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图与地图：只看谁连着谁的图

1652 年版画中的柯尼斯堡，有普雷格尔河、两个岛和七座桥。为了解决七桥问题，欧拉几乎扔掉了这幅画所显示的一切。Merian-Erben · Wikimedia Commons · 公有领域 普鲁士的柯尼斯堡城被普雷格尔河穿过，河中形成两个岛，七座桥把城市的四个部分连在一起。居民们想知道，能不能散一次步，每座桥恰好走一次。1736 年，欧拉证明了不能。历史书在柯尼斯堡七桥那一篇里讲了这个证明。这里关心的是欧拉对图做了什么。 扔掉地图 城市地图显示街道、房屋、距离、河的宽度、岛的形状。欧拉意识到，这些对问题都不重要。重要的只是城市的哪些部分由哪些桥连接。每个部分变成一个点；每座桥变成两点之间的一条线。结果就是今天所说的图：四个点和七条线。 在这张图里，大小、距离和形状都不再有意义。可以把一条线拉长，把一个点挪个位置，把一切都弄弯：只要连接关系不变，图就还是那张图。用皮尔斯的话说，图是一种非常特殊的图像符号：它只在连接关系上与城市相似。这是一种严格挑选了复制什么的图像符号。 正是这张被简化了的图让答案显现出来。散步时，每次从一座桥进入一个点，就要从另一座桥离开；所以路线中途的每个点都必须连着偶数条线。在柯尼斯堡，四个点分别连着 $5$、$3$、$3$ 和 $3$ 条线：全是奇数。这样的散步是不可能的。 不再是地图的地图 1931 年，伦敦地铁的一位技术绘图员哈里·贝克提出了一种新的地图。旧地图遵循地理：线路在市中心缠成一团，在郊区四散开来，没人看得懂。贝克意识到，乘客不需要知道车站在哪里，而需要知道车站按什么顺序排列、在哪里换乘。他只画直线——水平的、竖直的和 $45°$ 的——车站之间的距离都相等。 1933 年出版的贝克地铁图是一张图，而不是一张地图。它完全扭曲了地理，而这正是它好用的原因。几乎世界上所有的地铁——包括圣保罗、东京和上海的地铁——都采用了同样的原则。代价是游客有时会坐地铁去一个步行五分钟就能到的车站，因为在图上它看起来很远。 同一个图，不同的画法 由于只有连接关系重要，同一个图可以有非常不同的画法。一个画了两条对角线的正方形，和从上方看的三棱锥，是同一个图：四个点，两两相连。判断两张画是否表示同一个图，对大的图来说是一个出奇困难的问题，它有一个名字：图同构问题。 有时画法确实重要。如果一个图能画得没有任何两条线交叉，它就是平面图。这决定了，比如说，一块印刷电路能否只用一层做成。 三间房子与三种公用设施 一个古老的谜题要求把三间房子分别连到三种公用设施——水、电、煤气——而且任何两条管道都不交叉。每个尝试的人最后都会遇到一个交叉，这不是因为技术不够：一边三个点、另一边三个点、九条连线全都连上的图，叫作 $K_{3,3}$，它不是平面图。1930 年，波兰人卡齐米日·库拉托夫斯基证明：一个图是平面图，当且仅当它里面没有藏着 $K_{3,3}$，也没有藏着五个点两两相连的图 $K_5$。 练习：第八座桥如果居民们建造第八座桥，连接河的两岸，散步会变得可能吗？ 两岸原来各连着 $3$ 条线；有了新桥，各连 $4$ 条。度数变成 $5$、$4$、$4$ 和 $3$：只有两个奇数点。每座桥走一次的散步变得可能，从一个奇数点出发，在另一个奇数点结束。 练习：为什么 K₃,₃ 不是平面图用平面图的欧拉公式 $V-E+F=2$（顶点数减边数加面数）证明 $K_{3,3}$ 不是平面图。 $K_{3,3}$ 有 $V=6$，$E=9$。如果它是平面图，就有 $F=2-6+9=5$ 个面。$K_{3,3}$ 里没有三角形（每条连线都从房子连到设施），所以每个面至少有 $4$ 条边。由于每条边最多是 $2$ 个面的边界，$4F\leq2E$，即 $20\leq18$，矛盾。所以不存在没有交叉的画法。 本章目录 · ← 阿尔冈平面：找到位置的虚数 · 无字证明 →

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阿尔冈平面：找到位置的虚数

从十六世纪起，意大利的代数学家就知道，解某些三次方程时，即使最后的答案是实数，也得经过负数的平方根。他们用 $\sqrt{-1}$ 时很不自在。笛卡儿称之为虚数，这个名字流传了下来。莱布尼茨把它描述为“介于存在与不存在之间的两栖动物”。 问题是符号学的。$\sqrt{-1}$ 是一种遵守代数规则的写法，却不指向任何可以看见或测量的东西。实数在数轴上有位置；$\sqrt{-1}$ 却无处容身。 给虚数一个位置 《论在几何作图中表示虚量的一种方法》（巴黎，1806）的扉页，出版时没有署作者名。这本书上有朱尔·乌埃尔的手写题赠，他在 1874 年重新出版了这篇文章。Jean-Robert Argand · Wikimedia Commons · 公有领域 答案来自两位业余者。1797 年，挪威测量员卡斯帕尔·韦塞尔向丹麦科学院提交了一篇论文，一个世纪里没有人读过。1806 年，住在巴黎的瑞士簿记员让-罗贝尔·阿尔冈自费、不署名地出版了一篇小文章，提出了同样的想法：把虚数放在一条与实数轴垂直的直线上。 数 $a+bi$ 变成点 $(a,b)$：水平方向 $a$ 个单位，竖直方向 $b$ 个单位。数 $1$ 在原点右边；$-1$ 在左边；$i$ 在上方；$-i$ 在下方。原来没有对象的写法有了一个位置。有了位置，就有了意义。 乘以 i 就是旋转 看看乘以 $i$ 时会发生什么： $$1\xrightarrow{\times i}i\xrightarrow{\times i}-1\xrightarrow{\times i}-i\xrightarrow{\times i}1.$$在平面上，这四个点分别是右、上、左、下：每乘一次 $i$，就逆时针转四分之一圈，即 $90°$。这对任何数都成立：$i(a+bi)=-b+ai$，就是点 $(a,b)$ 绕原点转了 $90°$。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 现在，那个看似荒谬的等式 $$i^2=-1$$说的是一件显而易见的事：两个四分之一圈就是半圈，而半圈把 $1$ 带到 $-1$。符号没有变，却不再神秘。这正是第2章借杜瓦尔研究过的现象：转换到另一个表征域——几何的表征域——揭示了代数表征域所隐藏的东西。 乘法就是旋转加伸缩 图也解释了一般的乘法。每个复数都有一个模，即到原点的距离，和一个辐角，即与实轴的夹角。规则是： 两个复数相乘，模相乘，角相加。 一次乘法变成一次旋转加一次伸缩。1831 年，高斯赋予这个想法它所缺少的声望，使用了复数一词，并开始在平面上画数。从那以后，$\sqrt{-1}$ 这种写法不再令人畏惧，复数成了电学、波动和量子力学的语言。

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图表的刻度：当图画说谎

条形图似乎不需要解释：条越高，数越大。用第2章的话说，它是一种图像符号：高度与数量相似。但每张图表背后都有一个眼睛读不到的约定：刻度。一旦约定改变，图像符号依然以同样的自信说话，只是说的已经是另一回事。 截断的坐标轴 一家公司连续四年的销售额是 $96$、$98$、$101$ 和 $104$。增长不大：三年增长 $8.3\%$。现在画条形图，让纵轴从 $95$ 而不是 $0$ 开始。第一根条的高度是 $1$，最后一根是 $9$。最后一根看起来是第一根的九倍。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 图并没有在任何一个数上说谎：所有的数都写在那里。它说谎的是数与数之间的关系，而这恰恰是条形图承诺要显示的。1954 年，美国记者达莱尔·哈夫在《统计数字会撒谎》一书中，把这个把戏称为“哇噻图”（gee-whiz graph），这本书至今仍是统计学课程的必读书。 条形图的规则很简单：它们比较长度，因此必须从零开始。折线图则不同：它显示的是变化，让坐标轴从数据附近开始可以是合理的，前提是刻度写清楚，且不把线的高度当作大小的度量。 对数刻度 有些刻度是故意扭曲的，而且是出于好意。一个在每段时间里都翻倍的量，比如细菌的数量或疫情初期的病例数，增长得如此爆炸，以至于在普通图表上，最初的值贴在地面上，最后的值跑出了页面。 在对数刻度上，纵轴的刻度不是 $0, 10, 20, 30$，而是 $1, 10, 100, 1000$：每走同样长的一步，就乘以 10。于是指数增长变成了一条直线，直线的斜率表示倍增的速度。2020 年，许多报纸用两种刻度展示疫情曲线，很多读者这才发现，同样的数据可以看起来像爆炸，也可以看起来像平缓的坡道。 对数刻度是一个需要学习的符号的好例子。眼睛把高度读作数量；在对数刻度上，高度表示的是数量级。没有注意到约定改变的人，就会读错图。 图框的长宽比 即使坐标轴从零开始、刻度也是普通的，图框的形状也会改变印象。同一组数据，画在又宽又矮的矩形里显得平稳；画在又窄又高的矩形里，则像是在飙升。统计学家威廉·克利夫兰提出了一条实用规则：选择长宽比，使重要的斜率接近 $45°$，这是眼睛最能分辨斜率差异的角度。 以面积骗人的地图 选举地图把每个地区涂上获胜者的颜色。但一个地区的面积与选民人数毫无关系：一个辽阔而空旷的州，比一个小而人口稠密的城市占用更多颜料。眼睛把面积读作重要性，地图似乎在说某个政党赢得比实际多得多。变形地图（统计地图）让地区变形，使面积与人口成正比，纠正了这个图像符号，结果看起来很怪——这正是诚实的代价。 练习：坐标轴的夸大坐标轴从 $90$ 开始时，$104$ 的条看起来是 $96$ 的条的多少倍？从 $100$ 开始呢？ 坐标轴从 $90$ 开始，可见高度是 $104-90=14$ 和 $96-90=6$：最后一根看起来是 $\frac{14}{6}\approx2.3$ 倍。坐标轴从 $100$ 开始，$96$ 的条根本不出现，$104$ 的条高度为 $4$：图表失去了意义。真实的比值始终是 $\frac{104}{96}\approx1.08$。 练习：对数刻度上的直线一个种群每天翻倍：$1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ 在以 $10$ 为底的对数刻度上，高度每天上升多少？ 高度是数值的 $\log_{10}$，而 $\log_{10}(2^n)=n\log_{10}2\approx0.301\,n$。每天高度上升 $0.301$ 个单位：每天上升同样多，所以图是一条直线。大约 $3.3$ 天上升整整一个单位，也就是乘以 10。

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拯救生命的图表：普莱费尔、斯诺、南丁格尔和米纳德

直到十八世纪末，数字都是用表格发表的。表格很精确，却迫使读者一行一行地比较，把数值记在脑子里。数据图表用一瞥取代了这种阅读：差异、趋势和峰值在读到任何数字之前就显现出来。四张图表展示了这项发明怎样改变了人们能看见的东西。 普莱费尔发明折线图 1700 年至 1780 年英国与非洲的进出口，出自威廉·普莱费尔的《商业与政治图集》（1786）。两条线之间的面积显示贸易差额。William Playfair · Wikimedia Commons · 公有领域 1786 年，生平跌宕的苏格兰工程师兼小册子作者威廉·普莱费尔出版了《商业与政治图集》，其中有 44 张关于英国贸易的图表。以时间为横轴的折线图和条形图，第一次在这里系统地出现。1801 年他又加上了饼图。普莱费尔为这些图辩护说，眼睛把握一串数字的形状，远胜于记忆保存这些数字。 斯诺与宽街水泵 约翰·斯诺 1854 年绘制的伦敦苏活区地图。每一例霍乱死亡是一条叠在房门口的黑色短线；这些叠起的短线聚集在宽街水泵周围。John Snow · Wikimedia Commons · 公有领域 1854 年 8 月和 9 月，一场霍乱在伦敦苏活区夺去了数百人的生命。主流理论认为疾病来自“瘴气”，即坏空气。医生约翰·斯诺怀疑是水。他在街区地图上标出每一例死亡，在房门口画一条短线，结果这些短线堆积在一个公共水泵周围——宽街的那个水泵。斯诺说服当局在 9 月 8 日卸下了水泵的把手。 水泵被停用时，疫情已经在减弱，而那张最有名的地图是事后为报告绘制的。但论证的力量在于这张图：读者在读到任何统计数字之前，就看见了源头。这是流行病学诞生的里程碑之一。 南丁格尔的玫瑰图 弗洛伦斯·南丁格尔的东方英军死亡原因图（1858）。每一片是一个月；蓝色面积是可预防疾病造成的死亡，红色是伤亡，黑色是其他原因。Florence Nightingale · Wikimedia Commons · 公有领域 克里米亚战争中，英国护士弗洛伦斯·南丁格尔看到，士兵死于肮脏医院里的疾病，远多于死于战斗中的伤口。1858 年回国后，她必须说服那些不读表格的将军和大臣。她画了一种新的图，形状像一朵玫瑰：每个月是一片，每种颜色的面积与死亡人数成正比。可预防疾病的巨大蓝色斑块，吞没了伤亡的那一小片红色。 数学细节很重要。要让面积与人数成正比，每一片的半径必须与人数的平方根成正比。如果她让半径与人数成正比，糟糕的月份就会显得比实际严重得多。1858 年，南丁格尔成为第一位当选英国皇家统计学会会员的女性。 米纳德与拿破仑的行军 查尔斯·米纳德绘制的 1812 年俄国战役（1869）。带子的宽度是军队的人数：去莫斯科时是米色，返回时是黑色。下方是撤退途中的气温。Charles Minard · Wikimedia Commons · 公有领域 1869 年，法国工程师查尔斯·米纳德画出了拿破仑在俄国的那场灾难性战役。一张纸上容纳了六个变量：带子的宽度（军队的人数，从出发时的 42.2 万人到返回时的 1 万人）、地图上的二维位置、方向（去或回）、气温和日期。统计学家爱德华·塔夫特称它也许是有史以来画得最好的统计图。

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从奥雷姆到函数图像：画出一个变化的性质

速度–时间图看上去再自然不过。但想想它做了什么：它把时间变成水平长度，把速度变成竖直长度，而这两个量都不是长度。这是一种大胆的翻译，总得有人把它发明出来。 奥雷姆的纬度 1350 年前后，法国人尼科尔·奥雷姆——巴黎的学者，后来成为利雪主教——写了一部关于性质的构形的论著。一种性质，比如一根棒的热度或一个物体的速度，可以从一点到另一点、从一刻到另一刻变化。奥雷姆提议把它画出来： 经度，一条水平线，表示广延：棒的长度或运动的持续时间； 在每一点上，纬度，一条竖直线段，表示那里性质的强度。 所有纬度合起来组成一个图形，图形的形状描述了变化。 奥雷姆的三种构形：均匀的（所有纬度相等，一个矩形）、均匀变化的（纬度均匀增长，一个三角形或梯形）和非均匀变化的（其他任何变化，一条曲线）。为本书制作的教学示意图。 奥雷姆为三种基本形状起了名字。均匀的性质给出矩形。均匀变化的性质均匀增长，给出三角形或梯形。非均匀变化的性质以其他任何方式增长，给出顶部弯曲的图形。今天我们会说：常函数、线性函数和非线性函数。 用面积证明 奥雷姆的图不只是插图。他用它证明了牛津默顿学院的学者们几十年前提出的一条规则：一个匀加速运动的物体所走的距离，等于它以平均速度匀速运动时所走的距离。 在图中，距离就是图形的面积。从静止开始的匀加速运动是一个三角形；以平均速度的运动是一个高度减半的矩形。三角形和矩形面积相等，因为三角形高出矩形的那一块，正好等于下面缺的那一块。比伽利略得出同样的规则早了两个半世纪，这个证明就是一张图。 通向函数图像的路 人们很自然地以为，1637 年把几何化为方程的笛卡儿，画的图像和今天一样。其实不然。笛卡儿的书里没有两条标了数字的互相垂直的坐标轴，负坐标也受到怀疑。坐标这个词来自莱布尼茨，是 1692 年的事。带坐标轴、刻度和曲线的函数图像，在整个十八世纪里才慢慢确立；而像下一篇里那样的数据图表，直到 1786 年才诞生。 第2章借雷蒙·杜瓦尔说明，从公式到图像是表征域之间的一次转换，许多学生会算却不会画。奥雷姆的故事提醒我们，这种转换并不是天生的：它花了几个世纪才被发明出来。 奥雷姆与调和级数 同一个奥雷姆证明了级数 $1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots$ 会无限增大，方法是把各项分成一组组，每组都大于 $\frac12$。这是最早的无穷级数结果之一，历史书在调和级数那一篇里讲了这个证明。 练习：平均速度定理一辆车从静止开始，在 $4$ 秒内匀加速到 $10$ m/s。它走了多远？ 在奥雷姆的图中，这是一个底为 $4$、高为 $10$ 的三角形：面积 $\frac{4\cdot10}{2}=20$ 米。平均速度是 $5$ m/s，$5\cdot4=20$ 米：平均速度的矩形面积相同。 练习：一个梯形速度在 $3$ 秒内从 $2$ m/s 均匀增加到 $8$ m/s。走了多远？ 图形是上下底分别为 $2$ 和 $8$、高为 $3$ 的梯形：面积 $\frac{(2+8)\cdot3}{2}=15$ 米。这与平均速度 $5$ m/s 乘以 $3$ 秒相同。 本章目录 · ← 欧拉圆与维恩图 · 拯救生命的图表：普莱费尔、斯诺、南丁格尔和米纳德 →

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欧拉圆与维恩图

1760 年至 1762 年间，莱昂哈德·欧拉给一位年轻的德国公主——普鲁士国王的侄女——写了两百多封信，教她物理、天文和哲学。这些信从 1768 年起以《致一位德国公主的信》为题出版，成为那个世纪读者最多的科普书之一。在其中几封信里，为了解释逻辑推理，欧拉画了圆。 三句话，三张图 用圆画出两个集合之间的三种关系：“所有 A 都是 B”（A 在 B 里面）、“没有 A 是 B”（两圆分开）和“有些 A 是 B”（两圆相交）。为本书制作的教学示意图。 想法是：每个概念占据一个区域，逻辑语句就变成位置关系： “所有 A 都是 B”：圆 $A$ 在圆 $B$ 里面。 “没有 A 是 B”：两个圆分开。 “有些 A 是 B”：两个圆相交，公共部分里有东西。 现在看看三段论会怎样。“所有 A 都是 B。所有 B 都是 C。”把第一个圆画在第二个圆里，第二个圆画在第三个圆里。不需要再做任何事：结论**“所有 A 都是 C”**已经在图里了，因为 $A$ 已经落在 $C$ 里面，而没有人特意把它放进去。图免费完成了推理。 关系的图像符号 第2章讲过的哲学家查尔斯·桑德斯·皮尔斯解释了这为什么行得通。一个圆既不像猫的集合，也不像哺乳动物的集合。但圆与圆之间的关系——一个在另一个里面——却像集合之间的关系。这是一种关系的图像符号：图复制的是结构，而不是事物。皮尔斯甚至说，一切演绎推理归根结底都是对一张图的观察，这张图或画在纸上，或画在想象里。 欧拉的问题与维恩的解决 欧拉圆有一个缺点：它迫使人在知道之前就决定位置。如果唯一的信息是“有些 A 是 B”，两个圆就得相交；但也许 $A$ 整个都在 $B$ 里面，而图没有办法说“也许”。

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参考文献与图片来源

延伸阅读 Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 卷。Chicago: Open Court, 1928–1929。牛顿、莱布尼茨、拉格朗日和阿博加斯特的记号，$\int$ 和傅里叶的上下限，沃利斯的 $\infty$。 Lagrange, Joseph-Louis. Théorie des fonctions analytiques. Paris: Imprimerie de la République, 1797。 Arbogast, Louis F. A. Du calcul des dérivations. Strasbourg: Levrault, 1800。 Wallis, John. De sectionibus conicis. Oxford, 1655。以及 Arithmetica infinitorum. Oxford, 1656。 Boole, George. On a general method in analysis. Philosophical Transactions of the Royal Society, 134, 1844, 第 225–282 页。 Heaviside, Oliver. Electromagnetic Theory. 3 卷。London: The Electrician, 1893–1912。 Child, J. M. The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz. Chicago: Open Court, 1920。1675 年 10 月的手稿，有“omn.”和第一个 $\int$。 Robinson, Abraham. Non-standard Analysis. Amsterdam: North-Holland, 1966。 Tall, David; Vinner, Shlomo. Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, 1981, 第 151–169 页。 Thompson, Silvanus P. Calculus Made Easy. London: Macmillan, 1910。这本书把 $dx$ 当作“$x$ 的一小点”来讲授微积分。 Earliest Uses of Symbols of Calculus，Jeff Miller。 图片来源 图片 来源 许可 拉格朗日《解析函数论》（1797）扉页 Wikimedia Commons 公有领域 奥利弗·亥维赛，作者不详的肖像 Wikimedia Commons 公有领域 符号 ∞ 的最早用例，沃利斯《论圆锥曲线》（1655） Wikimedia Commons 公有领域 约翰·沃利斯，依据戈弗雷·内勒的画像 Wikimedia Commons 公有领域 交互图形（变成切线的割线和黎曼和）是为本书制作的，在本站的四种语言中都能使用。下载图片的记录及每个文件的哈希值见 data/semiotica_imagens.json。

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如何阅读微积分：指南与术语表

本章逐个阅读了微积分的符号。下面的指南汇集了有助于把它们放在一起读的问题。 关于微积分的五个问题 谁在变？相对于谁变？ 在 $\frac{dy}{dx}$ 中，两个字母都写出来了。在 $f'$ 中，变量是隐含的；在 $\dot x$ 中，变量是时间。如果不清楚，就把它写出来。 这是有限差还是极限？ $\Delta$ 和 $\Sigma$ 是用数字做的计算；$d$ 和 $\int$ 是计算无止境地缩小后剩下的东西。形状相似，意义不同。 这里可以约分吗？ 只有一个变量、一阶导数时，$\frac{dy}{dx}$ 表现得像分数。遇到二阶导数或偏导数，先核实再约分。 哪个字母是哑字母？ 在积分中，$d$ 后面的字母是约束的；在极限中，箭头上的字母也是。它们都不能出现在外面。 这个 $\infty$ 是方向还是数量？ 在 $x\to\infty$ 和 $\sum^\infty$ 中，它是方向，与它有关的计算需要取极限。只有康托尔的 $\aleph$ 才是数量。 对一个方程的完整解读 $$\frac{d}{dx}\int_0^{x}e^{-t^2}\,dt=e^{-x^2}.$$ 积分 $\int_0^xe^{-t^2}\,dt$ 是钟形曲线下从 $0$ 到 $x$ 的面积。它是 $x$ 的函数：每个 $x$ 对应一个面积。 $t$ 是一个哑字母。把它换成 $s$ 什么也不变。换成 $x$ 就错了，因为 $x$ 已经出现在上限里。 $\frac{d}{dx}$ 是一个算子：它问的是，当 $x$ 增大时，这块面积增长得多快。 $=$ 断言一个恒等式，对每个 $x$ 都成立。它是基本定理的第一部分。 值得注意的细节： 积分 $\int_0^xe^{-t^2}\,dt$ 不能用初等函数写成公式。尽管如此，它的导数一行就能写出来。记号让我们能谈论一个自己写不出来的函数。 术语表 差（$\Delta$）。 一个量的有限变化：$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$。 微分（$dy$）。 沿切线的变化：$dy=f'(x)\,dx$。步长小时，它近似于 $\Delta y$。 导数。 当 $\Delta x\to0$ 时 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 的极限。写作 $\frac{dy}{dx}$、$f'(x)$、$\dot y$ 或 $Dy$。 算子。 把一个函数变成另一个函数的规则，例如求导的 $D$。它可以相加、相乘，小心的话还可以因式分解。 特征方程。 在常系数线性微分方程中，把 $D$ 换成 $r$ 所得到的多项式。 黎曼和。 逼近积分的矩形面积之和 $\sum f(x_i)\,\Delta x$。 定积分。 黎曼和的极限：$\int_a^b f(x)\,dx$，一个数。 原函数（不定积分）。 满足 $F'=f$ 的函数 $F$。相差一个常数而确定：$\int f(x)\,dx=F(x)+C$。 微积分基本定理。 求导和积分是互逆的运算：$\frac{d}{dx}\int_a^xf=f(x)$，$\int_a^bF'=F(b)-F(a)$。 不定式。 像 $\infty-\infty$ 或 $\frac00$ 这样的表达式，其值取决于过程，而不只是形式。 级数。 有无穷多项的和。当部分和接近一个数时，级数收敛，那个数就叫级数的和。 条件收敛。 收敛、但重新排列各项后和会改变的级数。 练习：用一用指南读 $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\cos x$。 变的是 $h$，它被极限约束；$x$ 是自由的。这个分数是有限差除以步长，即 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$，极限把它变成导数。$=$ 是一个恒等式，对每个 $x$ 都成立。用拉格朗日的记号，它就是 $\sin'=\cos$；用阿博加斯特的记号，是 $D\sin=\cos$。

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永无止境的和：级数的等号

写下 $$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2.$$它看起来就像 $3+4=7$ 那样的计算：左边是加数，右边是结果。但从来没有人把所有这些项都加起来，以后也不会有。这里的等号做的工作，与第4章列出的都不一样。它断言的是部分和 $$1,\quad1.5,\quad1.75,\quad1.875,\quad\ldots$$能任意地接近 $2$。用符号写： $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^n}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\frac1{2^n}=2.$$$\Sigma$ 上方的 $\infty$，就是上一篇中作为方向的那个 $\infty$：它不是最后一项，而是“继续下去”的指令。 0.999… = 1 最让学生不安的等式是 $$0.999\ldots=1.$$许多人认为 $0.999\ldots$“非常接近 $1$，但永远到不了”。这种反对有符号学上的根源：省略号似乎描述一个正在进行的过程，而过程是不会结束的。但 $0.999\ldots$ 不是一个过程，它是这个过程的极限的名字： $$0.999\ldots=\frac9{10}+\frac9{100}+\frac9{1000}+\cdots=\frac{9/10}{1-1/10}=1.$$研究者戴维·托尔和什洛莫·温纳在 1981 年一项后来成为经典的研究中，把这称为概念意象（学生看到符号时所想象的东西）与概念定义之间的冲突。意象是“某个越来越近的东西”；定义是“一切都越来越接近的那个数”。 会骗人的和 当部分和不接近任何东西时，带 $=$ 的写法依然不变，危险就在这里。 格兰迪级数。 1703 年，意大利神父圭多·格兰迪研究了 $$1-1+1-1+1-\cdots$$一种方式分组，$(1-1)+(1-1)+\cdots=0$。另一种方式，$1-(1-1)-(1-1)-\cdots=1$。格兰迪得出结论说和是 $\frac12$，并把它看作世界从无中被创造的象征。部分和 $1,0,1,0,\ldots$ 不接近任何东西：这个级数在极限意义下没有和。 欧拉的 $-1$。 几何级数的公式 $1+x+x^2+\cdots=\frac1{1-x}$ 在 $|x|<1$ 时成立。欧拉把它用在 $x=2$ 上，写下 $$1+2+4+8+\cdots=\frac1{1-2}=-1.$$一串正数之和竟是负数。写法毫无异议地接受了这次代入；直到十九世纪的数学家要求每一个带省略号的 $=$ 都附有收敛的证明。 顺序很重要 在有限和中，加数的顺序无关紧要：$3+4=4+3$。在无穷和中，顺序可能很重要。交错调和级数 $$1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots=\ln2\approx0.693$$是收敛的。现在把同样的项重新排列，每个正项后面接两个负项： $$1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\frac15-\frac1{10}-\frac1{12}+\cdots$$三个一组，每组是 $\frac1{2k-1}-\frac1{2(2k-1)}-\frac1{4k}=\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k}\right)$，整个和变成原来的一半：$\frac12\ln2$。伯恩哈德·黎曼证明，对这样的级数，适当的重排可以得到你想要的任何值。符号 $\Sigma$ 不显示各项的顺序，而在这里，顺序就是一切。 阿基里斯与乌龟 2500 年前埃利亚的芝诺提出的悖论，是一个伪装起来的级数。阿基里斯跑得比乌龟快十倍，乌龟先出发 100 米。当阿基里斯跑到乌龟原来的位置时，乌龟又前进了 10 米；当他跑到那里，乌龟又前进了 1 米；如此下去。芝诺的结论是阿基里斯永远追不上乌龟。级数 $100+10+1+0.1+\cdots=111.1\ldots$ 表明，他在跑了 $111\frac19$ 米后追上了它。悖论来自把无穷多个阶段误当成无穷长的时间。 练习：0.333… 与 0.999…把 $0.333\ldots$ 写成几何级数并求和。再用这个结果得出 $0.999\ldots$

October 18, 2026 阅读
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沃利斯的 ∞：一个不是数的符号

符号 ∞ 已知最早的用例，见约翰·沃利斯的《论圆锥曲线》（1655）。正文中间写着“esto enim ∞ nota numeri infiniti”，即设 ∞ 为一个无穷数的符号。往上两行，每个平行四边形的高是总高的 1/∞。John Wallis · Wikimedia Commons · 公有领域 1655 年，牛津教授、英国人约翰·沃利斯把一个平面图形分成无穷多个极薄的平行四边形，每个的高都等于总高的一个无穷小部分。为了写下这一部分，他需要一个表示无穷的符号，于是发明了一个： 那么，设 ∞ 为一个无穷数的符号。 — 约翰·沃利斯，《论圆锥曲线》（1655） 他把每个平行四边形的高写成 $\frac1\infty$。没有人确切知道他从哪里得到了这个形状。最常被提到的两种假说是：罗马数字 CIↃ 的一种变体，它表示一千，常被用来表示“很多”；以及希腊字母表的最后一个字母，小写的欧米伽 $\omega$，意味着万物的终点。 长得像数的符号 $\infty$ 的麻烦在于它看起来像一个数。它和其他数排在同一行上，旁边可以写运算符号，可以进入分数。这就引诱人做一些毫无意义的计算。如果 $\infty$ 是一个数，那么 $\infty-\infty=0$。但请看： $$\lim_{x\to\infty}\big((x+1)-x\big)=1,\qquad\lim_{x\to\infty}(2x-x)=\infty,\qquad\lim_{x\to\infty}(x-2x)=-\infty.$$在这三个计算中，两项都趋于无穷，而结果各不相同。所以 $\infty-\infty$ 被称为不定式：值不由写法决定，而由各部分增长的快慢决定。$\frac\infty\infty$、$0\cdot\infty$、$1^\infty$ 和 $\frac00$ 也是一样。 极限中的 ∞ 是一个方向 当我们写 $x\to\infty$ 时，$\infty$ 不是 $x$ 到达的一个地方，而是一个方向：“$x$ 不停地增大”。句子 $$\lim_{x\to\infty}\frac1x=0$$并不是说 $\frac1\infty=0$，而是说只要 $x$ 足够大，$\frac1x$ 就能任意地接近零。第1章讲述了柯西和魏尔斯特拉斯怎样不把无穷当作数来写下这一点。亚里士多德把这种无穷叫作潜无穷：一个总能继续、却永远不会完成的过程。 约翰·沃利斯（1616–1703），牛津的几何学教授、英国议会的密码学家，此像依据戈弗雷·内勒的画作绘制。依据 Godfrey Kneller · Wikimedia Commons · 公有领域 有大小的无穷 十九世纪末，格奥尔格·康托尔做了一件亚里士多德禁止的事：他把无穷集合当作完成了的对象，并比较它们的大小。自然数集和偶数集一样大，因为它们可以一一配对（$n\leftrightarrow2n$）。实数集更大，这一点由对角线论证说明——历史书中图灵那一章在讲可计算数时用的就是它。

October 18, 2026 阅读
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基本定理：当 d 与 ∫ 相互抵消

在微积分之前，切线和面积是两个毫不相干的问题。求一条曲线的切线是一门技艺；求它下方的面积是另一门。十七世纪的伟大发现——属于艾萨克·巴罗、牛顿和莱布尼茨——是一个是另一个的逆。这就是微积分基本定理，而莱布尼茨的记号把它写得几乎理所当然。 莱布尼茨：如同和与差 莱布尼茨把 $\int$ 看作和，把 $d$ 看作差。把差加起来，就抵消了差，就像楼梯：台阶高度之和就是总高度。他写道，$\int$ 和 $d$ 互为逆运算，“就像普通计算中的乘方与开方”。用符号写： $$d\!\int y\,dx=y\,dx,\qquad\int dy=y.$$$d$ 和 $\int$ 像 $+3$ 和 $-3$ 一样“相互抵消”。这是最强意义上的能动记号：微积分中最重要的定理，表现为一条化简规则。 现代写法中的两半 今天，这个定理分两部分来写。 第一部分：对面积求导。 如果 $A(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ 是从 $a$ 到 $x$ 累积的面积，那么 $$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$面积增长的速率，就是曲线在当前位置的高度。注意积分里面的字母是 $t$，不是 $x$：$x$ 已经被上限占用了。写成 $\int_a^x f(x)\,dx$，就会犯第3章讲过的变量捕获错误。 第二部分：对导数积分。 如果 $F'=f$，那么 $$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\Big[F(x)\Big]_a^b.$$带上下限的括号是一种过渡记号：在还要代入数字的时候，先把 $F$ 留住。有了它，上一篇中需要无穷多个矩形的面积，一行就算出来了： $$\int_0^2x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac83-0=\frac83.$$记号隐藏了什么 $d$ 与 $\int$ 的抵消并不完美。在不定积分中， $$\int\frac{dF}{dx}\,dx=F(x)+C,$$出现了一个抵消规则没有预告的常数 $C$。求导会抹去常数；积分不知道该还回哪个常数。忘了写 $+C$ 是微积分课上最常见的错误，而它的根源是符号学的：记号暗示了一个完美的逆，实际上却只有一个相差常数的逆。 辞去教席的巴罗 牛顿在剑桥的老师艾萨克·巴罗，1670 年发表了基本定理的一个几何版本，只有图形，没有任何代数记号。定理就在那里，却深藏在几何里，几乎没有人注意到它的重要性。此前不久的 1669 年，巴罗把教席让给了牛顿。同一个想法，用 $d$ 和 $\int$ 写出来，成了一门理论的核心；用图形写出来，只是众多命题中的一个。 练习：对变上限的面积求导计算 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2}\cos t\,dt$。 令 $A(u)=\int_0^u\cos t\,dt$，$A'(u)=\cos u$。表达式是 $A(x^2)$，由链式法则，它的导数是 $A'(x^2)\cdot2x=2x\cos(x^2)$。用第二部分验证：$\int_0^{x^2}\cos t\,dt=\sin(x^2)$，其导数为 $2x\cos(x^2)$。

October 18, 2026 阅读
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逐个符号读积分

表达式 $$\int_0^2 x^2\,dx$$有五个部件：符号 $\int$、数字 $0$ 和 $2$、函数 $x^2$ 以及 $dx$。每一个都做不同的工作，每一个都有来历。第1章讲述了从阿基米德的穷竭法到积分的过程。这里，我们慢慢地读积分，就像读一门新语言里的句子。 五个部件组成的句子 $\int$ 是一个拉长的 S，取自 summa，即“和”。莱布尼茨在 1675 年 10 月 29 日的一份手稿里第一次写下它。它是一种奇特的图像符号：它不像一块面积，却像描述面积如何构成的那个词。 上下限 $0$ 和 $2$ 写在下面和上面，说明从哪里加到哪里。它们不是莱布尼茨的：是法国人约瑟夫·傅里叶在 1820 年前后开始把它们紧贴着符号写的。在此之前，它们用文字写在旁边。 函数 $x^2$ 是每个条带的高。 $dx$ 是每个条带的宽，无限地细。它也标明哪个字母在变：如果写的是 $dt$，变量就是 $t$。 字母 $x$ 是一个哑字母：$\int_0^2x^2\,dx$ 和 $\int_0^2t^2\,dt$ 的值相同。结果 $\frac83$ 不依赖于 $x$。 整句读下来就是：对从 $0$ 到 $2$ 的所有 $x$，把高 $x^2$ 乘以宽 $dx$ 加起来。 符号背后的和 这种读法不是比喻。把无限细的宽 $dx$ 换成真实的宽 $\Delta x$，把 $\int$ 换成表示和的希腊字母 $\Sigma$，积分就变成了矩形面积之和，即黎曼和： $$\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x\;\longrightarrow\;\int_a^b f(x)\,dx.$$记号在这里做的事和第2篇一样：取极限时形状保持不变。$\Sigma$ 变成 $\int$，$\Delta x$ 变成 $dx$，$f(x_i)$ 变成 $f(x)$。懂得有限和的人，读积分毫不费力。

October 18, 2026 阅读