弹性固体中的应力
柯西从来没有停止当一名工程师。1822 年，克洛德-路易·纳维向科学院提出了一个基于分子间作用力的弹性固体理论，而奥古斯丁·菲涅耳正在把光解释为一种弹性介质，即以太的横向振动。柯西是两人在科学院的同事，密切关注着这些工作。1822 年 9 月 30 日，他向科学院宣布了一个全新的理论，它不需要分子。
想象的截面 想想一根受载的梁、一座桥或一根柱子。在内部选一个点，想象一个穿过它的小平面截面，其法向为 $\mathbf{n}$。截面一侧的材料拉着或推着另一侧的材料。这个截面上单位面积所受的力是一个向量 $\mathbf{t}$，柯西称之为“压力”，今天称为应力矢量。
这个矢量不一定垂直于截面。垂直的部分是正应力，起压缩或拉伸作用；平行的部分是剪应力，倾向于让两个面彼此滑动。而当截面绕同一点转动时，$\mathbf{t}$ 也随之改变。
柯西定理 柯西的发现是：这种依赖关系是最简单的一种，即线性的。存在一个数的阵列 $\sigma$，使得对任意方向 $\mathbf{n}$，
$$\mathbf{t} = \sigma\,\mathbf{n}, \qquad \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{pmatrix}.$$由于阵列是对称的，只要六个数，就能知道穿过该点的所有可能截面上的力。这就是柯西的应力张量。
论证用的是四面体。切出一个极小的四面体，三个面平行于坐标平面，第四个面垂直于 $\mathbf{n}$。各面上的力与面积成正比，面积按尺寸的平方缩小；重力和惯性力与体积成正比，体积按尺寸的立方缩小。对于非常小的四面体，只有面上的力起作用，而且它们必须平衡。由于每个坐标面的面积等于斜面的面积乘以 $\mathbf{n}$ 的一个分量，平衡条件恰好给出 $\mathbf{t} = \sigma\mathbf{n}$。
一个平面的例子 在平面上，阵列只有三个数。取（单位为兆帕）
$$\sigma = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$对竖直截面，$\mathbf{n} = (1, 0)$，$\mathbf{t} = (3, 1)$：正应力 3（拉伸），剪应力 1。对水平截面，$\mathbf{n} = (0, 1)$，$\mathbf{t} = (1, 1)$：正应力 1，剪应力 1。在图中转动截面，观察两个分量的变化：
