Geometria

Os dados do Cavaleiro de Méré e a partilha justa

Antoine Gombaud, que se apresentava como Cavaleiro de Méré, era um escritor da corte francesa e um jogador apaixonado. Por volta de 1654, levou a Pascal duas perguntas sobre apostas. Pascal achou as perguntas tão boas que escreveu a Pierre de Fermat, e daquelas cartas nasceu a teoria das probabilidades. Sobre o amigo, Pascal comentou com Fermat: Ele tem muito bom espírito, mas não é geômetra; e isso, como o senhor sabe, é um grande defeito. — Blaise Pascal, carta a Fermat (29 de julho de 1654)

October 8, 2026 Iniciar leitura

As hipóteses em que se funda a geometria

A questão da validade das hipóteses da geometria no infinitamente pequeno está ligada à questão do fundamento interno das relações métricas do espaço. — Bernhard Riemann, Sobre as hipóteses em que se funda a geometria (1854) Em 10 de junho de 1854, Riemann apresentou à faculdade de Göttingen a palestra Sobre as hipóteses em que se funda a geometria. Ele a escreveu para um público que incluía filósofos e historiadores, quase sem fórmulas. O texto só foi publicado em 1868, depois da sua morte, e mudou a geometria.

October 31, 2026 Iniciar leitura

A solução de barganha de Nash

Apresenta-se um novo tratamento de um problema econômico clássico, que aparece em muitas formas, como a barganha e o monopólio bilateral. — John Nash, The Bargaining Problem (1950) Em 1948, ainda aluno de graduação no Carnegie Institute of Technology, Nash fez um curso de economia internacional, o único curso de economia da sua vida. Saiu dele com uma pergunta: quando duas pessoas negociam, como dividem os ganhos de um acordo? Os economistas achavam que a resposta dependia da psicologia, da habilidade e do blefe de cada um, e que não havia nada a dizer em geral. Nash mostrou que, se o acordo tiver de satisfazer algumas exigências razoáveis, só existe uma resposta possível. O trabalho, escrito antes de ele chegar a Princeton, foi publicado em 1950 na revista Econometrica.

October 15, 2026 Iniciar leitura

A álgebra feita com quadrados e retângulos

Se uma reta for cortada ao acaso, o quadrado sobre a reta toda é igual aos quadrados sobre os segmentos e duas vezes o retângulo contido pelos segmentos. — Euclides, Elementos, Proposição II.4 Os gregos não tinham letras para as incógnitas, nem sinais de mais e de menos, nem o sinal de igual. Quando queriam falar de $a\cdot b$, falavam de um retângulo de lados $a$ e $b$; quando queriam $a^2$, falavam de um quadrado de lado $a$. As palavras “quadrado” e “cubo”, que usamos para as potências, vêm daí. O Livro II dos Elementos é inteiro feito assim: são identidades da álgebra, enunciadas e provadas como fatos sobre áreas. Os historiadores o chamam de álgebra geométrica.

October 12, 2026 Iniciar leitura

A Pascalina: uma soma feita por engrenagens

Em 1640, Étienne Pascal foi nomeado coletor de impostos da Normandia. O trabalho era somar colunas e colunas de valores, noite adentro, e o filho Blaise, então com 17 anos, ajudava. Para piorar, o dinheiro francês não era decimal: $$1\ \text{livra}=20\ \text{soldos},\qquad 1\ \text{soldo}=12\ \text{dinheiros}.$$Somar $3$ livras, $15$ soldos e $8$ dinheiros com $2$ livras, $7$ soldos e $9$ dinheiros exige três tipos de “vai um”: dinheiros: $8+9=17$, que é $1$ soldo e $5$ dinheiros; soldos: $15+7+1=23$, que é $1$ livra e $3$ soldos; livras: $3+2+1=6$. Resultado: $6$ livras, $3$ soldos e $5$ dinheiros. Faça isso mil vezes por noite e você vai errar. Em 1642, Blaise começou a construir uma máquina que não errasse.

October 8, 2026 Iniciar leitura

A esfera e o cilindro

Os geômetras gregos sabiam calcular o volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones. A esfera resistia. No tratado em dois livros Sobre a esfera e o cilindro, Arquimedes resolveu o problema e encontrou relações de uma simplicidade surpreendente. Os teoremas Chame de círculo máximo o círculo que passa pelo centro da esfera, como o equador. Arquimedes demonstrou que: a superfície da esfera é quatro vezes a área do círculo máximo: $S = 4\pi r^2$; o volume da esfera é quatro vezes o de um cone cuja base é o círculo máximo e cuja altura é o raio: $V = 4 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot r = \frac{4}{3}\pi r^3$. E daí tirou a consequência que mais o encantava. Considere o cilindro que envolve a esfera exatamente, com raio $r$ e altura $2r$. O seu volume é $\pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$, e a superfície total, contando as duas tampas, é $2\pi r \cdot 2r + 2\pi r^2 = 6\pi r^2$. Então

October 29, 2026 Iniciar leitura

Girar no espaço com quatérnios

Os complexos de módulo 1 giram o plano. Hamilton esperava que os seus números fizessem o mesmo no espaço, e fazem, mas de um modo mais sutil do que ele imaginou de início. A receita Escreva um ponto do espaço $(x, y, z)$ como o quatérnio puro $v = xi + yj + zk$. Para girar um ângulo $\theta$ em torno de um eixo dado por um vetor unitário $u = u_1 i + u_2 j + u_3 k$, tome

October 27, 2026 Iniciar leitura

Amassar sem esticar: o teorema da imersão

Pegue uma folha de papel. Você pode enrolá-la num cilindro sem rasgar nem esticar: as distâncias medidas sobre a folha, com uma régua flexível, continuam as mesmas. Mas não consegue embrulhar uma bola com ela sem fazer pregas. A folha e a esfera têm geometrias internas diferentes, e Gauss provou em 1827 que essa diferença, a curvatura, não muda quando a superfície é dobrada sem esticar. No século XIX, Bernhard Riemann teve uma ideia ainda mais ousada: descrever uma superfície, ou um espaço de qualquer dimensão, só pelas suas medidas internas, sem desenhá-la em lugar nenhum. Basta uma regra, a métrica, que diz como medir o comprimento de qualquer curva. É assim que a relatividade geral descreve o espaço-tempo: por dentro, sem um espaço maior em volta.

October 15, 2026 Iniciar leitura

O algoritmo de Euclides: o máximo divisor comum

O algoritmo de Euclides é o avô de todos os algoritmos, porque é o mais antigo algoritmo não trivial que sobreviveu até os dias de hoje. — Donald Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 2 (1969) Você tem duas varas, uma de 252 cm e outra de 105 cm, e quer encontrar a maior régua que mede as duas exatamente, um número inteiro de vezes. Em linguagem de hoje, quer o máximo divisor comum, $\operatorname{mdc}(252,105)$. Pode-se listar todos os divisores de cada número e procurar o maior em comum, mas com números grandes isso é impraticável. No Livro VII dos Elementos, Euclides ensina um caminho muito mais rápido.

October 12, 2026 Iniciar leitura

O hexagrama místico: seis pontos numa cônica

Em fevereiro de 1640, circulou em Paris uma folha impressa de um lado só, como um cartaz, com o título Ensaio sobre as cônicas. Não trazia demonstrações, só definições, três lemas e uma lista de resultados. O autor tinha 16 anos e se chamava Blaise Pascal. Quando o padre Mersenne mostrou a folha a Descartes, a reação foi de desconfiança: Descartes achou que o rapaz tinha tirado tudo de Girard Desargues, o arquiteto e geômetra que Pascal admirava. A influência de Desargues era real, e o próprio Pascal a reconhecia. Mas o resultado central da folha era novo.

October 8, 2026 Iniciar leitura

A equação do calor e a regularidade de De Giorgi e Nash

Em 1900, no Congresso Internacional de Matemáticos, em Paris, David Hilbert apresentou uma lista de 23 problemas que, para ele, guiariam a matemática do século XX. O problema 19 perguntava, em linguagem simples: as soluções dos problemas “bem comportados” do cálculo das variações são sempre funções suaves? Meio século depois, a pergunta continuava aberta para uma classe importante de equações. Em 1956, Nash ouviu falar dela por um colega e decidiu atacá-la.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Os números primos não acabam

Os números primos são mais do que qualquer quantidade proposta de números primos. — Euclides, Elementos, Proposição IX.20 Um número primo é um inteiro maior que 1 que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Todos os outros, como $12=2\cdot2\cdot3$, são produtos de primos. Os primos são os átomos da aritmética. Quanto mais se avança, mais raros eles ficam. Entre 1 e 100 há 25 primos; entre 1 000 001 e 1 000 100, só 6. Será que, a partir de algum ponto, eles acabam? Euclides mostrou que não, com um argumento de quatro linhas que o matemático inglês G. H. Hardy considerava um dos mais belos de toda a matemática.

October 12, 2026 Iniciar leitura