$1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$ 等于多少？这样分组，$(1 - 1) + (1 - 1) + \cdots = 0$；那样分组，$1 - (1 - 1) - (1 - 1) - \cdots = 1$。欧拉和莱布尼茨认为“正确”的答案是 $\frac{1}{2}$，即两者的平均。在十八世纪，人们随意地处理这样的和，这种习惯有时会导致荒谬的结果。

部分和

在《分析教程》第 6 章，柯西从根本上解决了这个问题。级数 $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots$ 有部分和

$$s_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1}.$$

如果当 $n$ 增大时 $s_n$ 趋近于一个极限 $s$，级数就是收敛的，$s$ 就是它的和。否则级数是发散的，用柯西的话说，它“没有和”。对于 $1 - 1 + 1 - \cdots$，部分和永远在 1 和 0 之间跳来跳去：它没有和，既不是 $\frac{1}{2}$，也不是别的什么。

柯西准则

麻烦在于，要使用这个定义，就得知道极限是多少。柯西给出了一个只看各项本身的判别法：

级数收敛的充分必要条件是：当 n 增大时，和 s(n+1) − s(n)、s(n+2) − s(n)、s(n+3) − s(n)、…… 最终恒取比任何指定界限都小的数值。

— 奥古斯丁-路易·柯西，《分析教程》（1821）

也就是说：从某一项开始，所有部分和彼此之间的差都小于 $\varepsilon$，无论 $\varepsilon$ 多么小。具有这种性质的数列今天称为柯西列。

用这个准则，立刻就能看出调和级数为什么发散，尽管它的项趋于零。从 $s_n$ 到 $s_{2n}$，我们加了 $n$ 项，每一项都不小于 $\frac{1}{2n}$：

$$s_{2n} - s_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} \ge n \cdot \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}.$$

无论走多远，总有两个部分和相差至少 $\frac{1}{2}$。在图中选一个级数和一个 $\varepsilon$，看看从哪里开始部分和能装进宽度为 $\varepsilon$ 的带子里：

柯西认为准则的充分性是显然的。要真正证明它，必须确切知道什么是实数，而这直到 1872 年才由戴德金和康托尔完成。有趣的是，康托尔恰恰是用柯西列来构造实数的。

根值判别法

柯西还给出了一些实用的判别法。其中最强的是根值判别法：对很大的 $n$ 计算 $\sqrt[n]{|u_n|}$。如果这些数最终都落在某个 $r < 1$ 之下，级数收敛，因为各项比等比数列 $r^n$ 的项还小。如果它们大于 1，各项不趋于零，级数发散。为了处理振荡的数列，柯西引入了“极限中的最大者”，今天称为上极限。

例如，对于 $\sum \frac{n}{2^n}$：

$$\sqrt[n]{\frac{n}{2^n}} = \frac{\sqrt[n]{n}}{2} \longrightarrow \frac{1}{2} < 1,$$

因为 $\sqrt[n]{n} \to 1$。级数收敛（和为 2）。

练习：n/2ⁿ 的和

计算 $\sum_{n \ge 1} \frac{n}{2^n}$ 的前四个部分和，并证明其和为 2。

$s_1 = 0.5$，$s_2 = 0.5 + 0.5 = 1$，$s_3 = 1 + 0.375 = 1.375$，$s_4 = 1.375 + 0.25 = 1.625$。求和时，设 $S = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \cdots$。那么 $\frac{S}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \cdots$，相减得

$$S - \frac{S}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1.$$

所以 $S = 2$。这样计算是合法的，因为根值判别法已经保证了级数收敛。

练习：凝聚判别法

柯西的另一个判别法说：如果各项 $u_n$ 为正且递减，那么 $\sum u_n$ 收敛当且仅当 $\sum 2^k u_{2^k}$ 收敛。用它判断 $\sum \frac{1}{n^p}$ 何时收敛。

取 $u_n = \frac{1}{n^p}$，则 $2^k u_{2^k} = \frac{2^k}{2^{kp}} = \left(2^{1-p}\right)^k$，这是公比为 $2^{1-p}$ 的等比数列。它收敛当且仅当 $2^{1-p} < 1$，即 $p > 1$。所以 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，$\sum \frac{1}{n}$ 发散，与前面看到的一致。

来源： Augustin-Louis Cauchy，Cours d’analyse（1821），第 6、9 章 · Niels Henrik Abel，“Untersuchungen über die Reihe 1 + m/1 x + …”，Journal für die reine und angewandte Mathematik 1（1826） · Judith V. Grabiner，The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus（1981） · Umberto Bottazzini，The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass（1986）。

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