Euler's Eyes
2026-10-26
部落的约定：爱因斯坦、布尔巴基和入门的读者
一种记号并不是以同样的方式属于所有数学家。每个领域，有时每个学派，都有自己的捷径，外来者会在上面绊倒。这不是缺陷：任何活的语言都是如此，都会分化出口音和行话。但它对读者和学习者会产生影响。
爱因斯坦删掉了求和号
1916 年，在提出广义相对论的论文中，阿尔伯特·爱因斯坦需要写几百个这样的式子：
$$\sum_{\mu=1}^{4} a_\mu b^\mu = a_1 b^1 + a_2 b^2 + a_3 b^3 + a_4 b^4.$$他注意到，在他的公式里，每当一个指标重复出现——一次在下、一次在上——就要求和。于是他和读者约定：当一个指标出现两次时，求和是不言而喻的，$\Sigma$ 不必写出。上面的式子就只写成 $a_\mu b^\mu$。
据说爱因斯坦曾跟一位朋友开玩笑：“我在数学上有了一个伟大的发现：每当要对出现两次的指标求和时，我就把求和号省掉。”玩笑背后是认真的。爱因斯坦约定如今是相对论和微分几何的通用语言；物理学家读 $R_{\mu\nu} g^{\mu\nu}$ 时，不会想到里面藏着一个十六项的二重求和。别的领域的学生看到的是两个字母，根本看不到求和。
布尔巴基的符号
尼古拉·布尔巴基小组——从 1935 年起重写数学基础的法国集体数学家——在记号上留下了一些如今看来普遍通用的痕迹。空集符号 $\varnothing$ 是安德烈·韦伊为 1939 年《数学原本》第一卷选定的，他熟悉挪威字母表中的字母 Ø。布尔巴基书页的边上还有一个交通标志，危险弯道 ☡，提醒读者这一段需要格外小心。
一个字母，几个部落
- $i$ 还是 $j$？ 对数学家来说，$\sqrt{-1}$ 是 $i$。对电气工程师来说是 $j$，因为 $i$ 已经被电流占用了。两者把同一个东西分别写成 $3 + 4i$ 和 $3 + 4j$。
- $\log$。 对许多数学家来说，$\log x$ 是以 $e$ 为底的自然对数。对工程师和计算器来说，是以 10 为底。对计算机科学家来说，几乎总是以 2 为底。三种意思同时出现在同一年出版的书里。
- $\langle \psi |$。 量子物理学家用保罗·狄拉克的括号（1939）书写态：左矢 $\langle \phi |$ 和右矢 $| \psi \rangle$，合起来是括号 $\langle \phi | \psi \rangle$。这套记号是个文字游戏（英文的 bracket 被拆成 bra 和 ket），同时也让某些计算几乎自己写了出来。
练习：解除约定
指标从 1 到 3，按爱因斯坦约定，把 $a_i b_i$ 和 $\delta_{ii}$ 完整写出，其中 $i = j$ 时 $\delta_{ij}$ 为 $1$，否则为 $0$。
$a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$：这就是第1章中的点积。而 $\delta_{ii} = \delta_{11} + \delta_{22} + \delta_{33} = 3$：重复的指标要求求和，结果就是空间的维数。
练习：工程师的 j
一位工程师写出阻抗 $Z = 3 + 4j$。它的模是多少？数学家会怎样写同一个数？
数学家会写 $z = 3 + 4i$。两种情况下模都是 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。换一个字母，计算上什么都没变；变的只是谁读这个公式时觉得自在。