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A vida de Bernhard Riemann

Linha do tempo 1826Nasce em 17 de setembro em Breselenz, no Reino de Hanôver, filho de um pastor luterano. 1846Entra na Universidade de Göttingen para estudar teologia, mas logo passa à matemática. 1847Vai estudar em Berlim, com Dirichlet, Jacobi, Steiner e Eisenstein. 1851Doutorado em Göttingen, sob a orientação de Gauss, com a tese sobre funções complexas. 1854Em 10 de junho, faz a palestra de habilitação sobre os fundamentos da geometria. 1857Publica a teoria das funções abelianas e torna-se professor extraordinário. 1859Sucede a Dirichlet na cátedra de Göttingen e é eleito para a Academia de Berlim. Publica o artigo sobre os números primos. 1862Casa-se com Elise Koch. Adoece de tuberculose. 1866Morre em 20 de julho em Selasca, na Itália, aos 39 anos. O filho do pastor Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em 17 de setembro de 1826 em Breselenz, uma aldeia do Reino de Hanôver, no norte da Alemanha. O pai, também chamado Friedrich Bernhard, era pastor luterano e tinha lutado nas guerras contra Napoleão. A família era pobre, e Bernhard era o segundo de seis filhos. Foi o pai quem o ensinou até os dez anos.

October 30, 2026 Iniciar leitura
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A integral de Riemann

Newton e Leibniz inventaram o cálculo integral no século XVII, mas durante muito tempo ninguém se preocupou em definir com precisão o que é uma integral. Para as funções comuns, a integral era simplesmente o inverso da derivada, ou a área sob a curva, e isso bastava. Funções estranhas No começo do século XIX a situação mudou. Fourier mostrou que funções muito irregulares, com saltos e cantos, podiam ser escritas como somas de senos e cossenos, e os coeficientes dessas somas eram dados por integrais. Mas que sentido tinha integrar uma função cheia de saltos? Cauchy deu uma primeira definição para funções contínuas. Dirichlet, o professor de Riemann, encontrou em 1829 uma função que não se podia integrar de jeito nenhum: a que vale 1 nos racionais e 0 nos irracionais.

October 31, 2026 Iniciar leitura
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O teorema do rearranjo

Desde a escola aprendemos que “a ordem das parcelas não altera a soma”. Para somas finitas, é verdade. Para somas infinitas, não, e o exemplo mais claro aparece no mesmo trabalho de habilitação de 1854 em que Riemann definiu a integral. Uma série que soma ln 2 A série harmônica alternada $$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots$$converge, e a sua soma é $\ln 2 \approx 0{,}6931$. Mas há algo frágil nela. Se separarmos os termos positivos dos negativos, cada grupo sozinho é infinito:

October 31, 2026 Iniciar leitura
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As superfícies de Riemann

A tese de doutorado de Riemann, de 1851, tem um título modesto: Fundamentos de uma teoria geral das funções de uma variável complexa. Dentro dela estão duas ideias que mudaram a matemática: as condições que uma função complexa precisa cumprir para ter derivada e uma maneira geométrica de lidar com funções que têm vários valores. Funções que se podem derivar Uma função complexa $f(z)$, com $z = x + iy$, pode ser escrita como $f = u + iv$, em que $u$ e $v$ são funções reais de $x$ e $y$. Para que $f$ tenha derivada no sentido complexo, isto é, para que o limite $\frac{f(z + h) - f(z)}{h}$ seja o mesmo qualquer que seja a direção em que $h$ vai a zero, as partes $u$ e $v$ precisam satisfazer as equações de Cauchy–Riemann:

October 31, 2026 Iniciar leitura
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As hipóteses em que se funda a geometria

A questão da validade das hipóteses da geometria no infinitamente pequeno está ligada à questão do fundamento interno das relações métricas do espaço. — Bernhard Riemann, Sobre as hipóteses em que se funda a geometria (1854) Em 10 de junho de 1854, Riemann apresentou à faculdade de Göttingen a palestra Sobre as hipóteses em que se funda a geometria. Ele a escreveu para um público que incluía filósofos e historiadores, quase sem fórmulas. O texto só foi publicado em 1868, depois da sua morte, e mudou a geometria.

October 31, 2026 Iniciar leitura
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A função zeta

A função que leva o nome de Riemann foi estudada antes por Euler. Para um número real $s$ maior que 1, a série $$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$$converge. Euler calculou vários dos seus valores, como $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$, a solução do problema de Basileia. O produto de Euler A descoberta mais profunda de Euler, de 1737, foi que a mesma função pode ser escrita como um produto sobre os números primos:

October 31, 2026 Iniciar leitura
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A contagem dos números primos

Os números primos parecem aparecer ao acaso: 2, 3, 5, 7, 11, 13, depois um buraco até 17, 19, 23, outro até 29. Mas, olhando de longe, eles obedecem a uma regra. Chame de $\pi(x)$ a quantidade de primos menores ou iguais a $x$. Ainda adolescente, Gauss percebeu, consultando tabelas, que perto de um número $x$ a densidade dos primos é cerca de $\frac{1}{\ln x}$, e propôs a estimativa $$\pi(x) \approx \operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t},$$a integral logarítmica. Ninguém sabia provar que ela era boa, nem explicar os desvios.

October 31, 2026 Iniciar leitura
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A hipótese de Riemann

No meio do artigo de 1859 sobre os números primos, Riemann escreve uma frase quase de passagem. Falando de uma função ligada à zeta, cujas raízes reais correspondem aos zeros da zeta sobre a reta crítica, ele diz: É muito provável que todas as raízes sejam reais. Seria desejável, sem dúvida, uma demonstração rigorosa; mas, depois de algumas tentativas rápidas e vãs, deixei provisoriamente de lado a sua busca, pois ela não parecia necessária para o objetivo seguinte da minha investigação. — Bernhard Riemann, Sobre o número de primos menores que uma grandeza dada (1859)

October 31, 2026 Iniciar leitura
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O legado de Bernhard Riemann

Riemann é o homem da intuição brilhante. — Felix Klein, Lições sobre o desenvolvimento da matemática no século XIX (1926) As obras completas de Riemann, editadas por Dedekind e Weber em 1876, cabem num volume de pouco mais de quinhentas páginas, incluindo os trabalhos póstumos e as notas. Poucos matemáticos deixaram tão pouco texto e tantas consequências. O que leva o seu nome A integral de Riemann e as somas de Riemann, a definição de integral dos cursos de cálculo. As superfícies de Riemann e a esfera de Riemann, o plano complexo com um ponto no infinito, fechado como uma esfera. As equações de Cauchy–Riemann e o teorema da aplicação de Riemann. A geometria riemanniana, as variedades riemannianas, a métrica e o tensor de curvatura de Riemann, a linguagem da relatividade geral. O teorema de Riemann–Roch, que conta as funções que se podem definir numa superfície de Riemann, completado por seu aluno Gustav Roch em 1865. A função zeta de Riemann e a hipótese de Riemann. O teorema do rearranjo de Riemann, sobre as séries condicionalmente convergentes. Um novo estilo Mais que os resultados, Riemann mudou o estilo da matemática. Antes dele, uma função era sobretudo uma fórmula, e os matemáticos trabalhavam manipulando fórmulas. Riemann pensava em conceitos: uma função complexa definida pelas suas propriedades, não pela expressão; uma superfície definida sem estar desenhada em lugar nenhum; um espaço definido pela sua regra de medir. Os matemáticos do século XX, de Hilbert a Weyl, viam nele o fundador da matemática “conceitual” que se tornou dominante.

October 31, 2026 Iniciar leitura
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Créditos das imagens

Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos os arquivos ou as miniaturas fornecidas pelo Commons, reduzidas a no máximo 800 pixels de largura, sem outra edição. Retrato de Bernhard Riemann de 1863: página de origem · domínio público. Riemann jovem, fotografia da década de 1850: página de origem · domínio público. Pedra em memória de Riemann junto à igreja de Breselenz, foto de Felina Katarina Schulz: página de origem · CC BY-SA 4.0. Placa numa casa de Göttingen onde Riemann morou, foto de Manecke: página de origem · CC BY-SA 3.0. Superfície de Riemann da raiz quadrada, figura de Leonid 2 (versão em PNG gerada pelo Commons a partir do SVG): página de origem · CC BY-SA 3.0. Lápide de Riemann no cemitério de Biganzolo, foto de g.rondena: página de origem · domínio público. Figuras feitas para o blog A capa e as quatro figuras interativas (as somas de Riemann, o rearranjo da série harmônica alternada, a contagem dos primos com a função R(x) e a função zeta sobre a reta crítica) são ilustrações originais, com textos em cada idioma do site.

October 31, 2026 Iniciar leitura