A questão da validade das hipóteses da geometria no infinitamente pequeno está ligada à questão do fundamento interno das relações métricas do espaço.

— Bernhard Riemann, Sobre as hipóteses em que se funda a geometria (1854)

Em 10 de junho de 1854, Riemann apresentou à faculdade de Göttingen a palestra Sobre as hipóteses em que se funda a geometria. Ele a escreveu para um público que incluía filósofos e historiadores, quase sem fórmulas. O texto só foi publicado em 1868, depois da sua morte, e mudou a geometria.

A geometria de dentro

O ponto de partida foi o Theorema Egregium de Gauss: a curvatura de uma superfície pode ser medida por quem vive dentro dela, só medindo distâncias, sem olhar de fora. Um ser bidimensional sobre uma esfera, desenhando triângulos e medindo os ângulos, descobriria que a sua superfície é curva.

Riemann levou a ideia ao extremo. Em vez de superfícies dentro do espaço comum, pensou em variedades (Mannigfaltigkeiten): espaços de qualquer número de dimensões, descritos por coordenadas $x_1, x_2, \ldots, x_n$, sem precisar estar mergulhados em nada maior. O que dá a geometria de uma variedade é a regra para medir a distância entre pontos muito próximos.

A métrica

No plano comum, a distância $ds$ entre pontos vizinhos é dada pelo teorema de Pitágoras: $ds^2 = dx^2 + dy^2$. Riemann propôs que, em geral, a distância infinitesimal seja dada por uma expressão quadrática mais geral:

$$ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}(x)\,dx_i\,dx_j,$$

em que os coeficientes $g_{ij}$ podem mudar de um ponto para outro. Esses coeficientes formam a métrica. Na superfície de uma esfera de raio $R$, em latitude $\varphi$ e longitude $\lambda$, por exemplo,

$$ds^2 = R^2\,d\varphi^2 + R^2\cos^2\varphi\,d\lambda^2:$$

um grau de longitude vale menos perto dos polos, onde $\cos\varphi$ é pequeno.

A partir da métrica, Riemann definiu a curvatura em cada ponto e em cada direção. Os espaços de curvatura constante são três: curvatura zero (a geometria de Euclides), positiva (como a da esfera, onde não há paralelas) e negativa (a geometria hiperbólica, descoberta por Lobachevsky e Bolyai, onde há infinitas paralelas).

E o espaço real?

No fim da palestra, Riemann fez uma observação ousada: não sabemos de antemão qual é a geometria do espaço físico. Ela não pode ser decidida pela lógica, só pela experiência, e talvez dependa das “forças” que agem sobre os corpos. Em escalas muito pequenas ou muito grandes, a geometria de Euclides poderia deixar de valer.

Sessenta anos depois, Albert Einstein encontrou na geometria de Riemann exatamente a ferramenta de que precisava. Na relatividade geral, de 1915, o espaço-tempo é uma variedade de quatro dimensões com uma métrica $g_{\mu\nu}$, e a gravidade não é uma força, mas a curvatura dessa métrica, produzida pela matéria e pela energia.

Exercício: um triângulo sobre a esfera

Na Terra, considere o triângulo com um vértice no polo norte e os outros dois no equador, nas longitudes 0° e 90°. Quanto vale a soma dos ângulos? Que relação ela tem com a área?

No equador, os meridianos fazem ângulos de 90° com o equador. No polo, o ângulo entre os meridianos 0° e 90° é 90°. A soma é 270°, isto é, $\frac{3\pi}{2}$, e não $\pi$. O excesso $\frac{3\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2}$ multiplicado por $R^2$ dá a área do triângulo: $\frac{\pi}{2}R^2$, que é exatamente $\frac{1}{8}$ da superfície $4\pi R^2$. Numa superfície de curvatura constante $\frac{1}{R^2}$, o excesso angular é a área dividida por $R^2$.

Exercício: a métrica da esfera

Use a métrica $ds^2 = R^2\,d\varphi^2 + R^2\cos^2\varphi\,d\lambda^2$ para calcular o comprimento do paralelo de latitude 60°.

Ao longo do paralelo, $\varphi$ é constante, então $d\varphi = 0$ e $ds = R\cos\varphi\,d\lambda$. Dando a volta inteira, $\lambda$ vai de 0 a $2\pi$: o comprimento é $2\pi R\cos 60° = \pi R$, metade do equador. Com $R = 6371$ km, são cerca de 20 015 km.

Fontes: Bernhard Riemann, “Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen”, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13 (1868) · William Kingdon Clifford (trad.), “On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry”, Nature 8 (1873) · Jürgen Jost (ed.), Bernhard Riemann: On the Hypotheses Which Lie at the Bases of Geometry (2016) · Max Jammer, Concepts of Space (1954).

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