本章把记号当作人、地方和工具的产物来阅读。下面的指南汇集了有助于对任何符号进行这种阅读的问题。

面对一种记号的五个问题

  1. 它诞生于什么工具？ 算筹的算板、穿孔卡片、APL 的键盘、黑板。符号的形状常常保留着工具的形状。
  2. 哪个群体在用它？ 物理学家、工程师、程序员、集市小贩。同一个字母在每个部落里可以有不同的意思，比如 $\log$ 或 $j$。
  3. 它取代了什么，为什么？ 米取代了地方度量，因为商业从中获益；十进制时间什么也没取代，因为谁也得不到好处。
  4. 它把谁挡在了外面？ 每一种缩写都向不懂约定的人收取过路费。为众多读者写作的人，至少会把捷径还原一次。
  5. 它使什么变得可以思考？ 红筹和黑筹使负数变得可以思考；艾弗森括号把计数变成求和；形式化的书写使机器检验证明成为可能。

对一个符号的完整解读：程序中的等号

考虑超市收银程序中的一行 total = total + price。

  1. 工具： 穿孔卡片和 Fortran 的键盘，符号很少，从公式中继承了等号。
  2. 群体： 程序员，对他们来说等号的意思是“存入”。对数学家来说，这一行是一个迫使 $\text{price} = 0$ 的方程。
  3. 它取代了什么： 收银员逐件商品手工进行的“加上并记下”。
  4. 它把谁挡在了外面： 刚刚在学校学到等号表示断言相等的学生。
  5. 它使什么变得可以思考： 把名字看作一个随时间变化的盒子，这是一切迭代算法的基础。

术语表

  • 筹算数字。 中国的写数方式，复制自算板，算筹在相邻数位之间纵横交替。
  • 二十进制。 每一位是前一位的二十倍的记数系统，玛雅人使用，有专门表示零的符号。
  • 结绳（quipu）。 印加人用来以十进位值制记录数的一组打结的绳子。
  • 十进制时间。 把一天分成 10 小时、每小时 100 分、每分 100 秒的制度，法国大革命于 1794 年推行，1795 年放弃。
  • 百分度（gon）。 直角为 100 的角度单位。在计算器的 GRAD 模式中保留下来。
  • 爱因斯坦约定。 对一项中出现两次的每个指标默认求和的规则。
  • 下取整与上取整。 $\lfloor x \rfloor$，不大于 $x$ 的最大整数；$\lceil x \rceil$，不小于 $x$ 的最小整数（艾弗森）。
  • 艾弗森括号。 命题 $P$ 为真时 $[P]$ 为 $1$，为假时为 $0$。
  • 赋值。 把一个值存进一个名字的命令：Fortran 和 C 中的 x = x + 1，Algol 和 Pascal 中的 x := x + 1，高德纳的 $x \leftarrow x + 1$。
  • 斯蒂格勒定律。 没有哪项发现以最早发现者的名字命名。斯蒂格勒把它归于默顿。
  • 以人名命名（eponym）。 给定理、公式或对象冠以人名，如“帕斯卡三角形”。
  • 民族数学。 研究各文化群体在学校内外计数、度量和计算方式的领域（丹布罗西奥）。
  • 证明助手。 逐步检验用形式语言写成的证明的程序，如 Coq 和 Lean。
练习：运用指南

把问题 1、2 和 5 用于百分号 $\%$。

  1. 工具： 这个符号来自意大利商业中对 per cento（每百）的缩写，手写在账簿上，随着时间推移缩成了 $\%$。2. 群体： 先是商人和银行家，然后才是数学家。5. 它使什么变得可以思考： 把分母不同的比例放在同一个标准 $100$ 上比较：$\frac{3}{8}$ 和 $\frac{7}{20}$ 难以比较，$37.5\%$ 和 $35\%$ 则不难。
练习：三种记号，一个数

把数 $2026$ 写成六十进制，以及（不用历法规则的）玛雅二十进制。

六十进制：$2026 = 33 \times 60 + 46$，即 $33\,;\,46$，就像 $33$ 分 $46$ 秒。二十进制：$2026 = 5 \times 400 + 1 \times 20 + 6$，即各位为 $5$、$1$、$6$：上面一条横，中间一个点，下面一条横加一个点。第一篇中的交互图形可以检验这两种写法。

本章目录 · ← 写给机器的记号：由计算机核验的证明 · 参考文献、图片来源与全书结语 →