Inequações trigonométricas (capítulo VIII). Teste 172CESCEA-74 A solução da desigualdade $\operatorname{sen}^2 x - \frac{1}{2} \ge 0$ no intervalo $[0, \pi]$ é: a) $0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ ou $\frac{3\pi}{4} \le x \le \pi$b) $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{3\pi}{4}$c) $\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{2\pi}{3}$d) $0 \le x \le \frac{\pi}{6}$ ou $\frac{5\pi}{6} \le x \le \pi$e) não sei $\operatorname{sen}^2 x \ge \frac{1}{2} \iff |\operatorname{sen} x| \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$; em $[0, \pi]$, $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{3\pi}{4}$. Teste 173CESCEM-72 Considere a desigualdade $\operatorname{sen} x + \operatorname{sen}^2 x > 0$. Pode-se afirmar que: a) só está satisfeita para $x$ no primeiro quadranteb) só está satisfeita para $x$ entre $0$ e $\pi$c) a desigualdade que se obtém substituindo $x$ por $-x$ é equivalente à desigualdade dadad) os valores de $x$ que a satisfazem são precisamente aqueles para os quais $\operatorname{sen} x > 0$e) existe $x$ no terceiro quadrante que satisfaz a desigualdade $\operatorname{sen} x(1 + \operatorname{sen} x) > 0$. Como $1 + \operatorname{sen} x \ge 0$, e é nulo só quando $\operatorname{sen} x = -1$, a desigualdade equivale a $\operatorname{sen} x > 0$.
Em cada inequação, desenhe o ciclo: marque a reta auxiliar, destaque o arco que convém e só então escreva os intervalos, partindo de $A$. Pontos que não satisfazem a desigualdade estrita ficam abertos. Inequações em seno 271 Resolva a inequação $0 \le \operatorname{sen} x < \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Ver a resoluçãoA imagem de $x$ deve ficar na interseção do ciclo com a faixa do plano compreendida entre as retas $r$ ($v = 0$) e $s$ ($v = \frac{\sqrt{3}}{2}$), incluída $r$ e excluída $s$: Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. $$2k\pi \le x < \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad \frac{2\pi}{3} + 2k\pi < x \le \pi + 2k\pi.$$
Para a tangente, a fronteira não é mais uma reta paralela a um eixo, mas a reta $OT$ que passa pelo centro: ela corta o ciclo em dois pontos diametralmente opostos, e as soluções vêm sempre em pares de arcos simétricos em relação a $O$ — o reflexo de a tangente ter período $\pi$. A história O nome tangente vem do eixo que usamos para medi-la: o segmento $\overline{AT}$ está sobre a reta tangente ao ciclo em $A$. A palavra, em latim tangens, foi introduzida pelo matemático dinamarquês Thomas Fincke no livro Geometria rotundi (1583), junto com secans. Antes, os árabes já tabelavam essa grandeza como a “sombra” de uma vara vertical iluminada pelo Sol, num estudo ligado aos relógios de sol (veja o capítulo II).
Para o cosseno, a reta auxiliar é vertical: as soluções de $\cos x > m$ ficam à direita dela, e as de $\cos x < m$, à esquerda. A história A notação de intervalos que usamos neste livro, com colchetes “virados” para indicar um extremo excluído — $\left]a, b\right[$ —, é tradição francesa; ela foi difundida no século XX pelo grupo Nicolas Bourbaki, pseudônimo coletivo de matemáticos franceses que reescreveram os fundamentos da matemática numa série de livros. Nos países de língua inglesa é mais comum a notação com parênteses, $(a, b)$.
Sejam $f$ e $g$ duas funções trigonométricas da variável $x$. Resolver a inequação $f(x) < g(x)$ é obter o conjunto $S$ — o conjunto-solução ou conjunto-verdade — dos números $r$ para os quais $f(r) < g(r)$ é uma sentença verdadeira. A história Os sinais $<$ e $>$ apareceram impressos em 1631, no livro Artis analyticae praxis, publicado dez anos depois da morte do matemático inglês Thomas Harriot, que também foi astrônomo e navegador. Os sinais $\le$ e $\ge$ (com um traço sob o sinal) foram introduzidos em 1734 pelo francês Pierre Bouguer, matemático e hidrógrafo. Antes disso, as desigualdades eram escritas por extenso — “é maior que”, “é menor que”.