Um carro passa pelo quilômetro 120 às 14h00 e pelo quilômetro 210 às 15h00. A velocidade média foi

$$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{210-120}{15-14}=90\ \text{km/h}.$$

A letra grega $\Delta$, delta maiúsculo, é o $D$ grego, de diferença. $\Delta s$ não é “delta vezes $s$”: é um sinal só, que quer dizer “quanto $s$ variou”. É uma conta com números de verdade, que se pode fazer com uma régua e um relógio.

Mas o velocímetro não mostra a velocidade média de uma hora. Mostra a velocidade agora. E “agora” não tem duração: $\Delta t=0$, e a divisão por zero não faz sentido. O cálculo resolve esse impasse com uma passagem, e a notação dele acompanha a passagem sem mudar de forma.

A fração que encolhe

Tome $y=x^2$ e um ponto $x=a$. Andando $\Delta x$ para a direita, $y$ varia

$$\Delta y=(a+\Delta x)^2-a^2=2a\,\Delta x+(\Delta x)^2,$$

e a taxa média de variação é

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=2a+\Delta x.$$

Agora encolha $\Delta x$. A taxa se aproxima de $2a$, e o resto, $\Delta x$, some. O que sobra recebe o nome de Leibniz:

$$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=2a.$$

Repare no que a notação faz. A fração $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ vira a fração $\frac{dy}{dx}$: a forma se mantém, e só a letra grega vira latina. O $d$ é um $\Delta$ que encolheu. Essa continuidade visual é um trunfo enorme: quem sabe mexer com a fração das diferenças finitas já tem uma intuição sobre como mexer com a derivada. E é também a origem dos enganos: a derivada não é uma fração de dois números, e o próximo texto mostra onde a semelhança quebra.

Δy não é dy

Na escrita moderna, $\Delta y$ e $dy$ são coisas diferentes, e vale a pena separá-las. Para um passo $\Delta x$:

  • $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ é a variação verdadeira da função;
  • $dy=f'(x)\,\Delta x$ é a variação da reta tangente, a aproximação linear.

Para $y=x^2$ em $x=3$ com $\Delta x=0{,}1$: $\Delta y=3{,}1^2-3^2=0{,}61$, enquanto $dy=6\cdot0{,}1=0{,}6$. A diferença, $0{,}01=(\Delta x)^2$, é pequena perto de $\Delta x$ e fica cada vez menor quando o passo diminui. É isso que justifica usar $dy$ no lugar de $\Delta y$ em contas aproximadas.

Essa aproximação é uma das ferramentas mais usadas da ciência. Quanto vale $\sqrt{4{,}1}$? Com $f(x)=\sqrt x$, $f'(x)=\frac1{2\sqrt x}$, e em $x=4$:

$$\sqrt{4{,}1}\approx\sqrt4+\frac{1}{2\sqrt4}\cdot0{,}1=2+0{,}025=2{,}025.$$

O valor verdadeiro é $2{,}02485\ldots$ O erro está na quinta casa.

Exercício: Δ para y = x³

Calcule $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ para $y=x^3$ em $a=1$ com $\Delta x=0{,}1$, e depois o limite.

$\Delta y=1{,}1^3-1=1{,}331-1=0{,}331$, então $\frac{\Delta y}{\Delta x}=3{,}31$. Em geral, $\frac{(1+\Delta x)^3-1}{\Delta x}=3+3\Delta x+(\Delta x)^2$, que tende a $3$. A derivada de $x^3$ em $x=1$ é $3\cdot1^2=3$.

Exercício: use dy no lugar de Δy

Estime $1{,}02^5$ com a diferencial.

Com $f(x)=x^5$, $f'(x)=5x^4$, e em $x=1$ com $\Delta x=0{,}02$: $dy=5\cdot0{,}02=0{,}1$, então $1{,}02^5\approx1{,}1$. O valor exato é $1{,}10408\ldots$ O erro vem dos termos com $(\Delta x)^2$ e potências maiores, que a diferencial despreza.

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