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记号与文化：指南与术语表

本章把记号当作人、地方和工具的产物来阅读。下面的指南汇集了有助于对任何符号进行这种阅读的问题。 面对一种记号的五个问题 它诞生于什么工具？ 算筹的算板、穿孔卡片、APL 的键盘、黑板。符号的形状常常保留着工具的形状。 哪个群体在用它？ 物理学家、工程师、程序员、集市小贩。同一个字母在每个部落里可以有不同的意思，比如 $\log$ 或 $j$。 它取代了什么，为什么？ 米取代了地方度量，因为商业从中获益；十进制时间什么也没取代，因为谁也得不到好处。 它把谁挡在了外面？ 每一种缩写都向不懂约定的人收取过路费。为众多读者写作的人，至少会把捷径还原一次。 它使什么变得可以思考？ 红筹和黑筹使负数变得可以思考；艾弗森括号把计数变成求和；形式化的书写使机器检验证明成为可能。 对一个符号的完整解读：程序中的等号 考虑超市收银程序中的一行 total = total + price。 工具： 穿孔卡片和 Fortran 的键盘，符号很少，从公式中继承了等号。 群体： 程序员，对他们来说等号的意思是“存入”。对数学家来说，这一行是一个迫使 $\text{price} = 0$ 的方程。 它取代了什么： 收银员逐件商品手工进行的“加上并记下”。 它把谁挡在了外面： 刚刚在学校学到等号表示断言相等的学生。 它使什么变得可以思考： 把名字看作一个随时间变化的盒子，这是一切迭代算法的基础。 术语表 筹算数字。 中国的写数方式，复制自算板，算筹在相邻数位之间纵横交替。 二十进制。 每一位是前一位的二十倍的记数系统，玛雅人使用，有专门表示零的符号。 结绳（quipu）。 印加人用来以十进位值制记录数的一组打结的绳子。 十进制时间。 把一天分成 10 小时、每小时 100 分、每分 100 秒的制度，法国大革命于 1794 年推行，1795 年放弃。 百分度（gon）。 直角为 100 的角度单位。在计算器的 GRAD 模式中保留下来。 爱因斯坦约定。 对一项中出现两次的每个指标默认求和的规则。 下取整与上取整。 $\lfloor x \rfloor$，不大于 $x$ 的最大整数；$\lceil x \rceil$，不小于 $x$ 的最小整数（艾弗森）。 艾弗森括号。 命题 $P$ 为真时 $[P]$ 为 $1$，为假时为 $0$。 赋值。 把一个值存进一个名字的命令：Fortran 和 C 中的 x = x + 1，Algol 和 Pascal 中的 x := x + 1，高德纳的 $x \leftarrow x + 1$。 斯蒂格勒定律。 没有哪项发现以最早发现者的名字命名。斯蒂格勒把它归于默顿。 以人名命名（eponym）。 给定理、公式或对象冠以人名，如“帕斯卡三角形”。 民族数学。 研究各文化群体在学校内外计数、度量和计算方式的领域（丹布罗西奥）。 证明助手。 逐步检验用形式语言写成的证明的程序，如 Coq 和 Lean。 练习：运用指南把问题 1、2 和 5 用于百分号 $\%$。 工具： 这个符号来自意大利商业中对 per cento（每百）的缩写，手写在账簿上，随着时间推移缩成了 $\%$。2. 群体： 先是商人和银行家，然后才是数学家。5. 它使什么变得可以思考： 把分母不同的比例放在同一个标准 $100$ 上比较：$\frac{3}{8}$ 和 $\frac{7}{20}$ 难以比较，$37.5\%$ 和 $35\%$ 则不难。

October 26, 2026 阅读
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部落的约定：爱因斯坦、布尔巴基和入门的读者

一种记号并不是以同样的方式属于所有数学家。每个领域，有时每个学派，都有自己的捷径，外来者会在上面绊倒。这不是缺陷：任何活的语言都是如此，都会分化出口音和行话。但它对读者和学习者会产生影响。 爱因斯坦删掉了求和号 1916 年，在提出广义相对论的论文中，阿尔伯特·爱因斯坦需要写几百个这样的式子： $$\sum_{\mu=1}^{4} a_\mu b^\mu = a_1 b^1 + a_2 b^2 + a_3 b^3 + a_4 b^4.$$他注意到，在他的公式里，每当一个指标重复出现——一次在下、一次在上——就要求和。于是他和读者约定：当一个指标出现两次时，求和是不言而喻的，$\Sigma$ 不必写出。上面的式子就只写成 $a_\mu b^\mu$。 1921 年在维也纳演讲时的阿尔伯特·爱因斯坦，费迪南德·施穆策绘。Ferdinand Schmutzer · 维基共享资源 · 公共领域 据说爱因斯坦曾跟一位朋友开玩笑：“我在数学上有了一个伟大的发现：每当要对出现两次的指标求和时，我就把求和号省掉。”玩笑背后是认真的。爱因斯坦约定如今是相对论和微分几何的通用语言；物理学家读 $R_{\mu\nu} g^{\mu\nu}$ 时，不会想到里面藏着一个十六项的二重求和。别的领域的学生看到的是两个字母，根本看不到求和。 布尔巴基的符号 尼古拉·布尔巴基小组——从 1935 年起重写数学基础的法国集体数学家——在记号上留下了一些如今看来普遍通用的痕迹。空集符号 $\varnothing$ 是安德烈·韦伊为 1939 年《数学原本》第一卷选定的，他熟悉挪威字母表中的字母 Ø。布尔巴基书页的边上还有一个交通标志，危险弯道 ☡，提醒读者这一段需要格外小心。 一个字母，几个部落 $i$ 还是 $j$？ 对数学家来说，$\sqrt{-1}$ 是 $i$。对电气工程师来说是 $j$，因为 $i$ 已经被电流占用了。两者把同一个东西分别写成 $3 + 4i$ 和 $3 + 4j$。 $\log$。 对许多数学家来说，$\log x$ 是以 $e$ 为底的自然对数。对工程师和计算器来说，是以 10 为底。对计算机科学家来说，几乎总是以 2 为底。三种意思同时出现在同一年出版的书里。 $\langle \psi |$。 量子物理学家用保罗·狄拉克的括号（1939）书写态：左矢 $\langle \phi |$ 和右矢 $| \psi \rangle$，合起来是括号 $\langle \phi | \psi \rangle$。这套记号是个文字游戏（英文的 bracket 被拆成 bra 和 ket），同时也让某些计算几乎自己写了出来。 暗号与边界 一种群体内部的记号，为已在圈内的人节省笔墨，却向圈外的人收取过路费。它是一种暗号：不写求和号而写 $a_\mu b^\mu$ 的人，表明自己属于这个部落。好的普及文章和好的老师反其道而行之：他们至少把部落省略的东西完整地写出一次。

October 26, 2026 阅读
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米赢了，十进制时间没有

1793 年，法国大革命正处高潮，国民公会决定时间也要十进制化。一天将有 10 小时，每小时 100 分钟，每分钟 100 秒。钟表匠做出了新的表盘，有些把两种刻度并排放在一起，好让百姓习惯。 钟表匠阿南（Hanin）呈交国民公会的纸质表盘，新时辰用阿拉伯数字，旧时辰用罗马数字，以便对照：“新时辰与旧时辰的关系，经国民公会通过”。Hanin · 维基共享资源 · 公共领域 十进制时间在 1794 年底成为强制规定，1795 年 4 月即被暂停，距颁布只有十七个月。没有人愿意换掉家里的钟，教堂的钟照旧敲十二下，而新时间也没有任何实际好处来弥补这些麻烦。共和历——每月 30 天，分成三个十天的“旬”——维持得稍久一些：拿破仑在 1806 年初把它废除了。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 米 埋葬了十进制时间的同一部 1795 年法律，创立了公制。米被定义为从北极到赤道距离的一千万分之一，两位天文学家让-巴蒂斯特·德朗布尔和皮埃尔·梅尚从 1792 年到 1798 年测量了敦刻尔克和巴塞罗那之间的子午线弧，以确定它。克、升和公亩随之而来，全都与米相联系，全都以十为进位。 米在时辰失败的地方取得了胜利，因为它解决了一个真实的问题。法国有数百种地方度量单位，名字相同而数值不同；商业因此受损，国家征税时也一样。十进制使换算像移动小数点一样简单，这正是我们在第1章中看到的位值制的优点。即便如此，它直到 1840 年才在法国成为强制标准。 “砸公斤”暴动 巴西于 1862 年以法律采用公制，给了十年的过渡期。1874 年，新的度量衡开始在东北部内陆的集市上强制执行，帕拉伊巴、伯南布哥、阿拉戈斯和北里奥格兰德的农民冲进市政厅和市场，砸毁了秤和公制标准器。这场暴动被称为 Quebra-Quilos，“砸公斤”。对那些按葫芦瓢和杆子买卖的人来说，新记号是又一种受骗的方式，而且是和新税一起来的。 留下来的百分度 革命者还想把角度十进制化：直角为 100 百分度（gon），一整圈为 400。这个主意比时辰幸运：几代法国测量员和制图员都用过它，它至今仍作为科学计算器的 GRAD 模式，与 DEG 和 RAD 并列。但巴比伦的度，连同它的 360 和 60 分，从来没有挪过位置。 教训是：一种记号不会仅仅因为合乎逻辑就获胜。它获胜，是在使用它的群体从更换中得到的多于失去的时候，也是在推行它的人得到使用者信任的时候。 练习：十进制的傍晚普通钟表的 18 点，在十进制时间里是几点？9 点呢？ 到 18 点，一天已经过去了 $\frac{18}{24} = 0.75$。按十进制时间，$0.75 \times 10 = 7.5$ 小时，也就是7 点 50 十进制分。到 9 点，是一天的 $\frac{9}{24} = 0.375$，即 3 点 75 十进制分。这个计算很容易，因为十进制的一天就是一个用十进制写出的分数：一天的 $0.375$ 直接读作 3 点 75。

October 26, 2026 阅读
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没有人写下来的约定

每一种书写都有一些没有人记得自己学过的规则。中文现在从左往右、从上往下读；阿拉伯文从右往左读。数学书写也有这类规则，其中有些强到看起来像数学真理。其实不是：它们是约定，是本来可以是别样的协议。 运算顺序 $2 + 3 \cdot 4$ 等于多少？几乎所有人都回答 $14$：先乘后加。但数学里没有任何东西强迫这个顺序。如果约定是“从左到右”，答案就是 $20$。我们用的规则（先乘方，再乘除，最后加减）是在 16 到 19 世纪的代数书里慢慢固定下来的，因为它在最常见的式子里省括号：像 $3x^2 + 2x + 1$ 这样的多项式，换一种规则就没法读了。 在美国，学生把它记成 PEMDAS；在英国，记成 BODMAS。名字不同，约定一样，而它有一个漏洞，时不时就在社交网络上冒出来： $$6 \div 2(1+2) = \ ?$$严格照规则办事、在乘除之间从左到右算的人，先算 $6 \div 2 = 3$，再算 $3 \cdot 3 = 9$。把 $2(1+2)$ 当作一个整体来读的人，因为这里的乘法是隐含的、没有符号，就算 $6 \div 6 = 1$。两种读法都有人支持，一些科学出版规范倾向于第二种。重点不在于判定谁对，而在于看出这个式子写得不好。数学家绝不会这样写。他们会写 $\frac{6}{2}(1+2)$ 或 $\frac{6}{2(1+2)}$，疑问就消失了。 不守规矩的符号 $-3^2$。 乘方先于负号，所以 $-3^2 = -(3^2) = -9$。要得到 $9$，得写 $(-3)^2$。许多计算器和电子表格遵循这个约定；也有一些不遵循。 $\sin^2 x$。 它表示 $(\sin x)^2$，这是一个省掉一对括号的老习惯。但 $\sin^{-1} x$ 表示 $\arcsin x$，即反函数，而不是 $\frac{1}{\sin x}$。同一个符号上的同一个上标有两种意思，我们在第3章中见过。 $2a$ 与 $2\tfrac{1}{2}$。 数和字母并排写表示相乘：$2a = 2 \cdot a$。在使用带分数的书里，数和分数并排写表示相加：$2\frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2}$。同样的并置，两种运算。 $f(x+1)$ 与 $a(x+1)$。 前者是函数 $f$ 在点 $x+1$ 处的值；后者是一个乘积。只有上下文才能说明括号前的字母是函数还是数。 逗号和小数点 在巴西，$1{,}5$ 是一点五，$1.500$ 是一千五百。在美国正好相反：$1.5$ 是一点五，$1,500$ 是一千五百。同一个写法 $1.000$，在一个国家表示一千，在另一个国家表示一。2003 年，国际计量大会接受了两种小数分隔符，并建议用窄空格分隔千位，如 $1\,500$，正是为了让数不取决于读者所在的国家。

October 25, 2026 阅读