Hero Image
第 X 章の演習 — 任意の三角形

計算する前に、何が与えられたのかを尋ねてください。 2 つの辺とそれらの間の角度、または 3 つの辺には余弦の法則が必要です。一方の側と反対側の角度、正弦の法則。この章では、印刷されたテンプレートにいくつかのエラーがあります。ここでの答えが彼と異なる場合、その違いが説明されます。 余弦の法則 360 三角形の 2 辺の長さは 8 m と 12 m で、それらの間には $120^\circ$ の角度が形成されます。 3 番目の辺を計算します。 解像度を参照してください$b = 8$ と $c = 12$ を指定された辺、$\hat{A} = 120^\circ$ をそれらの間の角度と呼ぶと、余弦の法則は次のようになります。 $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A} = 64 + 144 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 64 + 144 + 96 = 304,$$次に$a = \sqrt{304} = 4\sqrt{19}$メートル。 361 (FEI-77) $a = 4$、$b = 3\sqrt{2}$、$\hat{C} = 45^\circ$を知って、$c$を計算します。 解答を見る$c = \sqrt{10}$

October 24, 2026 読んだ
Hero Image
三角形を解く

三角形を解くということは、その主要素である $a$、$b$、$c$、$\hat{A}$、$\hat{B}$、$\hat{C}$ を計算することを意味します。これを行うには、 三角形に関する3 つの情報を提供する必要があり、そのうちの少なくとも 1 つは、三角形にリンクされている線分の寸法 (辺、高さ、中央値など) です。 歴史 平面と球面の両方の三角形を解くことに専念した最初のヨーロッパの論文はDe triangulisomnimodis (「あらゆる種類の三角形について」) で、ドイツの天文学者レギオモンタヌスによって 1464 頃に書かれ、1533 にのみ出版されました。彼は、ここで行うことと非常によく似た方法で解決事例を整理し、この本はルネサンス ヨーロッパにおける三角法の入り口となりました。 レギオモンタヌスとは誰だったのか ヨハネス・ ミュラー (1436 – 1476) はフランケン地方のケーニヒスベルクで生まれ、故郷の名前 (「王の丘」) をラテン語化してレギオモンタヌス としました。早熟な彼は11 歳でライプツィヒ大学に入学し、 後にウィーンのゲオルグ・ ペールバッハ の学生および共同研究者となりました。 1461 にポウルバッハが亡くなったとき、レギオモンタヌスは師が始めたアルマゲストの概要を完成させました。 1471 年、彼はニュルンベルクに科学書籍専用の最初の印刷機の 1 つを設置し、そこで星の位置を日ごとに示す表であるエフェメリスを印刷しました。クリストファー・コロンブスは 4 回目の航海でコピーを持ち、乗組員とともに 1504 のジャマイカに閉じ込められ、月食の予測を利用して島の住民に感銘を与え、食料を手に入れたと言われています。レギオモンタヌスは暦の改革を支援するために教皇によってローマに呼び出され、おそらくペストが原因で40年でそこで亡くなった。 レギオモンタヌス (1436 – 1476)、後の彫刻。正体不明の記録者。スミソニアン博物館のコレクション · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1436 Königsberg in BayernNasce Johannes Müller, que latinizará o nome da cidade (“monte do rei”) em Regiomontanus. 1447 LeipzigEntra na universidade aos 11 anos. 1450–1461 VienaAluno e colaborador de Georg Peurbach. Com a morte do mestre, assume a tarefa de resumir o Almagesto. 1461–1465 RomaNa casa do cardeal Bessarion, lê manuscritos gregos e escreve o De triangulis omnimodis (c. 1464). 1467–1471 BudaTrabalha na corte do rei Matias Corvino, da Hungria, e calcula tábuas trigonométricas. 1471–1475 NurembergMonta uma gráfica para livros científicos e imprime as Efemérides, que Colombo levaria nas suas viagens. 1476 RomaChamado pelo papa para ajudar na reforma do calendário, morre na cidade, aos 40 anos. 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 As andanças de Regiomontanus pela Europa do século XV. Clique numa etapa ou use Percorrer a viagem. 地図：© OpenStreetMap 協力者

October 24, 2026 読んだ
Hero Image
高さ、中央値、角の二等分線、および半径

辺の寸法だけを知っていれば、三角形の注目すべき部分 (高さ、中央値、内部 角の二等分線、内接円と外接円の半径) を計算できる公式を導き出します。いずれも半周$p = \frac{a + b + c}{2}$が出現します。 歴史 三辺の面積の公式は、 実用的な測定のマニュアルであるメートル法で実証したアレキサンドリアのサギ（1世紀）にちなんで名付けられました。しかし、 ペルシャの数学者アル・ ビルーニは、それより2 世紀半も前のアルキメデスの仕業だとしました。ヘロンのデモンストレーションは純粋に幾何学的なもので、円周が刻まれています。ここで行うのは余弦の法則から始まる代数的なものです。 アレクサンドリアの英雄とは誰だったのか ヘロン から、彼がアレクサンドリアに住んでいたことがわかり、彼の作品の 1 つで、天文学者が 62 年であると特定した月食について記述していることがわかります。私たちが彼の日付を特定したのはこの日食です。彼は何よりもエンジニアでした。彼はエオリパイルについて説明しました。これは蒸気のジェットによって駆動されて回転する球体であり、記録上最初の蒸気エンジンです。祭壇に火が灯されると自動的に開く神殿の扉。ロープと重りで動くオートマトンの劇場。そして、コインを受け取ると聖水の一部が放出される機械、おそらく史上初の自動販売機です。彼は測量士向けに、第 IX 章のセオドライトの祖先である地上の角度を測定するための器具であるディオプトラに関する論文を書きました。 アレクサンドリアのサギ (1 世紀)、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン サギのエオリパイルの図: 蒸気は軸としても機能するチューブを通って上昇し、球体の曲がったノズルから出て回転します。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 24, 2026 読んだ
Hero Image
投影、面積、接線法

4 つの定理で三角形の三角関数の性質が完成します。1 つは各辺を他の 2 つの投影に分解し、2 つは面積を与え、最後の定理は接線の法則で、辺の和と差を角度の和と差に関連付けます。 歴史 この接線の法則は、デンマーク人のトーマス フィンケが1583で発表し、その中で接線に名前を付けました（第VIII章を参照） が、 同時にフランソワ ビエテも使用しました。これは対数表の時代に非常に実用的になりました。商と積だけを扱うため、余弦の法則で必要となる二乗を加算することなく、2 つの辺とそれらの間の角度がわかる三角形を解くことができます。対数を使用すると、各乗算または除算は、表から取得した数値の加算または減算になります。 ジョン・ネイピアとは誰だったのか エディンバラ近郊のマーキストン城の城主ジョン・ ネイピア (1550 – 1617) は、対数 (「比数値」) という名前で 1614 に公開した表を約 20 年かけて計算しました。宣言された目的は、非常に時間がかかる「乗算、除算、根の抽出」から天文学者を解放することでした。そして、最初に使用されたのは正弦でした。ネイピアの表は正弦の対数を毎分与えてくれました。彼自身、自分の最も重要な仕事は黙示録の解説であると考えており、近所の人たちは彼を魔術師だと考えていました。どの使用人がそれを盗んでいるかを調べるために、ネーピアは暗い部屋に煤にまみれた雄鶏を置き、泥棒がそれに触れると雄鶏が鳴くだろうと言いながら、全員に入ってその上に手を這わせるように言ったと言われています。犯人は恐れて雄鶏には触らず、きれいな手で立ち去った唯一の人でした。 対数では、乗算は足し算です。これは、接線の法則を非常に実用的なものにしたネピア表と計算尺の原理です。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1550–1563 マーキストンエディンバラ近郊のマーキストン塔で、16 歳の貴族の息子として生まれる。 1563 セント・アンドルーズ13 歳でスコットランド最古の大学に入り、学位を取らずに去る。 c. 1564–1571 ヨーロッパ大陸国外で学ぶ。おそらくフランスかネーデルラント。記録には場所がなく、地図上の点は目安にすぎない。 1574–1608 ガートネス家の領地に自分で建てた城に住む。黙示録について書き、対数の計算を始める。 1594 ファスト城ロバート・ローガンと、城に隠された宝を見つけて三分の一を受け取る契約を結ぶ。 1608–1617 マーキストンマーキストンの領主となる。対数を発表し（1614）、ブリッグスを迎え（1615）、『ラブドロギア』を出して 1617 年に亡くなる。 1615 ロンドングレシャム・カレッジでヘンリー・ブリッグスが本を読み、著者に会うためエディンバラへ向かう。 1617–1627 リンツケプラーが表を見て、亡くなったことを知らずに男爵へ手紙を書き、『ルドルフ表』で対数を使う。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 スコットランドでのネイピアの場所と、彼の表がロンドンとケプラーのもとへ渡った道のり。 地図：© OpenStreetMap 協力者

October 24, 2026 読んだ
Hero Image
余弦の法則と正弦の法則

このトピックの 2 つの法則は、直角ではない三角形を扱うための主なツールです。どちらも問題を直角三角形に還元することで実証されます。最初の三角形に高さをプロットし、2 番目の三角形に直径をプロットします。 歴史 幾何学的形式では、余弦の法則はすでにユークリッドの原論 (第 2 巻、命題 12 および 13) に見られ、反対側の正方形を鈍角または鋭角と他の 2 つの平方の和と比較します (もちろん余弦については話していません)。三角関数の形では、 ペルシャの天文学者ジャムシード・ アル・カーシのミフタ・アル・ヒサブ (『算術の鍵』、1427) に登場しており、そのためフランス人はそれをアル・カーシの定理と呼んでいます。平面三角形の正弦の法則は、13 世紀にナシル・アルディン・ アルトゥシの四角形に関する論文で明言され実証されました。これは、三角法を天文学から独立した学問として扱った最初の著作です（第III章を参照）。 アル・カシとは誰だったのか ギヤス アルディン ジャムシード アル カシ (c. 1380 – 1429) は、戦争と貧困の時代にイランのカシャーンで生まれ、保護者を探して何年も費やしました。彼はそれを、サマルカンドの統治者である征服者タメルレーンの孫であり、自身も天文学者であり、サマルカンドに世界最大級の天文台を建設したウルグ・ ベクの中で発見しました。アル・カシはその主な科学者でした。彼は父親に宛てた手紙の中でウルグ・ベクの法廷について説明し、同僚たちが何日もかけて取り組んでいたであろう問題を馬に乗って真っ向から解決したことを自慢している。 1424 では、$3 \cdot 2^{28}$ 辺の多角形を使用して、16 個の正しい小数点以下の桁数で $2\pi$ を計算しました。この記録は 2 世紀近くにわたって維持されてきました。 1429 にサマルカンド近郊で不明な状況で死亡。彼が殺害されたという報告もある。 ナシル・アル・ディン・アル・トゥシ (1201 – 1274)、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン c. 300 a.C.ユークリッド (原論 II.12–13): 幾何学的形式の余弦の法則。 世紀。 ×アブ・アル・ワファ他: 球面三角形の正弦の法則。 世紀。 XIIIal-Tusi: 平面三角形の正弦の法則。 1427アル-カシ: 三角関数形式の余弦の法則。 c. 1464レジオモンタヌスは両方の法律をヨーロッパに持ち込みました。 出典: Al-Kash (MacTutor) · Al-Tusi (MacTutor) · ユークリッド、原論、第 II 巻、命題 12 および 13。

October 24, 2026 読んだ