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グラフと地図：何が何とつながっているかだけを見る図

1652 年の版画に描かれたケーニヒスベルク。プレーゲル川、二つの島、七つの橋が見える。橋の問題を解くために、オイラーはこの絵が示すもののほとんどすべてを捨てた。Merian-Erben · Wikimedia Commons · パブリックドメイン プロイセンの町ケーニヒスベルクはプレーゲル川に貫かれ、川には二つの島があり、七つの橋が町の四つの部分を結んでいた。住民たちは、どの橋もちょうど一回ずつ渡る散歩ができるかどうかを知りたがった。1736 年、オイラーはそれができないことを証明した。歴史の本のケーニヒスベルクの橋の文章がその証明を語っている。ここで関心があるのは、オイラーが図に対して何をしたかである。 地図を捨てる 町の地図は、通り、家、距離、川の幅、島の形を示す。オイラーは、そのどれも問題には関係がないことに気づいた。大事なのは町のどの部分がどの橋で結ばれているかだけである。各部分は一つの点になり、各橋は二つの点を結ぶ一本の線になる。その結果が今日グラフと呼ばれるものである。四つの点と七本の線だ。 このグラフでは、大きさも距離も形も意味をもたない。線を伸ばしても、点を動かしても、全体を曲げてもかまわない。つながりが変わらないかぎり、グラフは同じグラフである。パースの言葉で言えば、グラフはごく特殊なイコンである。町に似ているのはつながりだけなのだ。何を写すかを厳しく選んだイコンである。 答えを浮かび上がらせたのは、まさにこの切り詰められた図だった。散歩の途中で、ある点に橋を渡って入るたびに、別の橋を渡って出ていかなければならない。だから道筋の途中にある点は、どれも偶数本の線につながっていなければならない。ケーニヒスベルクでは、四つの点はそれぞれ $5$、$3$、$3$、$3$ 本の線につながっている。すべて奇数である。そのような散歩は不可能だ。 地図であることをやめた地図 1931 年、ロンドン地下鉄の製図技師ハリー・ベックが新しい路線図を提案した。古い地図は地理に従っていたので、路線は都心でもつれ、郊外ではばらばらに広がり、誰にも読めなかった。ベックは、乗客が知る必要があるのは駅がどこにあるかではなく、駅がどんな順番で並び、どこで乗り換えるかだと気づいた。彼は水平、垂直、$45°$ の直線だけを使い、駅の間隔をすべて等しくした。 1933 年に発行されたベックの路線図は、地図ではなくグラフである。地理をすっかりゆがめているが、まさにそれが役に立つ理由なのだ。世界のほとんどすべての地下鉄――サンパウロ、東京、上海の地下鉄も含めて――が同じ原理を採用している。その代償として、観光客はときどき、歩けば五分の駅まで地下鉄に乗ってしまう。路線図の上では遠く見えるからである。 同じグラフ、違う描き方 つながりだけが大事なので、同じグラフをまったく違うふうに描くことができる。二本の対角線を引いた正方形と、上から見た三角錐は、同じグラフである。四つの点が、どの二つも結ばれている。二つの絵が同じグラフを表しているかどうかを判定するのは、大きなグラフでは驚くほど難しい問題であり、グラフ同型問題という名前がついている。 描き方が大事になることもある。どの二本の線も交差しないように描けるグラフは平面的である。たとえば、プリント基板を一層だけで作れるかどうかは、これで決まる。 三軒の家と三つの供給設備 古いパズルがある。三軒の家をそれぞれ三つの供給設備――水道、電気、ガス――につなぎ、どの二本の管も交差させないというものだ。挑戦した人は誰でも最後には交差にぶつかるが、それは腕が足りないからではない。片側に三つ、反対側に三つの点があり、九本の線ですべてを結んだグラフは $K_{3,3}$ と呼ばれ、平面的ではないのである。1930 年、ポーランドのカジミェシュ・クラトフスキは、グラフが平面的であるのは、その中に $K_{3,3}$ も、五つの点がどの二つも結ばれたグラフ $K_5$ も隠れていないとき、そしてそのときに限ることを証明した。 練習：八つ目の橋住民たちが川の両岸を結ぶ八つ目の橋を架けたら、散歩はできるようになるか。 両岸はもともとそれぞれ $3$ 本の線につながっていた。新しい橋で、それぞれ $4$ 本になる。次数は $5$、$4$、$4$、$3$ となり、奇数の点は二つだけになる。どの橋も一回ずつ渡る散歩ができるようになる。一方の奇数の点から出発し、もう一方の奇数の点で終わればよい。 練習：K₃,₃ が平面的でない理由平面グラフについてのオイラーの公式 $V-E+F=2$（頂点の数ひく辺の数たす面の数）を使って、$K_{3,3}$ が平面的でないことを示せ。 $K_{3,3}$ は $V=6$、$E=9$ である。もし平面的なら、面は $F=2-6+9=5$ 個ある。$K_{3,3}$ には三角形がない（どの線も家から設備へ向かう）ので、どの面も少なくとも $4$ 本の辺をもつ。各辺は高々 $2$ つの面の境界なので、$4F\leq2E$、つまり $20\leq18$ となり矛盾する。したがって交差のない描き方は存在しない。 章の目次 · ← アルガン平面：居場所を見つけた虚数 · 言葉のない証明 →

October 19, 2026 読んだ
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アルガン平面：居場所を見つけた虚数

16 世紀以来、イタリアの代数学者たちは、ある種の三次方程式を解くとき、最後の答えが実数であっても負の数の平方根を通らなければならないことを知っていた。彼らは $\sqrt{-1}$ を居心地悪く使った。デカルトはそれを虚数と呼び、その名が残った。ライプニッツはそれを「存在と非存在のあいだの両生類」と描写した。 問題は記号論的なものだった。$\sqrt{-1}$ は代数の規則に従う書き方なのに、見たり測ったりできる何ものも指していなかった。実数には数直線の上に場所がある。$\sqrt{-1}$ にはどこにも居場所がなかった。 虚数に居場所を与える 『幾何学的作図において虚量を表す一つの方法についての試論』（パリ、1806）の扉。著者名なしで出版された。この一冊には、1874 年にこの論文を再刊したジュール・ウエルの手書きの献辞がある。Jean-Robert Argand · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 答えは二人のアマチュアからやってきた。1797 年、ノルウェーの測量士カスパー・ヴェッセルはデンマーク科学アカデミーに論文を提出したが、一世紀のあいだ誰にも読まれなかった。1806 年、パリに住んでいたスイス人の簿記係ジャン＝ロベール・アルガンが、同じ考えを示す小さな論文を自費で、名前を出さずに出版した。虚数を実数の軸に垂直な直線の上に置くという考えである。 数 $a+bi$ は点 $(a,b)$ になる。横に $a$、縦に $b$ である。数 $1$ は原点の右、$-1$ は左、$i$ は上、$-i$ は下にある。対象をもたなかった書き方が場所を得た。場所を得て、意味を得たのである。 i をかけることは回すこと $i$ をかけると何が起きるかを見よう。 $$1\xrightarrow{\times i}i\xrightarrow{\times i}-1\xrightarrow{\times i}-i\xrightarrow{\times i}1.$$平面では、この四つの点は右、上、左、下である。$i$ を一回かけるたびに、反時計回りに四分の一回転、つまり $90°$ 回る。これはどんな数についても成り立つ。$i(a+bi)=-b+ai$ は、点 $(a,b)$ を原点のまわりに $90°$ 回したものである。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 すると、ばかげて見えた等式 $$i^2=-1$$は当たり前のことを言っているにすぎない。四分の一回転を二回すると半回転であり、半回転は $1$ を $-1$ に運ぶ。記号は変わっていないのに、もう謎ではない。これはまさに第2章でデュヴァルとともに見た現象である。別の表現レジスター――幾何のレジスター――への変換が、代数のレジスターが隠していたものを明らかにするのだ。 かけ算は回転と拡大 図は一般のかけ算も説明する。どの複素数にも、原点からの距離である絶対値と、実軸とのなす角である偏角がある。規則はこうだ。 二つの複素数をかけると、絶対値はかけ合わされ、角は足し合わされる。 一回のかけ算が、一回の回転と一回の拡大になる。1831 年、ガウスはこの考えに欠けていた権威を与え、複素数という言葉を使い、数を平面に描きはじめた。それ以来、$\sqrt{-1}$ という書き方は恐れられなくなり、複素数は電気、波動、量子力学の言語になった。

October 19, 2026 読んだ
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グラフの目盛り：絵が嘘をつくとき

棒グラフは説明がいらないように見える。棒が高いほど数が大きい。第2章の言葉で言えば、これはイコンであり、高さが量に似ている。しかしどのグラフの背後にも、目には読めない約束事がある。目盛りである。約束事が変わっても、イコンは同じ自信をもって語り続ける。ただ、語っている内容は別のものになっている。 切り詰められた軸 ある会社の四年間の売上は $96$、$98$、$101$、$104$ である。控えめな成長で、三年で $8.3\%$ だ。では縦軸を $0$ ではなく $95$ から始めて棒グラフを描いてみよう。最初の棒の高さは $1$、最後の棒は $9$ になる。最後の棒は最初の棒の九倍に見える。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 グラフはどの数についても嘘をついていない。数はすべてそこに書いてある。嘘をついているのは数どうしの関係についてであり、それこそ棒グラフが示すと約束しているものなのだ。1954 年、アメリカのジャーナリスト、ダレル・ハフは『統計でウソをつく法』でこの手口を「ギーウィズ・グラフ」（gee-whiz graph、「うわっ」グラフ）と呼んだ。この本はいまも統計学の授業の必読書である。 棒グラフの規則は簡単だ。棒は長さを比べるので、ゼロから始めなければならない。折れ線グラフは事情が違う。変化を示すものなので、目盛りがはっきり書かれ、線の高さを大きさの尺度として読ませないかぎり、軸をデータの近くから始めてよい場合がある。 対数目盛り わざとゆがめた目盛りもある。しかも善意からである。細菌の数や流行初期の感染者数のように、一定の期間ごとに倍になる量は爆発的に増えるので、普通のグラフでは最初の値は地面に張りつき、最後の値はページからはみ出してしまう。 対数目盛りでは、縦軸の目盛りは $0, 10, 20, 30$ ではなく $1, 10, 100, 1000$ である。同じ長さだけ進むごとに 10 がかけられる。すると指数的な成長は直線になり、その傾きが倍になる速さを表す。2020 年には多くの新聞が流行の曲線を両方の目盛りで示し、多くの読者が、同じデータが爆発にも穏やかな坂にも見えうることを知った。 対数目盛りは、学ばなければならない記号のよい例である。目は高さを量として読む。対数目盛りでは、高さが表すのは桁である。約束事が変わったことに気づかない人は、グラフを読み違える。 枠の縦横比 軸がゼロから始まり、目盛りが普通のものであっても、枠の形が印象を変える。同じデータが、横に長く低い長方形では穏やかに見え、縦に細長い長方形では急上昇しているように見える。統計学者ウィリアム・クリーブランドは実用的な規則を提案した。重要な傾きが $45°$ に近くなるように縦横比を選ぶことである。それが、目が傾きの差をもっともよく見分けられる角度だからだ。 面積で嘘をつく地図 選挙の地図は各地域を勝者の色で塗る。しかし地域の面積は有権者の数とは何の関係もない。広くて人のいない州は、小さくて人口の密集した都市よりも多くのインクを使う。目は面積を重要さとして読むので、地図はある政党が実際よりはるかに大きく勝ったと言っているように見える。カルトグラム（変形地図）は地域を変形させて面積を人口に比例させ、このイコンを正す。結果は奇妙に見えるが、それが正直さの代価である。 練習：軸による誇張軸が $90$ から始まるとき、$104$ の棒は $96$ の棒の何倍に見えるか。$100$ から始まるときはどうか。 軸が $90$ から始まると、見える高さは $104-90=14$ と $96-90=6$ であり、最後の棒は $\frac{14}{6}\approx2.3$ 倍に見える。軸が $100$ から始まると、$96$ の棒はまったく現れず、$104$ の棒の高さは $4$ になる。グラフは意味を失う。本当の比はいつも $\frac{104}{96}\approx1.08$ である。

October 19, 2026 読んだ
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命を救ったグラフ：プレイフェア、スノウ、ナイチンゲール、ミナール

18 世紀の終わりまで、数は表で発表されていた。表は正確だが、読者に一行ずつ比べさせ、値を頭に覚えておくことを強いる。データのグラフはこの読み方を一瞥に置き換えた。差も傾向も山も、数を一つも読まないうちに見えてくる。四つのグラフが、この発明によって見えるものがどう変わったかを示している。 プレイフェア、折れ線グラフを発明する 1700 年から 1780 年までのイギリスとアフリカの輸出入。ウィリアム・プレイフェア『商業と政治のアトラス』（1786）より。二本の線のあいだの面積が貿易収支を示す。William Playfair · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 1786 年、波乱の人生を送ったスコットランドの技師でパンフレット作家のウィリアム・プレイフェアは『商業と政治のアトラス』を出版した。イギリスの貿易についての 44 枚のグラフを収めた本である。時間を横軸にとった折れ線グラフと棒グラフが体系的に現れたのは、これが初めてだった。1801 年には円グラフも加えた。プレイフェアは、目は数の並びの形を、記憶が数そのものを保つよりもはるかによくとらえる、と言ってこれらの図を擁護した。 スノウとブロード・ストリートのポンプ ジョン・スノウが 1854 年に描いたロンドンのソーホー地区の地図。コレラによる死者一人ひとりが、家の戸口に積み重ねた黒い短い線で示されている。積み重なった線はブロード・ストリートのポンプのまわりに集まっている。John Snow · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 1854 年の 8 月と 9 月、コレラがロンドンのソーホー地区で数百人の命を奪った。主流の理論は、病気は「瘴気」、つまり悪い空気から来るとしていた。医師のジョン・スノウは水を疑った。彼は地区の地図に死者を一人ずつ、家の戸口に短い線を引いて記した。すると線は一つの公共ポンプ――ブロード・ストリートのポンプ――のまわりに積み上がった。スノウは当局を説得し、9 月 8 日にポンプの柄を外させた。 ポンプが止められたとき、流行はすでに下火になりつつあり、もっとも有名な地図は報告書のためにあとから描かれたものである。それでも論証の力はこの図にあった。読者は統計を一つも読まないうちに、発生源を見たのである。これは疫学誕生の画期の一つである。 ナイチンゲールのバラ図 フローレンス・ナイチンゲールによる東方のイギリス軍の死因の図（1858）。一切れが一か月である。青い面積は予防できた病気による死、赤は傷による死、黒はその他の原因を表す。Florence Nightingale · Wikimedia Commons · パブリックドメイン クリミア戦争で、イギリスの看護師フローレンス・ナイチンゲールは、兵士たちが戦闘の傷よりも、不潔な病院での病気によってはるかに多く死んでいくのを見た。1858 年に帰国した彼女は、表を読まない将軍や大臣たちを説得しなければならなかった。そこで彼女は、バラの形をした新しい図を描いた。一か月が一切れで、各色の面積が死者の数に比例する。予防できた病気の巨大な青い塊が、傷による死の小さな赤を飲み込んでいた。 数学の細部が重要である。面積を人数に比例させるには、各切れの半径を人数の平方根に比例させなければならない。もし半径を人数に比例させていたら、悪い月は実際よりはるかにひどく見えただろう。1858 年、ナイチンゲールはイギリス王立統計学会の会員に選ばれた最初の女性となった。 ミナールとナポレオンの行軍 シャルル・ミナールが描いた 1812 年のロシア遠征（1869）。帯の幅が軍の人数を表す。モスクワへ向かう行きはベージュ、帰りは黒。下には退却中の気温が描かれている。Charles Minard · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 1869 年、フランスの技師シャルル・ミナールは、ナポレオンのロシアでの破滅的な遠征を描いた。一枚の紙に六つの変数が収まっている。帯の幅（軍の人数。出発時の 42 万 2000 人から帰還時の 1 万人まで）、地図上の二次元の位置、向き（行きか帰りか）、気温、そして日付である。統計学者エドワード・タフテは、これをおそらくこれまでに描かれた最高の統計グラフだと呼んだ。

October 19, 2026 読んだ
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オレームから関数のグラフへ：変化する性質を描く

速度と時間のグラフは、これ以上ないほど自然に見える。しかしそれが何をしているかを考えてみよう。時間を横の長さに、速度を縦の長さに変えているのだが、どちらの量も長さではない。これは大胆な翻訳であり、誰かがそれを発明しなければならなかった。 オレームの緯度 1350 年ごろ、フランスのニコル・オレーム――パリの学者で、のちにリジューの司教となった――は性質の形状についての論考を書いた。棒の熱さや物体の速さのような性質は、点から点へ、時刻から時刻へと変わりうる。オレームはそれを描くことを提案した。 経度は横の線で、広がり、つまり棒の長さや運動の持続時間を表す。 各点に立てた緯度は縦の線分で、そこでの性質の強さを表す。 緯度をすべて合わせると一つの図形ができ、その図形の形が変化を描き出す。 オレームの三つの形状。一様なもの（すべての緯度が等しい長方形）、一様に非一様なもの（緯度が一様に増える三角形または台形）、非一様に非一様なもの（それ以外の変化、曲線）。本書のために作成した説明図。 オレームは三つの基本的な形に名前をつけた。一様な性質は長方形になる。一様に非一様な性質は一様に増え、三角形か台形になる。非一様に非一様な性質はそれ以外の仕方で増え、上辺が曲がった図形になる。今日の言葉で言えば、定数関数、一次関数、非線形の関数である。 面積による証明 オレームの図はただの挿絵ではなかった。彼はこれを使って、数十年前にオックスフォードのマートン・カレッジの学者たちが述べた規則を証明した。一様に加速する物体が進む距離は、平均の速さで一様に動いた場合に進む距離に等しい、という規則である。 図では、距離は図形の面積である。静止から一様に加速する運動は三角形であり、平均の速さでの運動は高さが半分の長方形である。三角形と長方形の面積は等しい。三角形が長方形からはみ出した部分が、下で足りない部分とちょうど同じだからだ。ガリレオが同じ規則に到達する二世紀半前、その証明は一枚の図だった。 関数のグラフへの道 1637 年に幾何学を方程式に変えたデカルトは、今日と同じグラフを描いていたと思いたくなる。だがそうではない。デカルトの本には、数の目盛りをつけた直交する二本の軸はなく、負の座標も疑いの目で見られていた。座標という言葉はライプニッツに由来し、1692 年のことである。軸と目盛りと曲線をもつ関数のグラフは 18 世紀を通じてゆっくりと定着していった。そして次の文章にあるようなデータのグラフが生まれたのは、ようやく 1786 年のことである。 第2章では、レイモン・デュヴァルとともに、式からグラフへ移ることは表現レジスターのあいだの変換であり、計算はできても描けない学生が多いことを見た。オレームの物語は、この変換が生まれつき備わったものではないことを思い出させてくれる。それが発明されるまでには何世紀もかかったのである。 オレームと調和級数 同じオレームが、級数 $1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots$ が限りなく大きくなることを証明した。項をいくつかずつまとめ、各まとまりが $\frac12$ より大きくなるようにしたのである。これは無限級数についての最初期の結果の一つで、歴史の本の調和級数の文章がその証明を語っている。 練習：平均速度の定理車が静止状態から $4$ 秒で一様に $10$ m/s まで加速する。どれだけ進むか。 オレームの図では、これは底辺 $4$、高さ $10$ の三角形であり、面積は $\frac{4\cdot10}{2}=20$ メートルである。平均の速さは $5$ m/s で、$5\cdot4=20$ メートル。平均の速さの長方形も同じ面積になる。 練習：台形速さが $3$ 秒のあいだに $2$ m/s から $8$ m/s まで一様に増える。どれだけ進むか。 図形は平行な二辺が $2$ と $8$、高さが $3$ の台形であり、面積は $\frac{(2+8)\cdot3}{2}=15$ メートルである。これは平均の速さ $5$ m/s に $3$ 秒をかけたものと同じだ。

October 19, 2026 読んだ
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オイラーの円とヴェン図

1760 年から 1762 年にかけて、レオンハルト・オイラーはドイツの若い王女――プロイセン王の姪――に二百通を超える手紙を書き、物理学、天文学、哲学を教えた。これらの手紙は 1768 年から『ドイツの王女への手紙』として出版され、その世紀でもっとも広く読まれた科学啓蒙書の一つになった。そのうちの何通かで、論理的な推論を説明するために、オイラーは円を描いた。 三つの文、三つの図 二つの集合の三つの関係を円で描いたもの。「すべての A は B である」（A が B の内側）、「どの A も B ではない」（離れた円）、「ある A は B である」（交わる円）。本書のために作成した説明図。 考え方はこうだ。各概念が一つの領域を占め、論理的な文が位置の関係になる。 「すべての A は B である」：円 $A$ が円 $B$ の内側にある。 「どの A も B ではない」：二つの円が離れている。 「ある A は B である」：二つの円が交わり、共通部分に何かがある。 では三段論法がどうなるかを見よう。「すべての A は B である。すべての B は C である。」一つ目の円を二つ目の内側に、二つ目を三つ目の内側に描く。それ以上何もする必要はない。結論**「すべての A は C である」**はすでに図の中にある。誰もわざわざ入れたわけではないのに、$A$ はもう $C$ の内側にあるからだ。図が推論をただでやってくれたのである。

October 19, 2026 読んだ
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参考文献と図版出典

さらに学ぶために Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 全2巻。Chicago: Open Court, 1928–1929。ニュートン、ライプニッツ、ラグランジュ、アルボガストの記法、$\int$ とフーリエの上端・下端、ウォリスの $\infty$。 Lagrange, Joseph-Louis. Théorie des fonctions analytiques. Paris: Imprimerie de la République, 1797。 Arbogast, Louis F. A. Du calcul des dérivations. Strasbourg: Levrault, 1800。 Wallis, John. De sectionibus conicis. Oxford, 1655。および Arithmetica infinitorum. Oxford, 1656。 Boole, George. On a general method in analysis. Philosophical Transactions of the Royal Society, 134, 1844, pp. 225–282。 Heaviside, Oliver. Electromagnetic Theory. 全3巻。London: The Electrician, 1893–1912。 Child, J. M. The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz. Chicago: Open Court, 1920。「omn.」と最初の $\int$ を含む 1675 年 10 月の手稿。 Robinson, Abraham. Non-standard Analysis. Amsterdam: North-Holland, 1966。 Tall, David; Vinner, Shlomo. Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, 1981, pp. 151–169。 Thompson, Silvanus P. Calculus Made Easy. London: Macmillan, 1910。$dx$ を「$x$ のほんの少し」として扱って微積分を教える本。 Earliest Uses of Symbols of Calculus、Jeff Miller。 図版出典 図版 出典 ライセンス ラグランジュ『解析関数論』（1797）の扉 Wikimedia Commons パブリックドメイン オリヴァー・ヘヴィサイド、作者不詳の肖像 Wikimedia Commons パブリックドメイン 記号 ∞ の最初の使用、ウォリス『円錐曲線論』（1655） Wikimedia Commons パブリックドメイン ジョン・ウォリス、ゴドフリー・ネラーの原画にもとづく肖像 Wikimedia Commons パブリックドメイン 対話型の図（接線になる割線とリーマン和）はこの本のために作成したもので、サイトの四つの言語すべてで動作する。ダウンロードした図版の記録と各ファイルのハッシュ値は data/semiotica_imagens.json にある。

October 19, 2026 読んだ
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微積分の読み方：手引きと用語集

この章では、微積分の記号を一つずつ読んできた。以下の手引きは、それらをまとめて読むのに役立つ問いを集めたものである。 微積分に向ける五つの問い 何が、何について変わるのか。 $\frac{dy}{dx}$ では、二つの文字がどちらも書かれている。$f'$ では変数は暗黙で、$\dot x$ では時間である。はっきりしなければ、書き出そう。 有限の差か、それとも極限か。 $\Delta$ と $\Sigma$ は数による計算であり、$d$ と $\int$ はその計算が限りなく縮んだあとに残るものである。形は似ていても、意味は変わる。 ここで約してよいか。 変数が一つで微分の階数が一つなら、$\frac{dy}{dx}$ は分数のようにふるまう。2 階導関数や偏導関数では、約す前に確かめよう。 どの文字が束縛されているか。 積分では $d$ の文字が束縛されており、極限では矢印の文字も束縛されている。どちらも外に出てきてはいけない。 その $\infty$ は方向か、量か。 $x\to\infty$ や $\sum^\infty$ では方向であり、それを含む計算には極限が必要である。量であるのはカントールの $\aleph$ だけである。 式一つの完全な読解 $$\frac{d}{dx}\int_0^{x}e^{-t^2}\,dt=e^{-x^2}.$$ 積分 $\int_0^xe^{-t^2}\,dt$ は、釣り鐘形の曲線の下の、$0$ から $x$ までの面積である。それは $x$ の関数である。$x$ ごとに面積が一つ決まる。 $t$ は束縛された文字である。$s$ に替えても何も変わらない。$x$ に替えるとまちがいになる。$x$ はすでに上端にあるからである。 $\frac{d}{dx}$ は演算子である。$x$ が増えるとき、その面積がどれだけの速さで増えるかを問うている。 $=$ は、すべての $x$ について成り立つ恒等式を主張している。基本定理の第一部である。 注目すべき点： 積分 $\int_0^xe^{-t^2}\,dt$ には初等関数による式がない。それでも、その導関数は一行で書ける。記法のおかげで、書き表せない関数について語ることができるのである。 用語集 差（$\Delta$）。 量の有限の変化。$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$。 微分（$dy$）。 接線に沿った変化。$dy=f'(x)\,dx$。歩幅が小さいとき $\Delta y$ を近似する。 導関数。 $\Delta x\to0$ のときの $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ の極限。$\frac{dy}{dx}$、$f'(x)$、$\dot y$、$Dy$ と書く。 演算子。 関数を別の関数に変える規則。たとえば微分する $D$。足したり掛けたりでき、注意すれば因数分解もできる。 特性方程式。 定数係数の線形微分方程式で、$D$ を $r$ に置き換えて得られる多項式。 リーマン和。 積分を近似する長方形の面積の和 $\sum f(x_i)\,\Delta x$。 定積分。 リーマン和の極限。$\int_a^b f(x)\,dx$ で、一つの数である。 原始関数（不定積分）。 $F'=f$ となる関数 $F$。定数の違いを除いて決まる。$\int f(x)\,dx=F(x)+C$。 微積分の基本定理。 微分と積分は逆の演算である。$\frac{d}{dx}\int_a^xf=f(x)$、$\int_a^bF'=F(b)-F(a)$。 不定形。 $\infty-\infty$ や $\frac00$ のように、値が形だけでなく近づき方によって決まる式。 級数。 無限に多くの項をもつ和。部分和がある数に近づくとき収束するといい、その数を級数の和という。 条件収束。 収束するが、項を並べ替えると和が変わる級数。 練習：手引きを使う$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\cos x$ を読め。 変わるのは極限に束縛された $h$ で、$x$ は自由である。分数は有限の差を歩幅で割ったもの、$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ であり、極限がそれを導関数に変える。$=$ はすべての $x$ について成り立つ恒等式である。ラグランジュの記法では $\sin'=\cos$、アルボガストの記法では $D\sin=\cos$ という文になる。

October 19, 2026 読んだ
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終わらない和：級数の等号

次のように書く。 $$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2.$$$3+4=7$ のような計算に見える。左に項、右に結果。しかし、これらの項をすべて足した人は誰もいないし、これからもいない。ここでの等号は、第4章が挙げたどの仕事とも違う仕事をしている。それが主張しているのは、部分和 $$1,\quad1.5,\quad1.75,\quad1.875,\quad\ldots$$が望むだけ $2$ に近づく、ということである。記号では $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^n}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\frac1{2^n}=2.$$$\Sigma$ の上の $\infty$ は、前の文章の方向としての $\infty$ と同じである。最後の項ではなく、続けよという指示なのだ。 0.999… = 1 学生をいちばん落ち着かなくさせる等式は $$0.999\ldots=1$$である。多くの人は、$0.999\ldots$ は $1$ に「とても近づくが、けっしてたどり着かない」と考える。この反論には記号論的な根があり、点線は進行中の過程を描いているように見え、過程は終わらないからである。しかし $0.999\ldots$ は過程ではない。その過程の極限の名前である。 $$0.999\ldots=\frac9{10}+\frac9{100}+\frac9{1000}+\cdots=\frac{9/10}{1-1/10}=1.$$研究者のデイヴィッド・トールとシュロモ・ヴィナーは、古典となった 1981 年の研究で、これを概念イメージ（学生が記号を見て思い浮かべるもの）と概念定義の衝突と呼んだ。イメージは「近づいていく何か」であり、定義は「すべてがそこへ近づいていく数」である。 人をだます和 部分和がどこにも近づかないときも、$=$ を使った書き方は変わらない。危険はそこにある。 グランディの級数。 1703 年、イタリアの神父グイド・グランディは $$1-1+1-1+1-\cdots$$を考えた。ある組み方では $(1-1)+(1-1)+\cdots=0$。別の組み方では $1-(1-1)-(1-1)-\cdots=1$。グランディは和が $\frac12$ だと結論し、そこに無からの世界創造の姿を見た。部分和 $1,0,1,0,\ldots$ はどこにも近づかない。この級数は、極限の意味での和をもたない。 オイラーの $-1$。 等比級数の公式 $1+x+x^2+\cdots=\frac1{1-x}$ は $|x|<1$ で成り立つ。オイラーはこれを $x=2$ に使って $$1+2+4+8+\cdots=\frac1{1-2}=-1$$と書いた。正の数の和が負になったのである。書き方はこの代入に抗議もせず受け入れた。点線つきのすべての $=$ に収束の証明を求めるには、19 世紀の数学者たちを待たなければならなかった。 順序が大事になる 有限の和では、項の順序は関係ない。$3+4=4+3$。無限の和では、関係しうる。交代調和級数 $$1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots=\ln2\approx0.693$$は収束する。では同じ項を、正の項一つのあとに負の項を二つ置くように並べ替えてみよう。 $$1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\frac15-\frac1{10}-\frac1{12}+\cdots$$三つずつまとめると、各組は $\frac1{2k-1}-\frac1{2(2k-1)}-\frac1{4k}=\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k}\right)$ で、和全体はもとの半分、$\frac12\ln2$ になる。ベルンハルト・リーマンは、このような級数では、うまく並べ替えれば望むどんな値にもできることを証明した。記号 $\Sigma$ は項の順序を見せない。そしてここでは、順序がすべてなのである。 アキレスと亀 2500 年前のエレアのゼノンのパラドックスは、変装した級数である。アキレスは亀の十倍の速さで走り、亀は 100 メートル先から出発する。アキレスが亀のいた場所に着くと、亀は 10 メートル進んでいる。そこに着くと、亀はさらに 1 メートル進んでいる。これが続く。ゼノンは、アキレスはけっして亀に追いつけないと結論した。級数 $100+10+1+0.1+\cdots=111.1\ldots$ は、彼が $111\frac19$ メートル走ったところで追いつくことを示している。パラドックスは、無限に多くの段階を無限の時間と取り違えたことから生まれる。 練習：0.333… と 0.999…$0.333\ldots$ を等比級数として書き、和を計算せよ。次に、その結果を使って $0.999\ldots$ を求めよ。

October 18, 2026 読んだ
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ウォリスの ∞：数ではない記号

記号 ∞ の知られている最初の使用。ジョン・ウォリスの『円錐曲線論』（1655）。本文の中ほどに「esto enim ∞ nota numeri infiniti」、∞ を無限の数の記号とせよ、とある。その二行上では、各平行四辺形の高さが全体の高さの 1/∞ とされている。John Wallis · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 1655 年、オックスフォードの教授だったイギリスのジョン・ウォリスは、平面図形を無限に多くのごく薄い平行四辺形に分けた。それぞれの高さは、全体の高さの無限に小さな一部である。その一部を書くために無限を表す記号が必要になり、彼はそれを発明した。 すなわち、∞ を無限の数の記号とせよ。 — ジョン・ウォリス『円錐曲線論』（1655） そして各平行四辺形の高さを $\frac1\infty$ と書いた。彼がこの形をどこから得たのかは、確かにはわかっていない。よく挙げられる二つの仮説は、千を表し「たくさん」の意味でも使われたローマ数字 CIↃ の変形と、ギリシア文字の最後の文字、すべての終わりである小文字のオメガ $\omega$ である。 数のような顔をした記号 $\infty$ の困ったところは、数のように見えることである。ほかの数と同じ行に並び、横に演算記号を置くことができ、分数にも入る。そして、それが意味のない計算へと誘う。$\infty$ が数なら $\infty-\infty=0$ のはずである。ところが $$\lim_{x\to\infty}\big((x+1)-x\big)=1,\qquad\lim_{x\to\infty}(2x-x)=\infty,\qquad\lim_{x\to\infty}(x-2x)=-\infty.$$三つの計算のどれでも、二つの項は無限大に向かうのに、結果はそれぞれ違う。だから $\infty-\infty$ は不定形と呼ばれる。値を決めるのは書き方ではなく、それぞれの部分が増える速さである。$\frac\infty\infty$、$0\cdot\infty$、$1^\infty$、$\frac00$ も同じである。 極限の ∞ は方向である $x\to\infty$ と書くとき、$\infty$ は $x$ がたどり着く場所ではない。「$x$ が止まることなく大きくなる」という方向である。 $$\lim_{x\to\infty}\frac1x=0$$という文は、$\frac1\infty=0$ と言っているのではない。$x$ が十分大きければ、$\frac1x$ は望むだけゼロに近くなる、と言っているのである。第1章では、コーシーとワイエルシュトラスが無限を数として使わずにこれをどう書いたかを語った。アリストテレスはこの種の無限を可能的と呼んだ。いつまでも続けられるが、けっして完了しない過程である。 ジョン・ウォリス（1616–1703）。オックスフォードの幾何学教授で、イギリス議会の暗号解読者でもあった。ゴドフリー・ネラーの原画にもとづく肖像。Godfrey Kneller の原画にもとづく · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 大きさをもつ無限 19 世紀の終わり、ゲオルク・カントールはアリストテレスが禁じたことをした。無限集合を完結した対象として扱い、その大きさを比べたのである。自然数の集合と偶数の集合は、一対一に組み合わせられる（$n\leftrightarrow2n$）ので、同じ大きさである。実数の集合はもっと大きい。それは、歴史の本のチューリングの章が計算可能数について使っている対角線論法が示している。

October 18, 2026 読んだ
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基本定理：d と ∫ が打ち消し合うとき

微積分以前、接線と面積は関係のない二つの問題だった。曲線の接線を見つけるのは一つの技であり、その下の面積を見つけるのは別の技だった。17 世紀の大発見は、アイザック・バロー、ニュートン、ライプニッツによる、一方が他方の逆であるという発見だった。これが微積分の基本定理であり、ライプニッツの記法はそれをほとんど当たり前のように書く。 ライプニッツ：和と差のように ライプニッツは $\int$ を和、$d$ を差と考えた。差を足し合わせると差が打ち消される。階段の段差を足せば全体の高さになるのと同じである。彼は、$\int$ と $d$ は「ふつうの計算でのべきと根のように」互いに逆であると書いた。記号では $$d\!\int y\,dx=y\,dx,\qquad\int dy=y.$$$d$ と $\int$ は、$+3$ と $-3$ のように「打ち消し合う」。最も強い意味での能動的な記法である。微積分で最も重要な定理が、式を簡単にする規則として現れるのだ。 現代の書き方での二つの半分 今日、この定理は二つの部分に分けて書かれる。 第一部：面積を微分する。 $A(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ を $a$ から $x$ までに積み重なった面積とすると、 $$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$面積が増える速さは、今いる点での曲線の高さである。積分のなかの文字が $x$ ではなく $t$ であることに注意しよう。$x$ はすでに上端として使われている。$\int_a^x f(x)\,dx$ と書けば、第3章の変数の捕獲という誤りになる。 第二部：導関数を積分する。 $F'=f$ なら $$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\Big[F(x)\Big]_a^b.$$上端と下端のついた括弧は、つなぎの記法である。数を代入するまでのあいだ $F$ を保っておく。これを使えば、前の文章で無限に多くの長方形を必要とした面積が、一行で出てくる。 $$\int_0^2x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac83-0=\frac83.$$記法が隠しているもの $d$ と $\int$ の打ち消し合いは完全ではない。不定積分では $$\int\frac{dF}{dx}\,dx=F(x)+C$$となり、打ち消し合いが予告しない定数 $C$ が現れる。微分は定数を消してしまい、積分はどの定数を返せばよいかを知らない。$+C$ を忘れるのは微積分の授業で最もよくある誤りであり、その源は記号論的である。記法は完全な逆を示唆しているのに、実際には定数の違いを除いた逆しかないのである。 教授職を退いたバロー ケンブリッジでニュートンの先生だったアイザック・バローは、1670 年、図形だけを使い代数的な記号をまったく使わない基本定理の幾何学版を発表した。定理はそこにあったが、幾何学のなかに深く隠れていて、その重要性に気づく人はほとんどいなかった。その少し前の 1669 年、バローは教授職をニュートンに譲っていた。同じ考えが、$d$ と $\int$ で書かれると一つの理論の心臓になり、図形で書かれると数ある命題の一つにとどまったのである。 練習：上端が動く面積を微分する$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2}\cos t\,dt$ を計算せよ。 $A(u)=\int_0^u\cos t\,dt$ とおくと、$A'(u)=\cos u$。式は $A(x^2)$ なので、連鎖律により導関数は $A'(x^2)\cdot2x=2x\cos(x^2)$。第二部で確かめると、$\int_0^{x^2}\cos t\,dt=\sin(x^2)$ で、その導関数は $2x\cos(x^2)$ である。

October 18, 2026 読んだ
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積分を記号ごとに読む

式 $$\int_0^2 x^2\,dx$$には五つの部品がある。記号 $\int$、数 $0$ と $2$、関数 $x^2$、そして $dx$。それぞれが別の仕事をし、それぞれにいわれがある。第1章では、アルキメデスの取り尽くし法から積分への道のりを語った。ここでは、新しい言語の文を読むように、積分をゆっくり読んでいく。 五つの部品からなる文 $\int$ は、和を意味する summa の S を縦に伸ばしたものである。ライプニッツが 1675 年 10 月 29 日の手稿で初めて書いた。奇妙なしかたで類像的な記号である。面積に似ているのではなく、面積がどうつくられるかを述べる言葉に似ているのだ。 下端と上端の $0$ と $2$ は、どこからどこまで足すかを言う。これはライプニッツのものではない。1820 年ごろ、フランスのジョゼフ・フーリエが記号にくっつけて書きはじめた。それまでは、横にことばで書かれていた。 関数 $x^2$ は各帯の高さである。 $dx$ は各帯の幅で、無限に細い。そしてどの文字が変わるかのしるしでもある。$dt$ と書いてあれば、変数は $t$ である。 文字 $x$ は束縛された文字である。$\int_0^2x^2\,dx$ と $\int_0^2t^2\,dt$ は同じ値である。結果の $\frac83$ は $x$ によらない。 全体として、この文は言う。$0$ から $2$ までのすべての $x$ について、高さ $x^2$ に幅 $dx$ をかけたものを足し合わせよ。 記号の背後にある和 この読み方は比喩ではない。無限に細い幅 $dx$ を本物の幅 $\Delta x$ に、$\int$ を和を表すギリシア文字 $\Sigma$ に替えれば、積分は長方形の面積の和、リーマン和になる。 $$\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x\;\longrightarrow\;\int_a^b f(x)\,dx.$$記法はここでも第2の文章と同じことをしている。極限に移っても形が保たれるのである。$\Sigma$ は $\int$ に、$\Delta x$ は $dx$ に、$f(x_i)$ は $f(x)$ になる。有限の和がわかる人は、積分を苦もなく読める。

October 18, 2026 読んだ