希腊人早就用小石子摆图形。用 1、3、6、10 颗石子可以摆成三角形；用 1、4、9、16 颗，摆成正方形；用 1、5、12、22 颗，摆成五边形。这些就是多边形数。

公式

$k$ 边形数的第 $n$ 个，是把一个从 1 开始、公差为 $k - 2$ 的等差数列加起来得到的：

$$P_k(n) = 1 + (k-1) + (2k-3) + \cdots = \frac{n\,\big((k-2)n - (k-4)\big)}{2}.$$

$k = 3$ 时得到三角形数 $\frac{n(n+1)}{2}$：1, 3, 6, 10, 15, …；$k = 4$ 时是平方数 $n^2$；$k = 5$ 时是五边形数 $\frac{n(3n-1)}{2}$：1, 5, 12, 22, 35, … 我们也把零算进去，$P_k(0) = 0$。

费马的断言

1638 年，皮埃尔·德·费马在给梅森的信中，后来又在他那本丢番图著作的页边批注里，声称发现了一个“非常美妙而且完全普遍”的性质：

每个数或者是三角形数，或者是两个或三个三角形数之和；或者是平方数，或者是两个、三个或四个平方数之和；或者是五边形数，或者是两个、三个、四个或五个五边形数之和；如此直至无穷。

— 皮埃尔·德·费马，丢番图著作页边批注（约 1638）

像往常一样，费马没有留下证明。平方数的情形难倒了欧拉四十年，1770 年才由拉格朗日解决。三角形数的情形由高斯在 1796 年证明；他在日记里欣喜地写道：“ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ”。五边形数、六边形数以及其余所有情形仍然悬而未决。

为什么需要 $k$ 个

在证明之前，值得先看看费马并没有夸大：确实有些数需要 $k$ 项。看看 $2k - 1$。比它小的 $k$ 边形数只有 $0$、$1$ 和 $k$，因为下一个 $P_k(3) = 3k - 3$ 在 $k > 2$ 时已经大于 $2k - 1$。而 $k$ 最多只能用一次，因为 $2k > 2k - 1$。所以

$$2k - 1 = k + \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{k-1}$$

就是最省的写法：共 $k$ 项。对平方数（$k = 4$），7 需要四个：$7 = 4 + 1 + 1 + 1$。对三角形数，$5 = 3 + 1 + 1$。对五边形数，$9 = 5 + 1 + 1 + 1 + 1$。

柯西的证明

柯西在 1813 年向科学院提交了完整的证明，1815 年发表。出发点是高斯关于三角形数的定理，或者等价地说，每个形如 $8m + 3$ 的数都是三个奇数的平方和。柯西由此证明了一个巧妙的引理：如果 $a$ 和 $b$ 都是奇数，并且

$$b^2 < 4a \quad\text{且}\quad 3a < b^2 + 2b + 4,$$

那么存在整数 $s, t, u, v \ge 0$，使得

$$a = s^2 + t^2 + u^2 + v^2 \quad\text{且}\quad b = s + t + u + v.$$

也就是说，可以选出四个平方数，使它们的和是 $a$，同时它们的平方根之和是 $b$。而多边形数是 $n^2$ 和 $n$ 的组合，因为 $P_k(n) = \frac{k-2}{2}\,n^2 - \frac{k-4}{2}\,n$。把 $n = s, t, u, v$ 的四个多边形数相加，恰好出现 $a$ 和 $b$：

$$P_k(s) + P_k(t) + P_k(u) + P_k(v) = \frac{k-2}{2}\,a - \frac{k-4}{2}\,b.$$

通过仔细选择 $a$ 和 $b$，柯西证明了每个足够大的数都等于这个表达式加上一个小的余数，而余数可以用等于 0 或 1 的项补足。小的数则逐一验证。这个结果甚至比费马的更强：$k$ 项之中，除了四项以外，其余都可以取 0 或 1。

练习：用三种方式写 30

把 30 分别写成三个三角形数、四个平方数和五个五边形数之和。

三角形数：$0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28$。例如 $30 = 15 + 15 + 0$，或 $30 = 21 + 6 + 3$。

平方数：$30 = 25 + 4 + 1 + 0$，或 $30 = 16 + 9 + 4 + 1$。

五边形数：$0, 1, 5, 12, 22$。例如 $30 = 22 + 5 + 1 + 1 + 1$，或 $30 = 12 + 12 + 5 + 1 + 0$。

练习：六边形数

算出前几个六边形数，并验证 11 需要六项。

取 $k = 6$，$P_6(n) = \frac{n(4n - 2)}{2} = n(2n - 1)$：$0, 1, 6, 15, 28, \ldots$ 要写出 $11 = 2 \cdot 6 - 1$，只能用 0、1 和 6，而 6 最多用一次。最好的写法是 $11 = 6 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1$：六项，正好是定理允许的数目。

来源： Augustin-Louis Cauchy，“Démonstration du théorème général de Fermat sur les nombres polygones”，Mémoires de l’Institut（1813–1815），收于 Œuvres complètes 第 2 辑第 6 卷 · Melvyn B. Nathanson，“A short proof of Cauchy’s polygonal number theorem”，Proceedings of the AMS 99（1987） · Leonard E. Dickson，History of the Theory of Numbers 第 2 卷第 1 章（1920）。

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