順序数：空集合でできた数
20 世紀のはじめ、数学者たちは数学全体をただ一つの概念、集合から組み立てようとしていた。だが、その言葉で言えば、数 $3$ とは何なのか。ゲオルク・カントールは「順序数」、つまり列の中の位置をはかる数について語っていた。一番目、二番目、三番目、そして有限のものすべての後に、最初の無限の順序数 $\omega$ が来る。足りなかったのは、これらの数が集合として何であるかを言うことだった。
1923 年、19 歳のフォン・ノイマンは短い論文『超限数の導入について』を発表した。その答えはあまりに簡潔だったので、標準の定義となった。
各数はそれより前の数の集合である 規則は一つしかない。順序数とは、それより小さい順序数すべての集合である。何もないところから始めると、
$$0 = \varnothing,\qquad 1 = \{0\} = \{\varnothing\},\qquad 2 = \{0, 1\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\},$$$$3 = \{0, 1, 2\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}.$$一般に、ある数の後者は、その数自身に自分自身を付け加えたものである。
$$n + 1 = n \cup \{n\}.$$この定義からは三つのことがただで手に入る。
数 $n$ はちょうど $n$ 個の要素をもつ。$3$ の要素は $0$、$1$、$2$ である。$n$ まで数えるとは、$n$ の要素をたどることだ。 「より小さい」は「属する」になる。$m < n$ は $m \in n$ を意味する。さらに「含まれる」でもある。$2 \subset 3$。 すべては空集合からつくられる。数の存在を仮定する必要はない。数は波括弧から製造されるのだ。 無限の先へ 同じ規則はそのまま続く。すべての自然数の集合
$$\omega = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$$は最初の無限順序数である。これもそれより小さい順序数すべての集合であり、前のものとまったく同じだ。続いて $\omega + 1 = \omega \cup \{\omega\}$、次に $\omega + 2$ と進み、$\omega \cdot 2$、$\omega^2$、$\omega^\omega$ …… へと至る。カントールはこの階段を描いた。フォン・ノイマンは、その一段一段に具体的な構成を与えたのである。
