十九世纪初，光学是一堆个案的集合：平面镜、曲面镜、透镜、棱镜，各有各的公式。还是学生的哈密顿问自己：它们背后难道没有一个统一的想法吗？结果就是《光线系统理论》，1827 年在皇家爱尔兰学院宣读，此后几年又不断扩充。

一个函数统辖所有光线

出发点是费马的一个原理：光从一点到另一点走的是用时最少的路径，更准确地说，是用时取驻定值的路径。哈密顿把这个时间看作端点的函数。对两点 $A$ 和 $B$，令 $V(A, B)$ 为它们之间光路的“光程”：在每种介质中走过的距离乘以该介质的折射率。他把 $V$ 称为特征函数。

令人惊讶的是，这一个函数包含了一切。$V$ 对 $B$ 的坐标求导，给出到达 $B$ 的光线方向；对 $A$ 的坐标求导，给出离开 $A$ 的光线方向。知道了 $V$，就知道了整个系统。

例如，在折射率为 $n$ 的均匀介质中，光沿直线传播，

$$V(A, B) = n\,\lvert AB \rvert = n\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.$$

对 $x_B$ 和 $y_B$ 求导，

$$\frac{\partial V}{\partial x_B} = n\,\frac{x_B - x_A}{\lvert AB \rvert}, \qquad \frac{\partial V}{\partial y_B} = n\,\frac{y_B - y_A}{\lvert AB \rvert},$$

这就是光线方向上的单位向量乘以 $n$。特征函数的梯度指向光的方向。

从时间得出斯涅尔定律

一条光线从空气中的 $A$ 出发，到达水中的 $B$，在距离为 $x$ 的一点穿过水面。所用时间正比于

$$V(x) = n_1\sqrt{a^2 + x^2} + n_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2},$$

其中 $a$ 和 $b$ 分别是 $A$ 和 $B$ 到水面的距离，$d$ 是它们之间的水平距离。真实路径满足 $V'(x) = 0$：

$$n_1\,\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} = n_2\,\frac{d - x}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}} \quad\Longleftrightarrow\quad n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2,$$

这就是斯涅尔定律，从一个导数里得了出来。

预言

1832 年，哈密顿把这一理论用于双轴晶体，比如文石。在这类晶体中，光速以一种复杂的方式依赖于方向，奥古斯丁·菲涅耳描述过这种依赖关系。哈密顿研究菲涅耳的波面时发现，它有一些漏斗形的奇点。如果一条光线恰好沿着这些特殊方向之一射入晶体，它出来时既不是一条光线，也不是两条，而是一个光的圆锥，会在屏幕上投出一个光环。

谁也没见过这种现象。哈密顿请三一学院的同事汉弗莱·劳埃德去寻找这一效应。劳埃德用一块文石晶体工作了大约两个月，看到了光环。这是数学最早在任何观察之前就预言一种全新物理现象的例子之一，27 岁的哈密顿因此闻名全欧洲。

1912 年一本光学书中的内锥形折射图。光线 $SO$ 沿哈密顿预言的特殊方向射入双轴晶体板 $AB$，在晶体内张开成圆锥 $OMN$，出来后成为一个空心圆柱，在屏幕 $EF$ 上画出一个光环。
1912 年一本光学书中的内锥形折射图。光线 $SO$ 沿哈密顿预言的特殊方向射入双轴晶体板 $AB$，在晶体内张开成圆锥 $OMN$，出来后成为一个空心圆柱，在屏幕 $EF$ 上画出一个光环。Thomas Preston 与 William Edward Thrift, The Theory of Light（1912）· Wikimedia Commons · 公有领域
练习：梯度指向光线

在折射率 $n = 1.5$ 的玻璃中，光从 $A = (0, 0)$ 到 $B = (3, 4)$。计算 $\frac{\partial V}{\partial x_B}$ 和 $\frac{\partial V}{\partial y_B}$，并验证这个向量的长度为 $n$。

$\lvert AB \rvert = 5$，所以 $\frac{\partial V}{\partial x_B} = 1.5 \cdot \frac35 = 0.9$，$\frac{\partial V}{\partial y_B} = 1.5 \cdot \frac45 = 1.2$。长度为 $\sqrt{0.81 + 1.44} = \sqrt{2.25} = 1.5 = n$，方向就是从 $A$ 到 $B$ 的直线方向。

练习：光射入水中

一条光线从空气（$n_1 = 1$）射入水中（$n_2 = 1.33$），入射角为 $30°$。折射角是多少？

$\sin\theta_2 = \frac{1 \cdot \sin 30°}{1.33} = \frac{0.5}{1.33} \approx 0.376$，所以 $\theta_2 \approx 22.1°$。光线进入光速较慢的介质时，向竖直方向偏折。

来源： William Rowan Hamilton, “Theory of Systems of Rays”, Transactions of the Royal Irish Academy（1828）及 “Third Supplement”（1837）· Humphrey Lloyd, “On the phenomena presented by light in its passage along the axes of biaxal crystals”, Transactions of the Royal Irish Academy（1837）· Michael Berry, “Conical diffraction: Hamilton’s diabolical point at the heart of crystal optics”, Progress in Optics（2007）。

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