 18, 2026 阅读
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dy/dx 是分数吗？

微积分老师常常同时说两句话：“$\frac{dy}{dx}$ 不是分数”和“可以像分数那样把 $du$ 约掉”。两句都对，而这正是莱布尼茨记号的力量和危险所在。它看起来像分数，而且在大多数计算中表现得像分数。知道这种相似在哪里成立、在哪里失效，是阅读数学最精细的能力之一。 在哪里成立 链式法则。 如果 $y$ 依赖于 $u$，$u$ 依赖于 $x$： $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.$$两个 $du$ 像分数那样“约掉”。对 $y=(x^2+1)^{10}$，取 $u=x^2+1$：$\frac{dy}{du}=10u^9$，$\frac{du}{dx}=2x$，所以 $\frac{dy}{dx}=20x(x^2+1)^9$。 反函数。 如果 $y=e^x$，那么 $x=\ln y$，且 $$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}=\frac1{e^x}=\frac1y.$$把分数倒过来，就得到 $\ln y$ 的导数。在别的记号里需要一个定理的规则，在这里把纸翻过来就出来了。 分离变量。 对 $\frac{dy}{dx}=ky$，把 $dx$“移到另一边”： $$\frac{dy}{y}=k\,dx\quad\Longrightarrow\quad\ln y=kx+C\quad\Longrightarrow\quad y=Ce^{kx}.$$严格的数学家对“移到另一边”皱眉头，但结果是对的，而且有一个定理保证，在这类计算中结果总是对的。 在哪里失效 二阶导数。 写法 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 似乎是在说“$d^2y$ 除以 $dx^2$”，于是很容易得出 $\frac{d^2y}{dx^2}=\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$。对 $y=x^2$：$\frac{d^2y}{dx^2}=2$，而 $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=4x^2$。两者毫不相干。更糟的是，二阶导数的链式法则不是二阶导数的乘积： $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d^2y}{du^2}\left(\frac{du}{dx}\right)^2+\frac{dy}{du}\cdot\frac{d^2u}{dx^2},$$多出的那一项，没有任何“约分”预告过它。 偏导数。 对理想气体，$pV=nRT$。三个量中的每一个都可以写成另外两个的函数，偏导数为 $$\frac{\partial p}{\partial V}=-\frac{p}{V},\qquad\frac{\partial V}{\partial T}=\frac{nR}{p},\qquad\frac{\partial T}{\partial p}=\frac{V}{nR}.$$如果它们是分数，乘积会约成 $1$。但是 $$\frac{\partial p}{\partial V}\cdot\frac{\partial V}{\partial T}\cdot\frac{\partial T}{\partial p}=-\frac pV\cdot\frac{nR}p\cdot\frac{V}{nR}=-1.$$负号来自记号所隐藏的东西：每个 $\partial$ 固定的是不同的变量，而这个变量没有写出来。第一个因子里的 $\partial p$ 和第三个因子里的 $\partial p$ 不是同一个对象。物理学家知道这一点，在热力学中把固定的变量写成下标：$\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T$。

October 18, 2026 阅读
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从 Δ 到 d：缩小的差

一辆汽车下午 2 点经过 120 公里处，3 点经过 210 公里处。它的平均速度是 $$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{210-120}{15-14}=90\ \text{km/h}.$$希腊字母 $\Delta$，大写的德尔塔，是希腊语的 $D$，代表差。$\Delta s$ 不是“德尔塔乘以 $s$”：它是一个整体符号，意思是“$s$ 变了多少”。这是一个用真实数字做的计算，用尺子和钟表就能完成。 但速度表显示的不是一小时内的平均速度，而是此刻的速度。“此刻”没有长度：$\Delta t=0$，而除以零没有意义。微积分用一次极限过程化解了这个僵局，而它的记号在这个过程中始终保持形状不变。 缩小的分数 取 $y=x^2$ 和一点 $x=a$。向右移动 $\Delta x$，$y$ 的变化为 $$\Delta y=(a+\Delta x)^2-a^2=2a\,\Delta x+(\Delta x)^2,$$平均变化率为 $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=2a+\Delta x.$$现在让 $\Delta x$ 缩小。变化率趋近于 $2a$，余下的 $\Delta x$ 消失了。剩下的东西得到了莱布尼茨给的名字： $$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=2a.$$注意记号做了什么。分数 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 变成了分数 $\frac{dy}{dx}$：形状保留了，只是希腊字母换成了拉丁字母。$d$ 就是缩小了的 $\Delta$。这种视觉上的连续性是一大优势：会处理有限差分数的人，已经对怎样处理导数有了直觉。它也是错误的根源：导数不是两个数的分数，下一篇会说明这种相似在哪里失效。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 Δy 不是 dy 在现代写法中，$\Delta y$ 和 $dy$ 是不同的东西，值得把它们分开。对一个步长 $\Delta x$：

October 18, 2026 阅读
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导数的四种写法

如果 $y=x^3$，导数就是 $3x^2$。这一点大家写法都一样。不同的是给这个导数起的名字。在物理书里，你会读到 $\dot y$；在微积分书里，是 $\frac{dy}{dx}$ 或 $f'(x)$；在微分方程的书里，是 $Dy$。这是同一个对象的四个符号，没有哪一个战胜了其他几个。 四种写法 记号 作者 时间 读法 $\dot y$ 艾萨克·牛顿 17 世纪 60 年代，1704 年发表 $y$ 的流数，即 $y$ 随时间流动的速度 $\dfrac{dy}{dx}$ 戈特弗里德·莱布尼茨 1675 年，1684 年发表 两个无穷小差之比 $f'(x)$ 约瑟夫-路易·拉格朗日 1797 年 $f$ 的导函数在 $x$ 处的值 $Df$ 路易·阿博加斯特 1800 年 算子 $D$ 作用于函数 $f$ 第1章在莱布尼茨与微积分那一篇里，已经讲过牛顿的点和莱布尼茨的 $d$ 之争。这里关心的是另一个问题：每种写法显示了什么，又遗漏了什么。 每种写法显示了什么 牛顿的点显示变量是时间。不写 $dt$，因为在牛顿看来，一切量都随时间流动。这是一种经济的写法：$\ddot x$ 是加速度，第二定律就成了 $m\ddot x=F$。但当变量不是时间时，它说不出是对什么求导，所以它只在物理学中存活下来。 莱布尼茨的 $\frac{dy}{dx}$ 显示了两个变量：谁在变（$y$），相对于谁变（$x$）。而且它有分数的形状，让计算自己往前走，比如链式法则。它是四种写法中最能动的一种，也是最会误导人的一种；第3篇会说明在什么时候。 拉格朗日的 $f'(x)$ 显示导数是一个新函数，是 $f$ 的“孩子”。它不谈变化，不谈无穷小，也不谈时间：只谈一个函数生出另一个函数。这正是拉格朗日的用意。 阿博加斯特的 $D$ 显示求导是一种运算，就像乘法。写 $Df$ 会引诱人对 $D$ 做对数做的事：平方、相加、因式分解。第4篇会说明这能走多远。

October 18, 2026 阅读
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参考文献与图片来源

延伸阅读 欧几里得。Os Elementos（《几何原本》）。Irineu Bicudo 葡译。São Paulo: Editora Unesp, 2009。公理与命题的结构。 普罗克洛。A Commentary on the First Book of Euclid’s Elements。Glenn R. Morrow 英译。Princeton: Princeton University Press, 1970。命题的六个部分。 Frege, Gottlob. Über Sinn und Bedeutung. Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, 100, 1892, 第 25–50 页。巴西葡译见：Lógica e filosofia da linguagem. São Paulo: Cultrix/Edusp, 1978。 Frege, Gottlob. Die Grundlagen der Arithmetik. Breslau: Koebner, 1884。莱布尼茨的引文在 §65。 Wittgenstein, Ludwig. Tractatus Logico-Philosophicus. London: Kegan Paul, 1922。关于同一性，见命题 5.53 至 5.5303。 Gauss, Carl Friedrich. Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig: Gerhard Fleischer, 1801。同余的定义和符号 ≡ 见第 1、2 条。 Pascal, Blaise. Traité du triangle arithmétique. Paris: Guillaume Desprez, 1665（写于 1654 年）。归纳法见推论十二。 Dijkstra, Edsger W.; Scholten, Carel S. Predicate Calculus and Program Semantics. New York: Springer, 1990。带提示的证明格式。 de Bruijn, Nicolaas G. Asymptotic Methods in Analysis. Amsterdam: North-Holland, 1958。大 $O$ 的单向等式。 Halmos, Paul R. I Want to Be a Mathematician: An Automathography. New York: Springer, 1985。$\blacksquare$ 的由来。 Kieran, Carolyn. Concepts associated with the equality symbol. Educational Studies in Mathematics, 12, 1981, 第 317–326 页。 Healy, Lulu; Hoyles, Celia. A study of proof conceptions in algebra. Journal for Research in Mathematics Education, 31(4), 2000, 第 396–428 页。 Fischbein, Efraim. Intuition and proof. For the Learning of Mathematics, 3(2), 1982, 第 9–18、24 页。 Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 卷。Chicago: Open Court, 1928–1929。关于高斯和黎曼的 ≡ 以及拉恩的 $\therefore$。 Earliest Uses of Symbols of Relation，Jeff Miller。 图片来源 图片 来源 许可 戈特洛布·弗雷格像，Emil Tesch 摄（约 1905 年） Wikimedia Commons 公有领域 高斯《算术研究》（1801）扉页 Wikimedia Commons 公有领域 帕斯卡《算术三角形》（Triangulus Arithmeticus）第一页，克莱蒙奥弗涅大都会遗产图书馆藏 Wikimedia Commons CC BY-SA 4.0 奇数之和的示意图和交互图形（同余的时钟、解方程的步骤）是为本书制作的，在本站的四种语言中都能使用。下载图片的记录及每个文件的哈希值见 data/semiotica_imagens.json。

October 17, 2026 阅读
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如何阅读一个证明：指南与术语表

本章从一行计算一路追踪等号，直到一个完整的证明。下面的指南汇集了有助于阅读这两者的问题。 关于等号的五个问题 它是在提问、断言，还是命名？ 如果是提问，它是方程，任务是求出解。如果它对所有值都断言成立，它是恒等式，任务是证明它。如果是命名，它是定义，任务是接受它、记住它。 两边的涵义相同，还是只有指称相同？ 涵义相同，这个等式就是空的。涵义不同，它就教了点什么，值得问一问教了什么。 是真正的相等，还是等价？ $\frac12=\frac24$ 对数来说是相等，对分数来说是等价。$17\equiv2\pmod5$ 说的是两个不同的数落进了同一个抽屉。 在这里我能用一边替换另一边吗？ 在计算内部，总是可以。在谈论某人知道或写下了什么的句子里，不一定。 三条定律成立吗？ 如果关系不对称（$:=$，大 $O$ 的 $=$）或不传递（$\approx$），它就不是真正的等号，$A=B=C$ 这样的链就不再管用。 关于证明的五个问题 到底断言了什么？ 找出陈述和其中的字母：哪些是任意的，哪些是给定的。 “设”在哪里？ 那是一般变成特殊的地方。检查一下：除了陈述给出的条件，对这个特殊情形没有作任何额外假设。 各行之间是哪种箭头？ 一串 $=$ 和 $\Leftrightarrow$ 可以双向阅读。一串 $\Rightarrow$ 只能从头读到尾。 每个假设在哪里打开、在哪里关闭？ 每出现一个“假设”，就去找它在哪里结束。在里面引入的字母，在外面不存在。 省略了什么？ 每个“容易看出”、每个省略号、每个“同理”，都是读者应当能够补上的一步。 对一个简短证明的完整解读 命题。 对每个整数 $n$，$n^3-n$ 都能被 $6$ 整除。 证明。 设 $n$ 是整数。那么 $n^3-n=(n-1)\,n\,(n+1)$，是三个连续整数的乘积。三个连续整数中，有一个是 $3$ 的倍数，并且至少有一个是偶数。所以这个乘积是 $2$ 的倍数，也是 $3$ 的倍数，因而是 $6$ 的倍数。$\blacksquare$ 陈述谈的是每一个整数：$n$ 是一个推广的数。 **“设 $n$ 是整数”**是欧几里得的设定。除了是整数，对 $n$ 没有任何假设。 $n^3-n=(n-1)n(n+1)$ 是一个恒等式，由链 $(n-1)n(n+1)=n(n^2-1)=n^3-n$ 证明。这里的等号把一种写法换成涵义更有用的另一种：因式分解的形式显示出三个连续数，原来的形式则没有。 **“三个连续整数中，有一个是 3 的倍数”**是一个未加证明就援引的事实。它背后是一种等价：模 $3$ 时，三个连续数分别落进 $0$、$1$、$2$ 三个抽屉，每个抽屉一个。 **“所以……因而”**标出两个 $\Rightarrow$ 步骤。第二步用到了 $2$ 和 $3$ 没有公约数，这也是一个被省略的事实。 $\blacksquare$ 结束证明，把读者带回一般的陈述。 术语表 相等。 两个指向同一对象的表达式之间的关系。满足自反性、对称性和传递性。 涵义与指称。 表达式的指称是它所指的对象；涵义是它呈现这个对象的方式。$2^{10}$ 和 $1024$ 指称相同，涵义不同。 方程。 含字母、被当作问题来读的等式：哪些值使它成立？它的解集就是答案。 恒等式。 对字母的所有取值都成立的等式。有时写成 $\equiv$。 定义。 给一个表达式命名的等式。有时写成 $:=$。 等价关系。 满足自反、对称、传递的关系。它把对象分成等价类。 同余。 当 $m$ 整除 $a-b$ 时，$a\equiv b\pmod m$。余数的等价关系，由高斯于 1801 年引入。 蕴含。 $P\Rightarrow Q$：只要 $P$ 为真，$Q$ 也为真。 逻辑等价。 $P\Leftrightarrow Q$：$P$ 和 $Q$ 恰好在相同的情形下为真。读作“当且仅当”。 增根。 在求解过程末尾出现、却不满足原方程的解，由一个不是 $\Leftrightarrow$ 的 $\Rightarrow$ 步骤引入。 演算式证明。 每一环都带有理由的等式链。 反证法。 假设与要证结论相反的命题，并推出矛盾的证明。 数学归纳法。 分奠基和递推两部分，证明某命题对所有自然数成立的方法。 反例。 使一个一般命题不成立的单个情形。一个就足以推翻它。 Q.E.D. 与 $\blacksquare$。 证明结束的标记：quod erat demonstrandum 和哈尔莫斯的墓碑。 练习：用关于等号的指南读 $\displaystyle\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$。它对每个 $x$ 都作出断言：是恒等式。对每个 $x$，两边指称相同，但涵义不同：左边谈的是倍角，右边谈的是单角。如果当作方程来读，“哪些 $x$ 使它成立？”的答案是“全部”。如果有人写 $\cos2x=1$，那才是一个问题，答案是 $x=k\pi$，$k$ 为整数。

October 17, 2026 阅读
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例子不是证明：欧拉、帕斯卡与归纳法

对 $n=0,1,2,3,\ldots$ 计算 $n^2+n+41$： $$41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 61,\ 71,\ 83,\ 97,\ 113,\ 131,\ \ldots$$全是素数。一直算到 $n=39$，结果 $1601$ 仍然是素数。连续四十个情形，没有一个例外。1772 年，莱昂哈德·欧拉让人们注意到这个了不起的公式。然而，它并不只产生素数：取 $n=40$， $$40^2+40+41=1600+40+41=1681=41^2.$$四十个例子什么也没证明。一个反例就推翻了一切。 例子的诱惑 欧拉的多项式并不是孤立的奇闻。1640 年，皮埃尔·德·费马观察到形如 $2^{2^n}+1$ 的数给出 $$3,\quad 5,\quad 17,\quad 257,\quad 65\,537,$$全是素数，于是猜想这种形式的数都是素数。1732 年，欧拉证明下一个数 $2^{32}+1=4\,294\,967\,297$ 等于 $641\cdot6\,700\,417$。直到今天，人们还没有找到这种形式的其他素数。 学生也感受到同样的诱惑。在 2000 年发表的一项研究中，英国研究者露露·希利和西莉亚·霍伊尔斯请大约 2500 名 14 到 15 岁的学生评价几种论证，论证的是“两个偶数之和总是偶数”。许多学生更喜欢验算例子的论证（$2+4=6$，$10+12=22$，……），因为他们看得懂；同时，他们又认为用 $2a+2b=2(a+b)$ 的代数论证才是老师会给最高分的。对他们来说，代数证明是做给老师看的形式，真正让人信服的是例子。 省略号藏着一条规则 这一页上最危险的符号，是最不起眼的那个：省略号 $\ldots$。当我们写 $$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$$时，这三个点要求读者根据几项猜出规则，并把它永远延续下去。这是一种经济的记号，同时也是一个承诺：“规律会继续下去”。但欧拉的多项式表明，规律可能会停下来。 上面的公式在前几种情形很容易验证：$1=1^2$，$1+3=4=2^2$，$1+3+5=9=3^2$。一幅图暗示了原因：每个奇数都是一层 L 形，把一个正方形变成下一个正方形。 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²。每个奇数都是一层 L 形，把正方形的边长增加一个单位。为本书制作的教学示意图。 这幅图很有说服力，但它仍然只是一幅图，只有五层。怎样把“依此类推”变成确定无疑？

October 17, 2026 阅读
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证明里的词：设、假设、所以、∎

读一读这个简短的证明： 命题。 两个偶数之和是偶数。 证明。 设 $m$ 和 $n$ 是偶数。那么存在整数 $a$ 和 $b$，使得 $m=2a$，$n=2b$。所以 $m+n=2a+2b=2(a+b)$。因为 $a+b$ 是整数，所以 $m+n$ 是偶数。$\blacksquare$ 去掉计算，剩下的是一副由词语构成的骨架：设、那么存在、所以、因为，以及末尾一个黑色的小方块。它们都不是“做计算”意义上的数学，却全都不可缺少。正是它们告诉读者每一行在做什么：引入一个对象、推出一个结论、援引一个事实、收尾。 欧几里得的六个部分 希腊人写证明时已经有固定的结构。五世纪的哲学家普罗克洛在注释《几何原本》时，描述了欧几里得命题的六个部分： 部分（希腊语） 作用 在上面的证明中 prótasis，陈述 一般地说出要证明什么 “两个偶数之和是偶数” ékthesis，设定 选出一个情形并给它命名 “设 $m$ 和 $n$ 是偶数” diorismós，限定 说明关于这个情形要证明什么 （隐含）“$m+n$ 是偶数” kataskeué，作图 补充所需的东西 “存在 $a$ 和 $b$，使 $m=2a$，$n=2b$” apódeixis，证明 把推论串起来 “$m+n=2(a+b)$” sympérasma，结论 回到一般的陈述 “$m+n$ 是偶数” 最巧妙的是设定。陈述谈的是所有偶数；设定挑出两个，$m$ 和 $n$，把它们当作特定的数来处理。但由于除了“是偶数”之外，对它们没有任何假设，所以关于 $m$ 和 $n$ 证明的一切，对任何偶数都成立。“设”这个词是一般与特殊之间的桥梁。它就是第3章里那个用来推广的字母，现在在证明里上岗工作了。 这就是所要证明的 欧几里得在每个命题末尾都写一句套话：hóper édei deîxai，“这就是所要证明的”。如果命题是一个作图题，比如第1章介绍过的作等边三角形，套话就变成 hóper édei poiêsai，“这就是所要作的”。拉丁译者把两者译为 quod erat demonstrandum 和 quod erat faciendum，并缩写为 Q.E.D. 和 Q.E.F.

October 17, 2026 阅读
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等式链：怎样证明一个恒等式

怎样证明对所有的数 $a$ 和 $b$ 都有 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$？不是靠代值试验：再多的例子也覆盖不了所有的数。证明的方法是写一条链： $$\begin{aligned} (a+b)^2&=(a+b)(a+b)\\ &=a(a+b)+b(a+b)\\ &=a^2+ab+ba+b^2\\ &=a^2+2ab+b^2. \end{aligned}$$每个等号连接两个相邻的式子，每一环都由一条已知的规则保证：平方的定义、分配律、再一次分配律、乘法交换律。根据第1篇介绍的欧几里得的那条定律——传递性——第一环等于最后一环。证明就是这条链。 带标签的链 在通常的写法中，理由都留在写的人脑子里，读者得去猜每个等号为什么成立。二十世纪八十年代，荷兰计算机科学家艾兹格·迪杰斯特拉和他的同事威姆·费延提出了一种格式：每一环都在花括号里带上自己的标签： $$\begin{aligned} &(a+b)^2\\ =\;&\{\text{平方的定义}\}\\ &(a+b)(a+b)\\ =\;&\{\text{分配律}\}\\ &a(a+b)+b(a+b)\\ =\;&\{\text{分配律}\}\\ &a^2+ab+ba+b^2\\ =\;&\{\text{交换律：}ba=ab\}\\ &a^2+2ab+b^2 \end{aligned}$$这种格式占的地方更多，说的也更多。式子行和理由行交替出现，等号放在左边缘，一目了然，正如它实际所是的链环。迪杰斯特拉把这种风格叫作演算式证明：证明就是计算，而计算就是在规则可见的情况下用相等的替换相等的。 从哪一边开始 证明恒等式的一条实用规则：从更复杂的一边开始。化简比猜出如何变复杂要容易。要证明 $$\frac1k-\frac1{k+1}=\frac1{k(k+1)},$$就从左边开始，那里有两个分数，正等着被合并： $$\begin{aligned} \frac1k-\frac1{k+1}&=\frac{k+1}{k(k+1)}-\frac{k}{k(k+1)}\\ &=\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\frac1{k(k+1)}. \end{aligned}$$从右边开始，就得事先知道 $1=(k+1)-k$ 是个好主意。从左边出发的证明在途中发现了这一点。 从结尾出发的错误 有一种出错的方式看起来像证明。一个学生想说明 $-1=1$，写道： $$-1=1\quad\Longrightarrow\quad(-1)^2=1^2\quad\Longrightarrow\quad1=1.$$“我得到了一个正确的东西，所以第一行是对的。”不对。一串从错误命题出发的 $\Rightarrow$ 完全可以到达一个正确的命题；这就是上一篇所说的会多出解的步骤。从要证明的结论出发、最后得到 $1=1$ 或 $0=0$，只有当每一步都是 $\Leftrightarrow$ 时才证明了什么；而那样的话，最好还是按正确的顺序写这条链，从已知走向未知。 在链中，等号是动词 在一篇写得好的证明里，$=$ 有精确的语法角色：它是句子的谓语动词。“$(a+b)^2=(a+b)(a+b)$”读作“$a+b$ 的平方是 $a+b$ 与它自身的乘积”。链变长时，$A=B=C=D$，句子仍有主语和谓语：“$A$ 是 $B$，$B$ 是 $C$，$C$ 是 $D$”。第2章讨论过的 $5\cdot3=15+2=17$ 这类错误，是用错了动词的句子：学生想说“然后”，写下的却是“是”。 练习：带标签的链用迪杰斯特拉的格式证明 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$。 $$\begin{aligned} &(a-b)(a+b)\\ =\;&\{\text{分配律}\}\\ &a(a+b)-b(a+b)\\ =\;&\{\text{分配律}\}\\ &a^2+ab-ba-b^2\\ =\;&\{\text{交换律：}ba=ab\text{，且 }ab-ab=0\}\\ &a^2-b^2 \end{aligned}$$ 练习：错在哪里？（4 = 5）$$\begin{aligned} -20&=-20\\ 16-36&=25-45\\ 16-36+\tfrac{81}4&=25-45+\tfrac{81}4\\ \left(4-\tfrac92\right)^2&=\left(5-\tfrac92\right)^2\\ 4-\tfrac92&=5-\tfrac92\\ 4&=5 \end{aligned}$$前四行都对：第四行两边都等于 $\frac14$。错误在于开平方。由 $x^2=y^2$ 可得 $x=y$ 或 $x=-y$，而这里 $4-\frac92=-\frac12$，$5-\frac92=\frac12$：成立的是第二种情形，不是第一种。这正是平方那一步，倒过来读。

October 17, 2026 阅读
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⇒ 与 ⇔：变形方程时得到什么、失去什么

解方程 $$\sqrt{x+2}=x.$$通常的做法是两边平方，去掉根号： $$\begin{aligned} \sqrt{x+2}=x\quad&\Longrightarrow\quad x+2=x^2\\ &\Longrightarrow\quad (x-2)(x+1)=0\\ &\Longrightarrow\quad x=2\ \text{或}\ x=-1. \end{aligned}$$计算全都正确，答案却不对。取 $x=2$：$\sqrt{4}=2$，方程成立。取 $x=-1$：$\sqrt{1}=1$，不等于 $-1$。原方程只有一个解，方法却找出了两个。这个闯入者是从哪里来的？ 一行一个方程 解方程的人并不是在对数做计算，而是在写一串方程，每一个都由前一个得到。把一行和下一行连起来的不是等号，而是关于命题的一个断言：“如果这一个为真，那一个也为真”。逻辑为此准备了两个符号。 $P\Rightarrow Q$，“$P$ 蕴含 $Q$”：只要 $P$ 为真，$Q$ 也为真。但 $Q$ 可以为真而 $P$ 不为真。 $P\Leftrightarrow Q$，“$P$ 等价于 $Q$”：两者恰好对相同的值为真。箭头双向都成立。 在解方程时，这个区别是决定性的。如果每一步都是 $\Leftrightarrow$，最后一行的解与第一行完全相同。如果某一步只是 $\Rightarrow$，最后一行可能多出解。如果某一步只是 $\Leftarrow$，则可能少了解。 双向都成立的步骤 有些步骤总是可逆的： 步骤 为什么能退回去 两边加上同一个数 再减回去就行 两边乘以同一个不为零的数 再除回去就行 把一个式子换成与它恒等的式子 恒等式双向成立 作用一个单射函数，例如 $x\mapsto x^3$ 或 $x\mapsto e^x$ 每个结果只来自一个值 另一些则不是： 步骤 可能发生什么 两边平方 多出解：由 $a=b$ 可得 $a^2=b^2$，但 $a=-b$ 时 $a^2=b^2$ 也成立 乘以一个可能为零的式子 多出解：那个式子的零点 除以一个可能为零的式子 丢掉解：那个式子的零点 在开头的方程里，平方这一步就是一个乔装的 $\Rightarrow$。方程 $x+2=x^2$ 问的是“$\sqrt{x+2}$ 等于 $x$ 还是等于 $-x$？”，而 $-1$ 回答的是后半句：$\sqrt{1}=1=-(-1)$。这个闯入者有名字：增根。唯一的防御是回到原方程去检验。

October 17, 2026 阅读
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等价：分数、时钟和高斯的 ≡

$\frac12$ 和 $\frac24$ 这两种写法是不同的：一个用数字 $1$ 和 $2$，另一个用 $2$ 和 $4$。一张比萨切成两块、你吃了一块，和一张比萨切成四块、你吃了两块，并不是同一回事：多切了一刀。然而我们毫不犹豫地写下 $$\frac12=\frac24=\frac36=\frac{50}{100}.$$这个等号断言的，不是写法相同，也不是比萨相同。它断言的是：就关心的东西而言——吃掉的量——它们无法区分。 就关心的东西而言相等 这正是等价关系的工作：把从某个角度看算作同一个的不同东西归为一组。对分数来说，判据是 $$\frac ab\sim\frac cd\quad\text{当且仅当}\quad a\cdot d=b\cdot c.$$对 $\frac12$ 和 $\frac24$：$1\cdot4=2\cdot2$。对 $\frac12$ 和 $\frac35$：$1\cdot5\neq2\cdot3$，两个分数不等价。 这样一种关系，只有当它也具备第1篇介绍的那三条定律——自反、对称、传递——时，才配得上一个长得像等号的符号。具备了这三条，它就会做一件了不起的事：把世界分成类，像一个个抽屉，每个对象恰好落进其中一个。与 $\frac12$ 等价的分数都在一个抽屉里；与 $\frac13$ 等价的在另一个抽屉里。 这里有一个由十九世纪数学明确提出的想法：有理数就是那个抽屉，而不是分数。$\frac12$、$\frac24$、$\frac36$ 是同一个对象——整个类——的不同名字。这是弗雷格的涵义与指称之分，从另一边看过去：不是从一个对象出发去找它的名字，而是从名字出发，把彼此等价的名字放在一起，构造出对象。 时钟 最日常的等价例子就在手腕上。$15$ 点时，时针指着 $3$。再过 $13$ 小时，时钟会走到 $3+13=16$，而 $16$ 显示为 $4$。对时针来说，$3$、$15$、$27$、$-9$ 全都一样：它们相差 $12$ 的倍数。 《算术研究》（1801）的扉页。24 岁的卡尔·弗里德里希·高斯在这本书里引入了同余和符号 ≡。Carl Friedrich Gauss · Wikimedia Commons · 公有领域 1801 年，卡尔·弗里德里希·高斯在《算术研究》的开头，给了这个想法一个名字、一个定义和一个符号。当两个数之差能被 $m$ 整除时，称它们模 $m$ 同余。他写道： 今后我们用这个符号 ≡ 表示数的同余，必要时在括号中附上模：−16 ≡ 9 (mod. 5)，−7 ≡ 15 (mod. 11)。 — 高斯，《算术研究》（1801），第 2 条

October 17, 2026 阅读
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方程、恒等式、定义：同一个符号的三份工作

同一个字母 $f$，三句话： $$f(x)=x^2,\qquad f(x)=x\cdot x,\qquad f(x)=4.$$第一句给出名字：从这里开始，$f$ 就是求平方的函数。第二句陈述规律：对每个 $x$，$f$ 的值都是 $x$ 乘 $x$。第三句提出问题：$x$ 取什么值时函数等于 $4$？答案是 $x=2$ 或 $x=-2$。 三句里的符号一模一样，读者要做的事却不一样： 类型 回答的问题 怎样处理它 例子 方程 哪些值使它成立？ 解它 $x^2=4$ 恒等式 对所有值都成立吗？ 证它 $(x-2)(x+2)=x^2-4$ 定义 这个名字是什么意思？ 接受它 $n!=1\cdot2\cdots n$ 定义无所谓真假：它是一次命名。“证明” $n!=1\cdot2\cdots n$ 没有意义，就像证明某人叫玛丽亚没有意义一样。相反，恒等式必须证明，方程必须求解。把三份工作搞混的人，是在错误的对象上做了正确的事。 试图提醒读者的符号 几个世纪以来，好几位数学家试图给每份工作一个专门的符号。 用 $\equiv$ 表示恒等式。 据史学家弗洛里安·卡约里说，伯恩哈德·黎曼在 1857 年就用它表示“对所有值都相等”。物理和工程书里仍然能看到它：$\sin^2x+\cos^2x\equiv1$。 用 $:=$ 表示定义。 冒号放在新名字的一边：$f(x):=x^2$ 读作“$f(x)$ 按定义等于 $x^2$”。这个符号随着程序设计语言流行起来（在那里它表示赋值），二十世纪末传进了数学书。 $\overset{\text{def}}{=}$ 或 $\stackrel{\triangle}{=}$。 把“定义”一词放在等号上方的变体。更明确，但用得更少。 没有一个彻底胜出。大多数书仍然处处写 $=$，依靠语境：“设”“定义”“对所有”“解”这些词，做了符号没做的工作。这是一种典型的情形：句法没说的，记号留给莫里斯意义上的语用学去说（见第2章）。 把“新生之梦”当作方程来读 代数里最有名的错误之一，是写出 $$(a+b)^2=a^2+b^2.$$在英语里它甚至有个外号：freshman’s dream，“新生之梦”。作为恒等式，这句话是错的：取 $a=b=1$，左边是 $4$，右边是 $2$。但看看把它当作方程、当作关于 $a$ 和 $b$ 的一个问题来读时会发生什么：

October 17, 2026 阅读