1925 年と 1926 年に、量子力学の二つの版がほぼ同時に生まれた。ハイゼンベルクの版は無限行列を使い、シュレーディンガーの版は波動方程式を使った。どちらも実験では同じ結果を与えたが、別々のことを語っているように見えた。しかも物理学者たちは、ディラックのデルタ「関数」のような、数学者には受け入れがたい技巧を使っていた。

ゲッティンゲンでヒルベルトとともに働いていたフォン・ノイマンは、二つが同じ理論を異なる座標で書いたものであることを示し、すべてを一つの言語で書き直した。1932 年の本『量子力学の数学的基礎』は、この理論を完全に厳密に知りたい者にとって今も参考書である。

状態はベクトルである

フォン・ノイマンの言葉では、物理系の状態はヒルベルト空間の中の長さ 1 のベクトルである。ヒルベルト空間とは、平面や三次元空間のように内積をもつ空間だが、無限に多くの次元をもちうる。最も簡単な例として、測定すると「上」か「下」の二つの結果しか出ない系を考えると、その状態は平面上にある。

$$\psi = a\,\mathbf{e}_\uparrow + b\,\mathbf{e}_\downarrow, \qquad a^2 + b^2 = 1.$$

ベクトルを実験室と結びつける規則は、マックス・ボルンが提案し、フォン・ノイマンが整えたもので、各結果の確率は対応する成分の二乗である。$a = \frac35$、$b = \frac45$ とすると、

$$P(\uparrow) = \left(\tfrac35\right)^2 = \tfrac{9}{25} = 36\%, \qquad P(\downarrow) = \left(\tfrac45\right)^2 = \tfrac{16}{25} = 64\%.$$

ベクトルの長さが 1 だという条件 $a^2 + b^2 = 1$ は、確率の和が 100% になることを述べるピタゴラスの定理である。

測定とは射影である

測定の後、系は $\psi$ にとどまらない。得られた結果に対応する状態、$\mathbf{e}_\uparrow$ か $\mathbf{e}_\downarrow$ に移る。フォン・ノイマンはこれを、ベクトルのある軸への射影として書き、エネルギーや位置のような測定される量を作用素と呼んだ。測定で得られうる値は、これらの作用素の固有値である。実験室の物理が無限次元の線形代数だけで記述されたのはこれが初めてであり、フォン・ノイマンはそのために、今日大学院の数学で教えられる作用素論の多くをつくったのである。

練習：状態を規格化する

ある状態は $\mathbf{e}_\uparrow + \mathbf{e}_\downarrow$ に比例している。長さ 1 のかたちに書き、確率を計算せよ。

$(1, 1)$ の長さは $\sqrt{2}$ なので、状態は $\psi = \frac{1}{\sqrt2}\mathbf{e}_\uparrow + \frac{1}{\sqrt2}\mathbf{e}_\downarrow$ である。各結果の確率は $\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2 = \frac12$。公平な量子のコインである。

練習：角度と確率

状態が軸 $\mathbf{e}_\uparrow$ と角 $\theta$ をなす、つまり $\psi = \cos\theta\,\mathbf{e}_\uparrow + \sin\theta\,\mathbf{e}_\downarrow$ のとき、$P(\uparrow)$ はいくらか。それが $75\%$ になる角度はいくつか。

$P(\uparrow) = \cos^2\theta$ である。$\cos^2\theta = \frac34$ より $\cos\theta = \frac{\sqrt3}{2}$、よって $\theta = 30°$。基本の恒等式 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ が、ここでも二つの確率の和が 1 になることを保証している。

出典： John von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik（1932）· Grete Hermann, “Die naturphilosophischen Grundlagen der Quantenmechanik”（1935）· John S. Bell, “On the problem of hidden variables in quantum mechanics”, Reviews of Modern Physics（1966）。

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