行列式与置换
1812 年 11 月 30 日，来自瑟堡的年轻工程师在法兰西学会宣读了一篇标题很长的论文：论那些在变量互换时只能取两个大小相等、符号相反的值的函数。标题背后，是第一套一般的行列式理论。
会变号的函数 取三个变量 $a_1, a_2, a_3$，以及它们之差的乘积
$$\Delta = (a_2 - a_1)(a_3 - a_1)(a_3 - a_2).$$如果交换 $a_1$ 和 $a_2$，每个因子要么不变，要么变号，总的结果是 $\Delta$ 变成 $-\Delta$。交换任何两个变量都是如此。变量的置换是一连串交换，它把 $\Delta$ 乘以 $+1$ 或 $-1$：置换分为偶置换和奇置换。
柯西用这个观察整理了莱布尼茨、克拉默、范德蒙德和拉普拉斯在解线性方程组时得到的各种表达式。他把 $n^2$ 个系数排成一个方阵，用两个下标记为 $a_{i,j}$，并把行列式定义为所有这样的乘积之和：每个乘积从每一行、每一列各取一个元素，并带上相应置换的符号：
$$\det\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2}\end{pmatrix} = a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}.$$“行列式”（déterminant）这个词来自高斯，他曾把它用于二次型；是柯西把它固定为今天的含义。
乘积 这篇论文的主要结果是乘积定理：如果 $C$ 是 $A$ 与 $B$ 按行乘列得到的方阵，那么
$$\det C = \det A \cdot \det B.$$雅克·比内在同一年也提出了这个定理，适用于长方阵列的一般形式今天称为柯西–比内公式。用数字验证一下。设
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix},$$则 $\det A = 6 - 1 = 5$，$\det B = 1 - 8 = -7$。乘积是
