Os professores de cálculo costumam dizer duas coisas ao mesmo tempo: “$\frac{dy}{dx}$ não é uma fração” e “pode cancelar o $du$ como numa fração”. As duas estão certas, e é justamente essa a força e o perigo da notação de Leibniz. Ela se parece com uma fração e, na maioria das contas, se comporta como uma. Saber onde a semelhança vale e onde quebra é uma das competências mais finas da leitura matemática.

Onde funciona

A regra da cadeia. Se $y$ depende de $u$ e $u$ depende de $x$:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.$$

Os $du$ “se cancelam”, como numa fração. Para $y=(x^2+1)^{10}$, com $u=x^2+1$: $\frac{dy}{du}=10u^9$ e $\frac{du}{dx}=2x$, logo $\frac{dy}{dx}=20x(x^2+1)^9$.

A função inversa. Se $y=e^x$, então $x=\ln y$, e

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}=\frac1{e^x}=\frac1y.$$

Inverter a fração dá a derivada de $\ln y$. Uma regra que em outras notações exige um teorema aqui sai virando o papel.

A separação de variáveis. Para $\frac{dy}{dx}=ky$, “passa-se” o $dx$ para o outro lado:

$$\frac{dy}{y}=k\,dx\quad\Longrightarrow\quad\ln y=kx+C\quad\Longrightarrow\quad y=Ce^{kx}.$$

Um matemático rigoroso torce o nariz para o “passar para o outro lado”, mas o resultado está certo, e há um teorema que garante que sempre estará nesse tipo de conta.

Onde quebra

A segunda derivada. A escrita $\frac{d^2y}{dx^2}$ parece dizer “$d^2y$ dividido por $dx^2$”, e daí seria tentador concluir que $\frac{d^2y}{dx^2}=\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$. Para $y=x^2$: $\frac{d^2y}{dx^2}=2$, mas $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=4x^2$. Não têm nada a ver. Pior: a regra da cadeia para a segunda derivada não é o produto das segundas derivadas:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d^2y}{du^2}\left(\frac{du}{dx}\right)^2+\frac{dy}{du}\cdot\frac{d^2u}{dx^2},$$

com um termo a mais que nenhum “cancelamento” anuncia.

As derivadas parciais. Para um gás ideal, $pV=nRT$. Cada uma das três grandezas pode ser escrita em função das outras duas, e as derivadas parciais são

$$\frac{\partial p}{\partial V}=-\frac{p}{V},\qquad\frac{\partial V}{\partial T}=\frac{nR}{p},\qquad\frac{\partial T}{\partial p}=\frac{V}{nR}.$$

Se fossem frações, o produto se cancelaria e daria $1$. Mas

$$\frac{\partial p}{\partial V}\cdot\frac{\partial V}{\partial T}\cdot\frac{\partial T}{\partial p}=-\frac pV\cdot\frac{nR}p\cdot\frac{V}{nR}=-1.$$

O sinal de menos vem de algo que a notação esconde: cada $\partial$ mantém uma variável diferente fixa, e essa variável não aparece escrita. O $\partial p$ do primeiro fator não é o mesmo objeto que o $\partial p$ do terceiro. Os físicos sabem disso e, na termodinâmica, escrevem a variável fixa como índice: $\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T$.

Então, é ou não é?

Para Leibniz, era: $dy$ e $dx$ eram quantidades infinitamente pequenas, e $\frac{dy}{dx}$ era a razão entre elas. No século XIX, o rigor de Cauchy e Weierstrass trocou os infinitésimos por limites, e $\frac{dy}{dx}$ passou a ser um sinal único, indivisível. Nos anos 1960, o lógico Abraham Robinson mostrou que é possível, com cuidado, construir números infinitamente pequenos de verdade, e nessa análise não padrão a derivada volta a ser uma razão, a menos de um ajuste.

A resposta curta é: $\frac{dy}{dx}$ se comporta como fração quando há uma variável independente e uma ordem de derivação. Fora disso, é preciso conferir.

Exercício: a inversa do seno

Use $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}$ para derivar $x=\operatorname{arcsen}y$, com $-1

Se $y=\operatorname{sen}x$, então $\frac{dy}{dx}=\cos x=\sqrt{1-\operatorname{sen}^2x}=\sqrt{1-y^2}$ (com $\cos x>0$ no intervalo certo). Logo $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$, que é a derivada do arco-seno.

Exercício: a segunda derivada pela cadeia

Calcule $\frac{d^2y}{dx^2}$ para $y=u^3$ com $u=2x$, pela fórmula com dois termos, e confira derivando $y=8x^3$ diretamente.

$\frac{d^2y}{du^2}=6u$, $\frac{du}{dx}=2$, $\frac{dy}{du}=3u^2$, $\frac{d^2u}{dx^2}=0$. A fórmula dá $6u\cdot4+0=24u=48x$. Direto: $y=8x^3$, $y'=24x^2$, $y''=48x$. Confere. Aqui o segundo termo é zero porque $u$ é linear; com $u=x^2$, ele não seria.

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