Se $y=x^3$, a derivada é $3x^2$. Isso todo mundo escreve igual. O que muda é o nome que se dá a essa derivada. Num livro de física, você vai ler $\dot y$; num de cálculo, $\frac{dy}{dx}$ ou $f'(x)$; num de equações diferenciais, $Dy$. São quatro signos com o mesmo objeto, e nenhum deles venceu os outros.

As quatro escritas

Notação Autor Quando Como se lê
$\dot y$ Isaac Newton anos 1660, publicada em 1704 a fluxão de $y$, a velocidade com que $y$ flui no tempo
$\dfrac{dy}{dx}$ Gottfried Leibniz 1675, publicada em 1684 a razão entre duas diferenças infinitamente pequenas
$f'(x)$ Joseph-Louis Lagrange 1797 a função derivada de $f$, calculada em $x$
$Df$ Louis Arbogast 1800 o operador $D$ aplicado à função $f$

O capítulo 1 já contou a briga entre os pontos de Newton e os $d$ de Leibniz, no texto sobre Leibniz e o cálculo. Aqui interessa outra pergunta: o que cada escrita mostra e o que ela deixa de fora.

O que cada uma mostra

O ponto de Newton mostra que a variável é o tempo. Não há $dt$ escrito, porque para Newton toda grandeza flui no tempo. É uma escrita econômica: $\ddot x$ é a aceleração, e a segunda lei fica $m\ddot x=F$. Mas ela não diz em relação a quê se deriva quando a variável não é o tempo, e é por isso que só sobreviveu na física.

O $\frac{dy}{dx}$ de Leibniz mostra as duas variáveis: quem muda ($y$) e em relação a quem ($x$). E tem forma de fração, o que faz as contas andarem sozinhas, como na regra da cadeia. É a escrita mais ativa das quatro, e também a que mais engana; o texto 3 mostra quando.

O $f'(x)$ de Lagrange mostra que a derivada é uma nova função, filha de $f$. Não fala de variações, de infinitésimos ou de tempo: só de uma função que gera outra. Foi exatamente essa a intenção de Lagrange.

O $D$ de Arbogast mostra que derivar é uma operação, como multiplicar. Escrever $Df$ convida a fazer com $D$ o que se faz com números: elevar ao quadrado, somar, fatorar. O texto 4 mostra até onde isso vai.

Lagrange contra o infinitamente pequeno

A folha de rosto da Teoria das funções analíticas de Lagrange (Paris, 1797). O título promete os princípios do cálculo diferencial “livres de qualquer consideração de infinitamente pequenos ou evanescentes, de limites ou de fluxions”.
A folha de rosto da Teoria das funções analíticas de Lagrange (Paris, 1797). O título promete os princípios do cálculo diferencial “livres de qualquer consideração de infinitamente pequenos ou evanescentes, de limites ou de fluxions”.Joseph-Louis Lagrange · Wikimedia Commons · domínio público

No fim do século XVIII, o cálculo funcionava muito bem e se explicava muito mal. Ninguém sabia dizer o que era um $dx$: zero não podia ser, porque se dividia por ele; diferente de zero também não, porque no fim era desprezado. Lagrange tentou uma saída radical. Toda função, supunha ele, se escreve como uma série de potências:

$$f(x+h)=f(x)+p\,h+q\,h^2+\cdots$$

O coeficiente $p$ de $h$ é uma nova função de $x$, que ele chamou de função derivada e escreveu $f'(x)$. Daí vem a palavra “derivada” que usamos hoje. Para $f(x)=x^3$:

$$(x+h)^3=x^3+3x^2\,h+3x\,h^2+h^3,$$

e o coeficiente de $h$ é $3x^2$. Nenhum infinitésimo, nenhum limite: só álgebra. A notação $f'$ carrega essa filosofia: o apóstrofo diz “derivada de”, e não “razão entre pequenos”.

O plano de Lagrange falhou, porque há funções que não se escrevem como séries de potências, e no século XIX o limite de Cauchy assumiu o papel de fundamento. Mas a notação sobreviveu à filosofia que a criou.

Cada área com a sua escrita

Hoje as quatro convivem, e cada área escolheu a que mais lhe serve:

  • A mecânica usa os pontos, porque quase tudo deriva no tempo: $\dot x$ é velocidade, $\ddot x$ é aceleração.
  • A análise usa $f'(x)$, porque pensa em funções como objetos.
  • O cálculo aplicado usa $\frac{dy}{dx}$, porque troca de variáveis o tempo todo.
  • As equações diferenciais usam $D$, porque querem manipular a derivada algebricamente.

Um bom leitor de matemática passa de uma escrita a outra sem perceber. Um aluno iniciante precisa aprender que as quatro falam da mesma coisa, e isso não é óbvio: nada no desenho de $\dot y$ lembra $f'(x)$.

Exercício: a mesma conta em quatro escritas

Escreva a segunda derivada de $y=x^3$ nas quatro notações, supondo, para Newton, que $x$ é o tempo.

Newton: $\ddot y=6x$. Leibniz: $\frac{d^2y}{dx^2}=6x$. Lagrange: $f''(x)=6x$. Arbogast: $D^2y=6x$. O objeto é sempre o mesmo, a função $6x$; o que muda é o caminho que cada escrita sugere para chegar até ele.

Exercício: a derivada de Lagrange

Use o método de Lagrange para achar a derivada de $f(x)=x^2+5x$.

$f(x+h)=(x+h)^2+5(x+h)=x^2+5x+(2x+5)\,h+h^2$. O coeficiente de $h$ é $2x+5$, então $f'(x)=2x+5$. Repare que não foi preciso dividir por $h$ nem fazer $h$ tender a zero.

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