Se você sabe como $u$ muda e como $v$ muda, como muda o produto $uv$? O palpite natural é multiplicar as mudanças: $d(uv)=du\cdot dv$. Parece tão simétrico, tão elegante… Leibniz teve o mesmo palpite. Leibniz testa e erra No mesmo manuscrito de 11 de novembro de 1675 em que começou a usar a letra $d$, Leibniz se perguntou se $d(xy)$ seria igual a $dx\,dy$, e se $d\!\left(\frac xy\right)$ seria igual a $\dfrac{dx}{dy}$. Em vez de confiar na elegância, testou com um exemplo e descobriu que não. Dias depois, encontrou a regra certa.
Um carro sai de São Paulo e chega a Campinas, a 90 km, em uma hora. A velocidade média foi 90 km/h. Mas o velocímetro, a cada instante, mostrava outro número. O que exatamente ele mede? Velocidade é distância dividida por tempo, mas num instante não se percorre distância nenhuma e não passa tempo nenhum. Dividir zero por zero não dá resposta. Essa era a pergunta que Newton queria responder em 1665. A resposta dele foi o método das fluxions.
Os professores de cálculo costumam dizer duas coisas ao mesmo tempo: “$\frac{dy}{dx}$ não é uma fração” e “pode cancelar o $du$ como numa fração”. As duas estão certas, e é justamente essa a força e o perigo da notação de Leibniz. Ela se parece com uma fração e, na maioria das contas, se comporta como uma. Saber onde a semelhança vale e onde quebra é uma das competências mais finas da leitura matemática.
Um carro passa pelo quilômetro 120 às 14h00 e pelo quilômetro 210 às 15h00. A velocidade média foi $$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{210-120}{15-14}=90\ \text{km/h}.$$A letra grega $\Delta$, delta maiúsculo, é o $D$ grego, de diferença. $\Delta s$ não é “delta vezes $s$”: é um sinal só, que quer dizer “quanto $s$ variou”. É uma conta com números de verdade, que se pode fazer com uma régua e um relógio. Mas o velocímetro não mostra a velocidade média de uma hora. Mostra a velocidade agora. E “agora” não tem duração: $\Delta t=0$, e a divisão por zero não faz sentido. O cálculo resolve esse impasse com uma passagem, e a notação dele acompanha a passagem sem mudar de forma.
Se $y=x^3$, a derivada é $3x^2$. Isso todo mundo escreve igual. O que muda é o nome que se dá a essa derivada. Num livro de física, você vai ler $\dot y$; num de cálculo, $\frac{dy}{dx}$ ou $f'(x)$; num de equações diferenciais, $Dy$. São quatro signos com o mesmo objeto, e nenhum deles venceu os outros. As quatro escritas Notação Autor Quando Como se lê $\dot y$ Isaac Newton anos 1660, publicada em 1704 a fluxão de $y$, a velocidade com que $y$ flui no tempo $\dfrac{dy}{dx}$ Gottfried Leibniz 1675, publicada em 1684 a razão entre duas diferenças infinitamente pequenas $f'(x)$ Joseph-Louis Lagrange 1797 a função derivada de $f$, calculada em $x$ $Df$ Louis Arbogast 1800 o operador $D$ aplicado à função $f$ O capítulo 1 já contou a briga entre os pontos de Newton e os $d$ de Leibniz, no texto sobre Leibniz e o cálculo. Aqui interessa outra pergunta: o que cada escrita mostra e o que ela deixa de fora.