A solução da desigualdade $\operatorname{sen}^2 x - \frac{1}{2} \ge 0$ no intervalo $[0, \pi]$ é:
$\operatorname{sen}^2 x \ge \frac{1}{2} \iff |\operatorname{sen} x| \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$; em $[0, \pi]$, $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{3\pi}{4}$.
Teste 173CESCEM-72
Considere a desigualdade $\operatorname{sen} x + \operatorname{sen}^2 x > 0$. Pode-se afirmar que:
$\operatorname{sen} x(1 + \operatorname{sen} x) > 0$. Como $1 + \operatorname{sen} x \ge 0$, e é nulo só quando $\operatorname{sen} x = -1$, a desigualdade equivale a $\operatorname{sen} x > 0$.
Teste 174CESCEA-71
A solução da inequação $\operatorname{sen}^2 x < 2\operatorname{sen} x$ no intervalo fechado $[0, 2\pi]$ é:
$\operatorname{sen} x(\operatorname{sen} x - 2) < 0$; como $\operatorname{sen} x - 2 < 0$ sempre, a desigualdade equivale a $\operatorname{sen} x > 0$: em $[0, 2\pi]$, $0 < x < \pi$.
Teste 175GV-72
A solução da inequação $\sqrt{2}\cos^2 x > \cos x$ no intervalo $[0, \pi]$ é:
$\cos x(\sqrt{2}\cos x - 1) > 0 \iff \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ ou $\cos x < 0$; em $[0, \pi]$: $0 \le x < \frac{\pi}{4}$ ou $\frac{\pi}{2} < x \le \pi$. A alternativa (a) é a correta, a menos do extremo $\frac{\pi}{4}$, onde vale a igualdade (a desigualdade é estrita).
Teste 176MACK-75
Para $0 \le x \le 2\pi$, o conjunto-solução de $(\operatorname{sen} x + \cos x)^2 > 1$ é:
$(\operatorname{sen} x + \cos x)^2 = 1 + \operatorname{sen} 2x > 1 \iff \operatorname{sen} 2x > 0 \iff 0 < x < \frac{\pi}{2}$ ou $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ (em $[0, 2\pi]$).
Teste 177ITA-76
A inequação $4\operatorname{sen}^2 x - 2(1 + \sqrt{2})\operatorname{sen} x + \sqrt{2} < 0$ tem uma solução $x$ tal que:
As raízes do trinômio em $s = \operatorname{sen} x$ são $\frac{1}{2}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (o discriminante é $4(\sqrt{2} - 1)^2$). A inequação vale para $\frac{1}{2} < \operatorname{sen} x < \frac{\sqrt{2}}{2}$, por exemplo para $30^\circ < x < 45^\circ$; todo $x$ entre $35^\circ$ e $45^\circ$ é solução.
Teste 178MACK-73
Se $0 \le \alpha \le \pi$ e, para todo $x$ real, $x^2 + x + \operatorname{tg}\alpha > \frac{3}{4}$, então:
O trinômio $x^2 + x + \left(\operatorname{tg}\alpha - \frac{3}{4}\right)$ é positivo para todo $x$ se o discriminante é negativo: $1 - 4\operatorname{tg}\alpha + 3 < 0$, isto é, $\operatorname{tg}\alpha > 1$. Em $[0, \pi]$: $\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Teste 179CESCEA-71
A solução da inequação $\operatorname{sen} 2x \cdot \left(\sec^2 x - \frac{1}{3}\right) \le 0$ no intervalo fechado $[0, 2\pi]$ é:
Onde está definido, $\sec^2 x - \frac{1}{3} \ge 1 - \frac{1}{3} > 0$; a inequação equivale a $\operatorname{sen} 2x \le 0$ com $\cos x \ne 0$: $\frac{\pi}{2} < x \le \pi$ ou $\frac{3\pi}{2} < x \le 2\pi$ (e também $x = 0$). O gabarito impresso indica (b), que é a solução de $\operatorname{sen} 2x \ge 0$, isto é, da desigualdade contrária.
Teste 180CESCEA-75
Os valores de $x \in\, ]0, \pi[$ para os quais $(1 + \operatorname{sen} x)(1 - \cos x)\left(\frac{\pi}{2} - x\right) < 0$ são tais que:
Em $]0, \pi[$, $1 + \operatorname{sen} x > 0$ e $1 - \cos x > 0$; o produto é negativo quando $\frac{\pi}{2} - x < 0$, isto é, $x > \frac{\pi}{2}$.
Teste 181MACK-73
Os pontos da circunferência trigonométrica correspondentes às soluções do sistema $\operatorname{sen} 2x > 0$, $\operatorname{cotg} x < 0$:
$\operatorname{sen} 2x = 2\operatorname{sen} x\cos x > 0$ exige seno e cosseno de mesmo sinal (1º ou 3º quadrante); $\operatorname{cotg} x < 0$ exige sinais contrários (2º ou 4º). Não há solução.
Teste 182S. CARLOS-68
A inequação $|\cos x| \ge \operatorname{sen} x$, com $0 < x < 2\pi$, é válida se, e somente se:
Onde $\operatorname{sen} x \le 0$ ($\pi \le x < 2\pi$) a desigualdade vale automaticamente. Onde $\operatorname{sen} x > 0$, é preciso $|\cos x| \ge \operatorname{sen} x$, isto é, $0 < x \le \frac{\pi}{4}$ ou $\frac{3\pi}{4} \le x < \pi$. Juntando: $0 < x \le \frac{\pi}{4}$ ou $\frac{3\pi}{4} \le x < 2\pi$.
Teste 183MAUÁ-69
Todos os arcos entre $0$ e $2\pi$ radianos que satisfazem a desigualdade $\cos x + \sqrt{3}\operatorname{sen} x > \sqrt{2}$ estão compreendidos entre:
$\cos x + \sqrt{3}\operatorname{sen} x = 2\operatorname{sen}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) > \sqrt{2} \iff \frac{\pi}{4} < x + \frac{\pi}{6} < \frac{3\pi}{4} \iff \frac{\pi}{12} < x < \frac{7\pi}{12}$.
Teste 184ITA-71
Seja $n$ um número inteiro, $n > 1$, e $x \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$. Qual afirmação abaixo é sempre verdadeira?
É a desigualdade de Bernoulli: para $0 < s < 1$, $(1 - s)^n \ge 1 - ns$ (prova-se por indução: $(1 - s)^{n+1} \ge (1 - ns)(1 - s) = 1 - (n + 1)s + ns^2 \ge 1 - (n + 1)s$).
Teste 185GV-75
Para que $y = \log(1 - \operatorname{sen}^2 x)$ tenha valores reais, devemos ter, para $k$ inteiro:
$1 - \operatorname{sen}^2 x = \cos^2 x$ precisa ser positivo: $\cos x \ne 0$, isto é, $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$.
Teste 186MACK-74
Sendo $\operatorname{sen} x - \operatorname{sen} y = 2\operatorname{sen}\frac{x - y}{2}\cos\frac{x + y}{2}$ e lembrando que $|\operatorname{sen} z| \le |z|$, $|\cos t| \le 1$ e $|ab| = |a||b|$, podemos afirmar que, para quaisquer números $x$ e $y$ reais:
É o mesmo problema do teste 115: $|\operatorname{sen} x - \operatorname{sen} y| = 2\left|\operatorname{sen}\frac{x - y}{2}\right|\left|\cos\frac{x + y}{2}\right| \le |x - y|$.
Com $u = bx$: $P = \frac{\operatorname{sen}^2 u + 1}{\operatorname{sen} u} \cdot \frac{\cos^2 u + 1}{\cos u} \cdot \frac{1}{\operatorname{sen} u\cos u} = \frac{(\operatorname{sen}^2 u + 1)(\cos^2 u + 1)}{\operatorname{sen}^2 u\cos^2 u} > 0$, sempre que existe, isto é, quando $\operatorname{sen} u$ e $\cos u$ não se anulam: $bx \ne \frac{k\pi}{2}$.
Teste 188ITA-68
Seja $y = a^{\log\operatorname{tg} x}$, com $0 < a < 1$, onde $\log u$ indica o logaritmo neperiano de $u$. Então $\log y \ge 0$ se:
$\log y = (\log\operatorname{tg} x)(\log a)$, com $\log a < 0$. Então $\log y \ge 0 \iff \log\operatorname{tg} x \le 0 \iff 0 < \operatorname{tg} x \le 1$: $0 < x \le \frac{\pi}{4}$ ou $\pi < x \le \frac{5\pi}{4}$ (na primeira volta).
