Euler's Eyes
2026-10-27
ジョン・フォン・ノイマンの遺産
フォン・ノイマンのような頭脳は、人間より優れた種の存在を示しているのではないかと、私はときどき考えた。
— ノーベル物理学賞受賞者ハンス・ベーテ、ノーマン・マクレイの伝えるところによる
この連載の八つの文章は、フォン・ノイマンがしたことの一部を示すにすぎない。完全な一覧は六巻の著作集を埋め、彼の時代の数学のほとんどあらゆる分野にわたっている。
純粋数学
- 作用素環。 1929 年から 1943 年にかけて、一部はフランシス・マレーとの共同で、今日フォン・ノイマン環と呼ばれる作用素環の理論をつくった。解析学と数理物理学で最も活発な分野の一つである。
- エルゴード定理。 1932 年、統計物理学のある原理を正当化する定理の一つの版を証明した。ある量の時間平均は、とりうるすべての状態にわたる平均に等しい、という原理である。
- ヒルベルトの第五問題。 1933 年、ヒルベルトが 1900 年に提出した問題の一つ、連続群はどんなときに自動的に「なめらか」になるかという問題の、コンパクトな場合を解いた。
経済、天気、戦略
- 経済成長。 1937 年に発表され、それより数年前にプリンストンのセミナーで報告された論文で、拡大する経済のモデルを組み立て、ミニマックスと同じ数学で均衡の存在を証明した。数理経済学の基礎となった文献の一つである。
- 天気予報。 1950 年、ジュール・チャーニーが率い、フォン・ノイマンも加わったグループが、ENIAC で最初の数値天気予報を行った。24 時間の予報に約 24 時間の計算がかかった。今日の天気と気候を予測するモデルは、この実験の子孫である。
- 核戦略。 冷戦の間、ゲーム理論は軍拡競争を考えるのに使われ、フォン・ノイマンは大陸間ミサイルの計画に加わった。この推論に結びついた「相互確証破壊」という言葉は、今も一つの時代を要約している。
「特異点」という言葉
1958 年、スタニスワフ・ウラムは友人を追悼する文章を書いた。その中で彼は、加速し続ける技術の進歩についての会話を回想している。その進歩は「人類の歴史におけるなんらかの本質的な特異点、それを越えると私たちの知る人間の営みは続きえない点」に近づいているように見える、と。これがこの意味でのこの言葉の、記録に残る最初の使用であり、何十年ものちに人工知能をめぐる議論の主題となった。
彼をどう語るか
フォン・ノイマンは、今世紀で最も抽象的な数学者の一人であると同時に、科学の軍事応用に最も深く関わった一人でもあり、その二つは彼の物語の中で切り離せない。彼がつくるのを助けた計算機は爆弾を計算するために生まれ、まもなく天気、市場、タンパク質を計算するようになった。ゲーム理論は室内ゲームについての論文から生まれ、核戦略の手引き書や携帯電話の周波数の競売にまで行き着いた。
彼が残した教訓は、分野の境界を尊重しなかった数学者の教訓である。彼は物理学も経済学も計算機も、数学が役に立ちうる場所として扱った。そして数学はほとんどいつも役に立ったのである。
練習：IAS の記憶装置
1 ギガバイト（$10^9$ バイト）のメモリーカードには、IAS の記憶装置がいくつ入るか。
IAS の記憶装置一つは $5\,120$ バイトである。$\frac{10^9}{5\,120} \approx 195\,000$。今日の小さなカード一枚に、フォン・ノイマンの計算機のほぼ二十万倍の記憶が入る。
練習：遅れて届く予報
1950 年、24 時間の予報の計算には約 24 時間かかった。今日の計算機が同じ計算を十億倍速く行えるとしたら、どれだけかかるか。
$24$ 時間は $86\,400$ 秒である。$10^9$ で割ると約 $0.0000864$ 秒、十分の一ミリ秒にも満たない。だから今日のモデルは何十億倍も細かい格子を使っても、なお何日も先を予報できるのである。
出典： Stanisław Ulam, “John von Neumann 1903–1957”, Bulletin of the AMS（1958）· Norman Macrae, John von Neumann（1992）· William Poundstone, Prisoner’s Dilemma（1992）· フォン・ノイマンの伝記、MacTutor。