每一种书写都有一些没有人记得自己学过的规则。中文现在从左往右、从上往下读；阿拉伯文从右往左读。数学书写也有这类规则，其中有些强到看起来像数学真理。其实不是：它们是约定，是本来可以是别样的协议。

运算顺序

$2 + 3 \cdot 4$ 等于多少？几乎所有人都回答 $14$：先乘后加。但数学里没有任何东西强迫这个顺序。如果约定是“从左到右”，答案就是 $20$。我们用的规则（先乘方，再乘除，最后加减）是在 16 到 19 世纪的代数书里慢慢固定下来的，因为它在最常见的式子里省括号：像 $3x^2 + 2x + 1$ 这样的多项式，换一种规则就没法读了。

在美国，学生把它记成 PEMDAS；在英国，记成 BODMAS。名字不同，约定一样，而它有一个漏洞，时不时就在社交网络上冒出来：

$$6 \div 2(1+2) = \ ?$$

严格照规则办事、在乘除之间从左到右算的人，先算 $6 \div 2 = 3$，再算 $3 \cdot 3 = 9$。把 $2(1+2)$ 当作一个整体来读的人，因为这里的乘法是隐含的、没有符号，就算 $6 \div 6 = 1$。两种读法都有人支持，一些科学出版规范倾向于第二种。重点不在于判定谁对，而在于看出这个式子写得不好。数学家绝不会这样写。他们会写 $\frac{6}{2}(1+2)$ 或 $\frac{6}{2(1+2)}$，疑问就消失了。

不守规矩的符号

  • $-3^2$。 乘方先于负号，所以 $-3^2 = -(3^2) = -9$。要得到 $9$，得写 $(-3)^2$。许多计算器和电子表格遵循这个约定；也有一些不遵循。
  • $\sin^2 x$。 它表示 $(\sin x)^2$，这是一个省掉一对括号的老习惯。但 $\sin^{-1} x$ 表示 $\arcsin x$，即反函数，而不是 $\frac{1}{\sin x}$。同一个符号上的同一个上标有两种意思，我们在第3章中见过。
  • $2a$ 与 $2\tfrac{1}{2}$。 数和字母并排写表示相乘：$2a = 2 \cdot a$。在使用带分数的书里，数和分数并排写表示相加：$2\frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2}$。同样的并置，两种运算。
  • $f(x+1)$ 与 $a(x+1)$。 前者是函数 $f$ 在点 $x+1$ 处的值；后者是一个乘积。只有上下文才能说明括号前的字母是函数还是数。

逗号和小数点

在巴西，$1{,}5$ 是一点五，$1.500$ 是一千五百。在美国正好相反：$1.5$ 是一点五，$1,500$ 是一千五百。同一个写法 $1.000$，在一个国家表示一千，在另一个国家表示一。2003 年，国际计量大会接受了两种小数分隔符，并建议用窄空格分隔千位，如 $1\,500$，正是为了让数不取决于读者所在的国家。

练习：负号与乘方

计算 $-2^2 + (-2)^2$ 和 $-2^3 + (-2)^3$。

$-2^2 + (-2)^2 = -4 + 4 = 0$。而 $-2^3 + (-2)^3 = -8 + (-8) = -16$：指数为奇数时，两种读法一致，$-2^3 = (-2)^3 = -8$。所以这个问题只在偶数指数时出现，只练过立方的人甚至可能察觉不到它的存在。

练习：写得没有歧义

把 $6 \div 2(1+2)$ 改写成两种没有歧义的形式，每种读法一种，并给出各自的值。

从左到右的读法：$\dfrac{6}{2}\cdot(1+2) = 3 \cdot 3 = 9$。整体的读法：$\dfrac{6}{2(1+2)} = \dfrac{6}{6} = 1$。分数线本来就是为了表明什么在上、什么在下而发明的，它解决了 $\div$ 号悬而未决的问题。

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