数学史 | Euler's Eyes

为什么彩虹出现在42°

在流星中，笛卡尔使用折射定律解释了彩虹，他发表在屈光度。当光从空气传播到水中时，它会弯曲 $$\sin i = n \cdot \sin r,$$ 其中 $i$ 是进入角，$r$ 是进入水中的角度，$n \approx \frac{4}{3}$ 是入水角。（荷兰人 Willebrord Snell 以前也发现过同样的定律，但没有发表。这就是为什么它被称为斯涅尔-笛卡尔定律。）流星 (1637) 的原始图：太阳光线进入水滴并到达观察者的眼睛，左下角。勒内·笛卡尔·公共领域笛卡尔想象一束阳光进入球形水滴，在内部反射并射出。光线沿着这些角度离开，形成一个角度 $$\theta = 4r - 2i.$$ 他手动计算了光线进入液滴各个位置的角度。重做账户与 $n = \frac{4}{3}$：进入角度 $i$ $r$ 退出角度 $\theta = 4r - 2i$ 10° 7,5° 9,9° 20° 14,9° 19,5° 30° 22,0° 28,1° 40° 28,8° 35,3° 50° 35,1° 40,3° 55° 37,9° 41,6° 60° 40,5° 42,0° 65° 42,8° 41,3° 70° 44,8° 39,2° 80° 47,6° 30,5° 请注意右侧的柱子：它上升，达到大约 42° 的最大值，然后再次下降。附近的最大时，在非常不同的位置（从 50° 到 70°）进入的光线以几乎相同的角度退出。光线在那里聚集，因此我们在太阳对面的点 42° 处看到一条明亮的弧线。

September 30, 2026 阅读

柯尼斯堡大桥和图表的诞生

柯尼斯堡 (Königsberg)，位于 1652，拥有普雷格尔河 (Pregel) 及其岛屿。你可以数一下桥梁的数量。梅里安-埃尔本·公共领域普雷格尔河穿过柯尼斯堡市（今俄罗斯加里宁格勒），形成两条河流岛屿。七座桥梁连接城市的四个区域。居民们好奇这是否可行每座桥步行一次。在阅读答案之前，请自己尝试一下：选择从哪里开始，然后单击桥梁来跨越它们。你能通过7吗？ Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 欧拉意识到街道的形状、岛屿的大小和桥梁的长度并不重要。重要的是哪些区域链接到哪些区域。他用点画取代了地图（区域）和线路（桥梁）。今天，这被称为图表：欧拉论文（1736）的原始图：区域为 A、B、C 和 D，桥为 a、b、c、d、e、f 和 g。莱昂哈德·欧拉·公共领域今天我们画同样的问题是这样的：柯尼斯堡图。红色数字表示到达每个区域的桥梁数量。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 现在扣分。在游览中，每次经过一个区域（没有开始或结束它），使用一座桥进入，另一座桥退出。然后来自中间区域的桥梁到来总是成对：到达它的桥的数量必须偶数。仅起始区域和到达阶段可能有奇数个桥梁。结论：只有在至多两个区域拥有奇数座桥梁的情况下，游览才有可能。在柯尼斯堡计数：地区桥梁偶数还是奇数？克奈夫岛 5 (a, b, c, d, e) 奇怪的北岸 3 (a, b, f) 奇怪的南岸 3 (c, d, g) 奇怪的洛姆塞岛 3 (e, f, g) 奇怪的有四个个奇怪的区域，所以游览是不可能的。欧拉在 1735 中提出了这个论点，它被认为是图论的第一个结果，这个领域今天已经落后了 GPS、社交网络和送货路线。

September 29, 2026 阅读

复平面上的积分

十八世纪末，欧拉和拉普拉斯用一个大胆的技巧计算困难的实积分：把实变量换成复变量，算完之后再回到实数。拉普拉斯称之为“从实到虚的过渡”。结果都对得上，但没有人能说清楚这个技巧何时合法。正是为了回答这个问题，25 岁的柯西在 1814 年向科学院提交了一篇关于定积分的论文。这篇论文直到 1827 年才发表，而它只是一个开端。在平面上可导的函数复变函数 $f(z)$，其中 $z = x + iy$，可以写成 $f = u + iv$，$u$ 和 $v$ 是 $x$、$y$ 的实函数。要使 $f$ 在复数意义下可导，$u$ 和 $v$ 必须满足柯西–黎曼方程： $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.$$这组方程在达朗贝尔和欧拉那里已经出现过；柯西把它们放到了理论的中心，三十年后黎曼又以它们为出发点。对 $f(z) = z^2 = (x^2 - y^2) + i\,(2xy)$：$u_x = 2x = v_y$，$u_y = -2y = -v_x$。积分定理 1825 年，柯西发表了《论虚数限之间的定积分》。在平面上从点 $z_0$ 积分到点 $z_1$，必须选一条连接两点的路径。核心定理说：路径无关紧要，只要把一条路径变形为另一条时所扫过的区域内，函数始终有限且连续。换一种说法：沿任何不绕过麻烦点的闭合曲线，积分都为零， $$\oint f(z)\,dz = 0.$$最重要的例子恰恰是定理不适用的情形。沿半径为 1 的圆按逆时针方向对 $\frac{1}{z}$ 积分。令 $z = e^{it}$，则 $dz = i e^{it}\,dt$，于是

October 31, 2026 阅读

黎曼猜想

在 1859 年那篇关于素数的论文中间，黎曼几乎是顺带写了一句话。谈到一个与 zeta 函数相关的函数时（它的实根对应于 zeta 函数在临界线上的零点），他说：所有的根很可能都是实的。当然，人们希望对此有一个严格的证明；不过，在几次匆匆的徒劳尝试之后，我暂时把寻找证明的事放在了一边，因为对于我研究的下一个目标来说，它似乎并不必要。 — 伯恩哈德·黎曼，《论小于给定数值的素数个数》（1859）用现代语言来说，这句话就是黎曼猜想： zeta 函数的所有非平凡零点的实部都等于 $\frac{1}{2}$。临界线 zeta 函数的平凡零点在负偶数处。其余的零点都位于 $0 < \sigma < 1$ 的带状区域内，并且由函数方程，它们关于直线 $\sigma = \frac{1}{2}$（即临界线）对称地出现。黎曼猜想说，它们全都恰好落在这条直线上。在临界线上，$\zeta\left(\frac{1}{2} + it\right)$ 乘上一个模为 1 的因子后，就变成一个实函数 $Z(t)$，它在每个零点处变号。下图画出了 $t = 10$ 到 $t = 60$ 之间的 $Z(t)$：请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。最初的几个零点位于 $t \approx 14.135$、$21.022$、$25.011$、$30.425$、$32.935$……它们没有简单的规律，但越来越密：高度 $T$ 以下大约有 $\frac{T}{2\pi}\ln\frac{T}{2\pi e}$ 个零点。黎曼的秘密计算黎曼没有发表任何零点的计算。因此，几十年里人们以为“很可能”只是一句猜测。1932 年，卡尔·路德维希·西格尔查阅黎曼留在哥廷根的笔记，发现其中有一个计算临界线上 $\zeta$ 值的精巧渐近公式，黎曼曾用它找到了最初的几个零点。这个公式如今称为黎曼–西格尔公式，上面的图用的就是它，它至今仍是现代计算的基础。已知的结果 1914 年，哈代证明临界线上有无穷多个零点。 1942 年，阿特勒·塞尔伯格证明其中正比例的零点在临界线上；1989 年，布赖恩·康里证明超过 40% 的零点在临界线上。计算机已经验证了超过十万亿个零点：全都在临界线上。这些都不是证明。素数理论中涉及的数如此巨大，一个反例可能远在任何计算所及的范围之外。

October 31, 2026 阅读

中心极限定理

掷一颗骰子：每个面的机会相同，概率图是平的。掷两颗并相加：和为 7 最可能，图变成三角形。掷十颗、三十颗、一百颗：和的图形逐渐变成一口钟的形状。如果把骰子换成硬币、轮盘或测量误差，也是一样。这个令人惊讶的事实就是中心极限定理。棣莫弗与拉普拉斯 1733 年，亚伯拉罕·棣莫弗对硬币证明了这一现象：多次抛掷中正面的次数，其分布接近曲线 $e^{-x^2}$。拉普拉斯在 1810 年的一篇论文中把结果推广到任意偶然量之和，只要它们相互独立，且没有哪一个压倒其他。用现代语言说：设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是独立的偶然量，分布相同，均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$。和 $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ 的均值为 $n\mu$，标准差为 $\sigma\sqrt{n}$，而 $$\frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}$$在 $n$ 很大时，其分布越来越接近标准正态分布，密度为 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$。骰子对一颗骰子，$\mu = 3.5$，且 $$\sigma^2 = \frac{1^2 + 2^2 + \cdots + 6^2}{6} - 3.5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}.$$$n$ 颗骰子之和的均值为 $3.5\,n$，标准差为 $\sqrt{\frac{35n}{12}}$。下图把和的精确分布与均值、标准差相同的正态曲线作比较。拖动滑块，可以看到只用几颗骰子，两者就几乎重合：请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。用 100 颗骰子时，均值为 350，标准差为 $\sqrt{\frac{3500}{12}} \approx 17.1$。和落在 330 到 370 之间——两侧各约 1.2 个标准差——的概率大约是 76%。没有人需要去数那 $6^{100}$ 种可能的组合。

October 30, 2026 阅读

阿基米德螺线

在同样献给多西修斯的《论螺线》中，阿基米德研究了一种由运动定义的新曲线。如果平面上一条直线绕它的一个固定端点匀速旋转，并回到出发的位置，同时有一点从固定端点出发沿这条直线匀速运动，那么这个点就在平面上描出一条螺线。 — 阿基米德，《论螺线》，定义方程在极坐标中，点到中心的距离 $r$ 与直线转过的角 $\theta$ 成同样比例增长： $$r = a\,\theta.$$每转一整圈，半径增加同样的量 $2\pi a$，所以相邻各圈间距相等，就像黑胶唱片的纹路，或者盘在地上的水管。圆的三分之一阿基米德计算了半径在第一圈中扫过的面积。方法仍是穷竭法：把一圈分成许多窄的扇形，一些在曲线内，一些在曲线外，再把它们加起来。用现代记号，角为 $d\theta$、半径为 $r$ 的扇形面积为 $\frac{1}{2}r^2\,d\theta$，于是 $$A = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}(a\theta)^2\,d\theta = \frac{a^2}{2}\cdot\frac{(2\pi)^3}{3} = \frac{4}{3}\pi^3 a^2.$$以第一圈末端的半径 $R = 2\pi a$ 为半径的圆，面积为 $\pi R^2 = 4\pi^3 a^2$。螺线的面积恰好是它的三分之一： $$\frac{A}{\pi R^2} = \frac{\frac{4}{3}\pi^3 a^2}{4\pi^3 a^2} = \frac{1}{3}.$$为了得到这个结果，阿基米德需要一个关于平方和 $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2$ 的公式，它相当于说这个和介于 $\frac{n^3}{3}$ 与 $\frac{(n+1)^3}{3}$ 之间。在微积分中，正是这个和给出了 $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}$。请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。

October 29, 2026 阅读

大学里的女性：1727 年的演讲与博洛尼亚的教席

Oratio qua ostenditur artium liberalium studia a femineo sexu neutiquam abhorrere. — 阿涅西演讲的标题，1727 年这句拉丁文的意思是：“论学习自由七艺对女性而言绝非不相宜”。1727 年，阿涅西在父亲的客人面前背诵这篇演讲时只有九岁。讲稿由她的一位老师用意大利语写成，她把它译成拉丁语并背了下来。自由七艺 “自由七艺”是中世纪以来构成高等教育基础的学科：一边是文法、修辞和逻辑，另一边是算术、几何、天文和音乐。这些是大学里的学科，而大学是男人的地方。1727 年的这篇演讲主张，女性的天性中没有任何东西妨碍她们学习这些学科，并列举了古代和近代的博学女性。少数例外在 18 世纪的意大利，有几位女性成功地冲破了封锁。1678 年，埃莱娜·科尔纳罗·皮斯科皮亚在帕多瓦获得哲学博士学位，这是第一个授予女性的博士学位。1732 年，博洛尼亚大学授予二十岁的劳拉·巴斯博士学位，随后又给了她一个自然哲学教席；她后来成为在意大利传播牛顿物理学的重要人物之一。在意大利以外，法国的埃米莉·杜·夏特莱在 1740 年出版了《物理学讲义》（Institutions de physique）。这个书名和阿涅西的 Instituzioni 很像，这并非偶然：两本书都想成为教科书。她在生命的最后几年把牛顿的《原理》译成法语，这个译本至今仍在使用。 1750 年博洛尼亚大学记录玛丽亚·加埃塔纳·阿涅西获得任命的文书，任命出自教皇本笃十四世的提议。博洛尼亚大学 · Wikimedia Commons · 公有领域教皇与教席博洛尼亚有一个强大的盟友。这座城市的大主教普罗斯佩罗·兰贝尔蒂尼于 1740 年当选教皇，称本笃十四世，此后继续保护这所大学及其科学研究院。正是他支持了劳拉·巴斯，并在 1750 年读过《分析讲义》之后，任命阿涅西为数学教授。阿涅西表示感谢，接受了这个头衔，但从未离开米兰去授课。这一任命作为一种荣誉，在大学的记录中保留了大约 45 年。在许多历史学家看来，这段插曲同时显示了认可及其局限：一位女性可以获得教席的荣誉，但没有人真的指望她站在坐满年轻男子的教室里。不能接纳她的科学院同一时期，巴黎和伦敦的科学院都不接纳女性为成员。与科学研究院相连的博洛尼亚科学院则已接纳了劳拉·巴斯，也接纳了阿涅西：她在《分析讲义》扉页上的署名就是该院院士。第一位当选巴黎科学院院士的女性是伊冯娜·肖凯-布吕阿，时间是 1979 年，已经是两百多年以后了。练习：罗马数字的年份《分析讲义》的扉页上印着 MDCCXLVIII。这是哪一年？阿涅西去世的 1799 年又该怎样写？ M = 1000，D = 500，CC = 200，XL = 40（50 前面放 10），VIII = 8。合计：$1000 + 500 + 200 + 40 + 8 = 1748$。1799 年：M（1000）+ DCC（700）+ XC（90）+ IX（9）= MDCCXCIX。

October 29, 2026 阅读

凯莱–哈密顿定理

每个四元数 $q = a + v$（标量部分为 $a$，向量部分为 $v$）都满足一个实系数的二次方程。由于 $v^2 = -\lvert v \rvert^2$（见向量）， $$q^2 = a^2 + 2av + v^2 = a^2 - \lvert v \rvert^2 + 2av,$$由此 $$q^2 - 2a\,q + \lvert q \rvert^2 = 0, \qquad \lvert q \rvert^2 = a^2 + \lvert v \rvert^2.$$一个四元数是一个二次实系数多项式的根，正如复数 $z$ 是 $z^2 - 2\operatorname{Re}(z)\,z + \lvert z \rvert^2 = 0$ 的根。在 1853 年的《四元数讲义》中，哈密顿更进一步，证明了四元数的某些线性函数也满足它们自己的一个多项式方程，并用它来计算这些函数的逆。对于矩阵五年后的 1858 年，阿瑟·凯莱发表了奠定矩阵代数的《矩阵理论论文》，并在其中一般地陈述了这个结果：每个方阵 $A$ 都使它的特征多项式 $p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ 等于零。凯莱验证了 $2 \times 2$ 的情形，说他核对过 $3 \times 3$ 的情形，却没有费心去证明一般情形。第一个完整的证明出自费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯，1878 年。这个定理以凯莱和哈密顿的名字命名。

October 27, 2026 阅读

变公平的不公平硬币

假设你有一枚不均匀的硬币。它以某个你不知道的概率 $p$ 正面朝上，也许是 $0.7$，也许是 $0.55$。能用它来做一次完全公平、各占一半的抽签吗？在谈到制造随机数的人的“罪孽状态”的那篇 1951 年的论文里，冯·诺依曼给出了一个简短而出人意料的回答。窍门把硬币抛两次：如果是正、反，就算“正面”；如果是反、正，就算“反面”；如果是正、正或反、反，就作废，再抛两次。为什么是公平的？两次抛掷相互独立，所以 $$P(\text{正、反}) = p\,(1-p), \qquad P(\text{反、正}) = (1-p)\,p.$$无论 $p$ 是多少，它们都是同一个数。相同的结果被丢掉了，在剩下的结果中，正面和反面的机会完全相等。不需要知道硬币偏得多厉害，只需要各次抛掷互不影响。代价代价是要丢掉一些对。一对可用的概率是 $2p(1-p)$。对于公平的硬币 $p = \frac12$，一对可用的概率是 $\frac12$：平均每个结果需要 $2$ 对，也就是 $4$ 次抛掷。对于偏得很厉害的硬币，代价急剧上升：如果 $p = 0.9$，一对可用的概率只有 $2 \times 0.9 \times 0.1 = 0.18$，平均每个结果需要大约 $11$ 次抛掷。冯·诺依曼的方法是随机性提取器的鼻祖。随机性提取器把不完美的随机来源，比如电路的电噪声或鼠标的移动，变成密码学所要求的均匀比特。硬币从来都不完全公平 2007 年，数学家佩尔西·戴康尼斯、苏珊·霍姆斯和理查德·蒙哥马利证明，用拇指以通常方式抛出的硬币，落地时与起始时同一面朝上的概率略高于一半，约为 51%。2023 年，一项超过 35 万次抛掷的实验证实了这一效应。只要每一对中的两次抛掷相互独立，冯·诺依曼的窍门就能消除这种偏差。练习：70% 的硬币取 $p = 0.7$，计算每种对出现的概率，以及每个结果平均需要的抛掷次数。 $P(\text{正、正}) = 0.49$，$P(\text{反、反}) = 0.09$，$P(\text{正、反}) = P(\text{反、正}) = 0.21$。一对可用的概率是 $0.42$。到第一个可用的对为止所需对数的平均值是 $\frac{1}{0.42} \approx 2.4$，即每个结果大约 $4.8$ 次抛掷。

October 27, 2026 阅读

模仿游戏：机器能思考吗？

我提议考虑这样一个问题：“机器能思考吗？” — 艾伦·图灵，《计算机器与智能》（1950）图灵 1950 年发表在哲学期刊《心灵》上的论文就这样开头。紧接着的下一句，他就放弃了这个问题。要回答它，就得定义“机器”和“思考”，而任何定义都会变成没完没了的文字之争。图灵提议把它换成另一个问题，后者的好处是可以检验。游戏规则原来的游戏有三个参与者：一个男人、一个女人和一个提问者，分处不同的房间。提问者只能通过书面消息与另外两人交流，必须判断出谁是男人、谁是女人。男人设法骗他，女人设法帮他。现在把男人换成一台机器。问题变成：当参与者之一是机器时，提问者出错的频率是否一样？如果机器对答得如此之好，以至于提问者无法把它和人区分开，图灵提议我们就把它是否“真的”在思考这一争论放到一边。这就是模仿游戏，今天称为图灵测试。文中甚至给出了一段对话示例。问到“34957 加 70764 等于多少”，机器停了大约 30 秒，回答“105621”。正确答案是 105721。在论文后面，图灵解释说，一台善于玩这个游戏的机器会时不时故意算错，好显得像人。预言图灵并没有说当时的机器能通过测试。他用数字做了一个预言：我相信，大约五十年后，将可以给存储容量约为 10⁹ 的计算机编程，让它们把模仿游戏玩得如此之好，以至于一个普通的提问者在五分钟的提问之后，作出正确识别的机会不超过 70%。 — 艾伦·图灵，《计算机器与智能》（1950）这里的“$10^9$”指二进制位（比特）的容量。用今天的话说，$10^9$ 比特是 $\frac{10^9}{8}=1.25\times10^8$ 字节，大约 125 兆字节：比任何手机的内存都小。图灵在内存上估计得很准，在时间上则偏保守：令人信服的人机对话直到二十一世纪二十年代才随着大语言模型出现，而它们使用的内存是他设想的几千倍。反驳论文有一半篇幅在回应反驳。举几个例子： **神学的反驳：**思考是不朽灵魂的功能，上帝把灵魂赐给了人而没有赐给机器。图灵回答说，如果上帝愿意，也可以赐给机器一个灵魂。数学的反驳：图灵定理和哥德尔定理表明，有些问题没有机器能回答。图灵同意，但指出没有任何迹象表明人类就没有类似的局限。洛芙莱斯夫人的反驳：1843 年，阿达·洛芙莱斯写道，巴贝奇的分析机“丝毫不能自行创造什么；它只能做我们知道如何命令它去做的事”。图灵回答说，机器常常让他吃惊，而一台能够学习的机器会做出程序员没有预见的事。最后这个回答最有先见之明。在论文结尾，图灵建议，与其给一个成人的大脑编程，不如给一台“儿童机器”编程，再用奖励和惩罚去教育它。寥寥几行，就是机器学习的思想。证明你不是机器人 CAPTCHA——网站上那个显示扭曲字母或红绿灯照片的小方框——是反过来的图灵测试。这个名字是英文“用于区分计算机和人类的全自动公开图灵测试”的缩写。出题的是机器，需要证明自己是人的是你。练习：10⁹ 比特有多少？如果每页 2000 个字符，每个字符占 8 比特，$10^9$ 比特能装下多少本 500 页的书？一本书是 $500\cdot2000\cdot8=8\times10^6$ 比特。$10^9$ 比特能装 $\frac{10^9}{8\times10^6}=125$ 本书。图灵认为，一座小图书馆的内存就足以像人一样交谈。练习：70% 是什么意思？如果提问者在两个参与者之间随便猜，猜对的概率是多少？“不超过 70%”是什么意思？随便猜，有 50% 的机会猜对。“不超过 70%”的意思是：五分钟后，普通的提问者至少在 30% 的游戏中出错——机器骗过了很多人，虽然不是所有人。来源： Alan Turing, “Computing Machinery and Intelligence”, Mind, 59（1950），第 433–460 页 · Ada Lovelace，为梅纳布雷亚关于分析机文章的译文所作的注释（1843）· The Turing Test, Stanford Encyclopedia of Philosophy。

October 18, 2026 阅读

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历史图片和照片全部来自维基共享资源（Wikimedia Commons）。我们使用共享资源提供的缩略图，未作编辑。约翰·纳皮尔肖像，佚名画家，1616 年，苏格兰国家美术馆：来源页面 · 公有领域。《奇妙的对数表的描述》扉页，1614 年：来源页面 · 公有领域。 1614 年对数表中的一页：来源页面 · 公有领域。布里格斯《对数算术》扉页，1624 年，Phidus 摄：来源页面 · CC BY-SA 4.0。惠普尔博物馆的纳皮尔算筹，Marsupium 摄：来源页面 · 公有领域。默奇斯顿塔楼，Kim Traynor 摄：来源页面 · CC BY-SA 3.0。计算尺，Jacek Halicki 摄：来源页面 · CC BY-SA 4.0。博客绘图地图、行程路线图和交互图形（两个数列、两个点、布里格斯的刻度、算筹和计算尺）均为原创，适用于网站的所有语言。地图使用 OpenStreetMap 数据。记录文件 data/napier_imagens.json 记录了每张下载图片的出处、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。地图上的各站在 data/viagens/napier.yaml 中。各主题的历史资料列在每篇文章的末尾。约翰·纳皮尔的全部主题 · ← 约翰·纳皮尔的遗产

October 17, 2026 阅读

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October 16, 2026 阅读