Euler's Eyes
2026-10-19
オレームから関数のグラフへ：変化する性質を描く
速度と時間のグラフは、これ以上ないほど自然に見える。しかしそれが何をしているかを考えてみよう。時間を横の長さに、速度を縦の長さに変えているのだが、どちらの量も長さではない。これは大胆な翻訳であり、誰かがそれを発明しなければならなかった。
オレームの緯度
1350 年ごろ、フランスのニコル・オレーム――パリの学者で、のちにリジューの司教となった――は性質の形状についての論考を書いた。棒の熱さや物体の速さのような性質は、点から点へ、時刻から時刻へと変わりうる。オレームはそれを描くことを提案した。
- 経度は横の線で、広がり、つまり棒の長さや運動の持続時間を表す。
- 各点に立てた緯度は縦の線分で、そこでの性質の強さを表す。
緯度をすべて合わせると一つの図形ができ、その図形の形が変化を描き出す。
オレームは三つの基本的な形に名前をつけた。一様な性質は長方形になる。一様に非一様な性質は一様に増え、三角形か台形になる。非一様に非一様な性質はそれ以外の仕方で増え、上辺が曲がった図形になる。今日の言葉で言えば、定数関数、一次関数、非線形の関数である。
面積による証明
オレームの図はただの挿絵ではなかった。彼はこれを使って、数十年前にオックスフォードのマートン・カレッジの学者たちが述べた規則を証明した。一様に加速する物体が進む距離は、平均の速さで一様に動いた場合に進む距離に等しい、という規則である。
図では、距離は図形の面積である。静止から一様に加速する運動は三角形であり、平均の速さでの運動は高さが半分の長方形である。三角形と長方形の面積は等しい。三角形が長方形からはみ出した部分が、下で足りない部分とちょうど同じだからだ。ガリレオが同じ規則に到達する二世紀半前、その証明は一枚の図だった。
関数のグラフへの道
1637 年に幾何学を方程式に変えたデカルトは、今日と同じグラフを描いていたと思いたくなる。だがそうではない。デカルトの本には、数の目盛りをつけた直交する二本の軸はなく、負の座標も疑いの目で見られていた。座標という言葉はライプニッツに由来し、1692 年のことである。軸と目盛りと曲線をもつ関数のグラフは 18 世紀を通じてゆっくりと定着していった。そして次の文章にあるようなデータのグラフが生まれたのは、ようやく 1786 年のことである。
第2章では、レイモン・デュヴァルとともに、式からグラフへ移ることは表現レジスターのあいだの変換であり、計算はできても描けない学生が多いことを見た。オレームの物語は、この変換が生まれつき備わったものではないことを思い出させてくれる。それが発明されるまでには何世紀もかかったのである。
練習：平均速度の定理
車が静止状態から $4$ 秒で一様に $10$ m/s まで加速する。どれだけ進むか。
オレームの図では、これは底辺 $4$、高さ $10$ の三角形であり、面積は $\frac{4\cdot10}{2}=20$ メートルである。平均の速さは $5$ m/s で、$5\cdot4=20$ メートル。平均の速さの長方形も同じ面積になる。
練習：台形
速さが $3$ 秒のあいだに $2$ m/s から $8$ m/s まで一様に増える。どれだけ進むか。
図形は平行な二辺が $2$ と $8$、高さが $3$ の台形であり、面積は $\frac{(2+8)\cdot3}{2}=15$ メートルである。これは平均の速さ $5$ m/s に $3$ 秒をかけたものと同じだ。