到十九世纪初，复数已经用了三百年，从卡尔达诺和邦贝利开始，欧拉更是用它们创造了奇迹。韦塞尔、阿尔冈和高斯把它们画成了平面上的点。但不安依然存在：$\sqrt{-1}$ 究竟是什么？一个平方为负的数，看起来像是一种有用的虚构，而不是数学的对象。

哈密顿没有画任何图就解决了这个问题。在 1833 年和 1835 年提交给皇家爱尔兰学院、1837 年发表的论文《共轭函数或代数数对的理论》中，他提出：复数就是一个有序实数对，仅此而已。

游戏规则

对数对 $(a, b)$ 和 $(c, d)$，哈密顿定义

$$(a, b) + (c, d) = (a + c,\; b + d), \qquad (a, b)\cdot(c, d) = (ac - bd,\; ad + bc).$$

形如 $(a, 0)$ 的数对与实数的行为完全一样：$(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)$，$(a, 0)\cdot(c, 0) = (ac, 0)$。所以可以把 $(a, 0)$ 简单地写成 $a$。而数对 $(0, 1)$ 有一个特殊的性质：

$$(0, 1)\cdot(0, 1) = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1,\; 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = (-1, 0) = -1.$$

把 $(0, 1)$ 记作 $i$，数对 $(a, b)$ 就是 $a + bi$，且 $i^2 = -1$。“负一的平方根”不再是个谜：它是一对服从明确乘法规则的实数。关于复数的一切，都可以用实数的算术来验证。

为什么是这条规则？

这条乘法规则看起来很随意，但它有一个宝贵的性质，哈密顿称之为模的定律。$(a, b)$ 的模是 $\sqrt{a^2 + b^2}$，即到原点的距离。而乘积的模等于模的乘积：

$$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2.$$

这是一个古老的恒等式，丢番图和婆罗摩笈多都知道，正是它让复数的乘法成为一种几何运算：乘以一个模为 1 的复数，就是把平面旋转。乘以 $i$ 就是旋转 $90°$。

下一步

既然数对描述了平面和平面的旋转，那么会不会有三元数 $(a, b, c)$，即 $a + bi + cj$，在三维空间中做同样的事？哈密顿想要一种满足模的定律的三元数乘法：乘积的大小应当等于大小的乘积。这个问题困扰了他十多年，而出人意料的答案在四元数里。

练习：数对相乘

计算 $(1, 2)\cdot(3, 4)$，并验证模的定律。

$(1 \cdot 3 - 2 \cdot 4,\; 1 \cdot 4 + 2 \cdot 3) = (-5, 10)$。两个模的平方是 $1 + 4 = 5$ 和 $9 + 16 = 25$，乘积的模的平方是 $25 + 100 = 125 = 5 \cdot 25$。模的定律成立。

练习：用 i 旋转

证明把数对 $(a, b)$ 乘以 $i = (0, 1)$，得到的是按逆时针方向旋转 $90°$ 的数对。

$(a, b)\cdot(0, 1) = (a \cdot 0 - b \cdot 1,\; a \cdot 1 + b \cdot 0) = (-b, a)$。点 $(a, b)$ 变到 $(-b, a)$，长度相同，与原来垂直，向前转了四分之一圈。例如 $(1, 0)$ 变到 $(0, 1)$，后者又变到 $(-1, 0)$。

来源： William Rowan Hamilton, “Theory of Conjugate Functions, or Algebraic Couples; with a Preliminary and Elementary Essay on Algebra as the Science of Pure Time”, Transactions of the Royal Irish Academy（1837）· Thomas L. Hankins, Sir William Rowan Hamilton（1980）· Paul J. Nahin, An Imaginary Tale（1998）。

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