柯西从来没有停止当一名工程师。1822 年，克洛德-路易·纳维向科学院提出了一个基于分子间作用力的弹性固体理论，而奥古斯丁·菲涅耳正在把光解释为一种弹性介质，即以太的横向振动。柯西是两人在科学院的同事，密切关注着这些工作。1822 年 9 月 30 日，他向科学院宣布了一个全新的理论，它不需要分子。

想象的截面

想想一根受载的梁、一座桥或一根柱子。在内部选一个点，想象一个穿过它的小平面截面，其法向为 $\mathbf{n}$。截面一侧的材料拉着或推着另一侧的材料。这个截面上单位面积所受的力是一个向量 $\mathbf{t}$，柯西称之为“压力”，今天称为应力矢量。

这个矢量不一定垂直于截面。垂直的部分是正应力，起压缩或拉伸作用；平行的部分是剪应力，倾向于让两个面彼此滑动。而当截面绕同一点转动时，$\mathbf{t}$ 也随之改变。

柯西定理

柯西的发现是：这种依赖关系是最简单的一种，即线性的。存在一个数的阵列 $\sigma$，使得对任意方向 $\mathbf{n}$，

$$\mathbf{t} = \sigma\,\mathbf{n}, \qquad \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{pmatrix}.$$

由于阵列是对称的，只要六个数，就能知道穿过该点的所有可能截面上的力。这就是柯西的应力张量。

论证用的是四面体。切出一个极小的四面体，三个面平行于坐标平面，第四个面垂直于 $\mathbf{n}$。各面上的力与面积成正比，面积按尺寸的平方缩小；重力和惯性力与体积成正比，体积按尺寸的立方缩小。对于非常小的四面体，只有面上的力起作用，而且它们必须平衡。由于每个坐标面的面积等于斜面的面积乘以 $\mathbf{n}$ 的一个分量，平衡条件恰好给出 $\mathbf{t} = \sigma\mathbf{n}$。

一个平面的例子

在平面上，阵列只有三个数。取（单位为兆帕）

$$\sigma = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

对竖直截面，$\mathbf{n} = (1, 0)$，$\mathbf{t} = (3, 1)$：正应力 3（拉伸），剪应力 1。对水平截面，$\mathbf{n} = (0, 1)$，$\mathbf{t} = (1, 1)$：正应力 1，剪应力 1。在图中转动截面，观察两个分量的变化：

主方向

柯西还证明，在每一点都存在三个互相垂直的方向，即主方向，在这些方向上应力矢量垂直于截面：只有拉伸或压缩，完全没有剪切。对应的值，即主应力，是该点可能出现的最大和最小正应力。工程师拿来与材料强度比较的正是它们。用今天的语言说，它们就是张量 $\sigma$ 的特征值和特征向量，而柯西正是在同一时期研究二次曲面时发展了这些概念。

练习：主应力

求 $\sigma = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 的主应力和主方向。

我们要找满足 $\sigma \mathbf{n} = \lambda \mathbf{n}$ 的 $\mathbf{n}$。这要求 $\det(\sigma - \lambda I) = 0$：$(3 - \lambda)(1 - \lambda) - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 2 = 0$，所以 $\lambda = 2 \pm \sqrt{2}$，即 $3.414$ 和 $0.586$。对 $\lambda = 2 + \sqrt{2}$，第一行给出 $(1 - \sqrt{2})\,n_x + n_y = 0$，即 $n_y = (\sqrt{2} - 1)\,n_x$，而 $\sqrt{2} - 1 = \tan 22.5°$。主方向与 $x$ 轴的夹角为 $22.5°$ 和 $112.5°$。

练习：棱镜

对一种普通玻璃，$A \approx 1.5046$，$B \approx 4\,200\ \text{nm}^2$。计算紫光（$\lambda = 400$ nm）和红光（$\lambda = 700$ nm）的折射率。

紫光：$n = 1.5046 + \frac{4\,200}{160\,000} = 1.5046 + 0.0263 = 1.5309$。红光：$n = 1.5046 + \frac{4\,200}{490\,000} = 1.5046 + 0.0086 = 1.5132$。差别很小，但正是它让光线射出棱镜时展开成彩虹。

来源： Augustin-Louis Cauchy，“Recherches sur l’équilibre et le mouvement intérieur des corps solides ou fluides, élastiques ou non élastiques”，Bulletin de la Société philomatique（1823） · Augustin-Louis Cauchy，“De la pression ou tension dans un corps solide”，Exercices de mathématiques 2（1827） · Augustin-Louis Cauchy，Mémoire sur la dispersion de la lumière（1836） · Isaac Todhunter、Karl Pearson，A History of the Theory of Elasticity 第 1 卷（1886） · Clifford Truesdell，Essays in the History of Mechanics（1968）。

柯西的全部主题 · ← 复平面上的积分 · 柯西的遗产 →

图片来源.