Euler's Eyes
2026-10-24
投影、面積、接線法
4 つの定理で三角形の三角関数の性質が完成します。1 つは各辺を他の 2 つの投影に分解し、2 つは面積を与え、最後の定理は接線の法則で、辺の和と差を角度の和と差に関連付けます。
歴史
この接線の法則は、デンマーク人のトーマス フィンケが1583で発表し、その中で接線に名前を付けました（第VIII章を参照） が、 同時にフランソワ ビエテも使用しました。これは対数表の時代に非常に実用的になりました。商と積だけを扱うため、余弦の法則で必要となる二乗を加算することなく、2 つの辺とそれらの間の角度がわかる三角形を解くことができます。対数を使用すると、各乗算または除算は、表から取得した数値の加算または減算になります。
- エディンバラ近郊のマーキストン塔で、16 歳の貴族の息子として生まれる。
- 13 歳でスコットランド最古の大学に入り、学位を取らずに去る。
- 国外で学ぶ。おそらくフランスかネーデルラント。記録には場所がなく、地図上の点は目安にすぎない。
- 家の領地に自分で建てた城に住む。黙示録について書き、対数の計算を始める。
- ロバート・ローガンと、城に隠された宝を見つけて三分の一を受け取る契約を結ぶ。
- マーキストンの領主となる。対数を発表し（1614）、ブリッグスを迎え（1615）、『ラブドロギア』を出して 1617 年に亡くなる。
- グレシャム・カレッジでヘンリー・ブリッグスが本を読み、著者に会うためエディンバラへ向かう。
- ケプラーが表を見て、亡くなったことを知らずに男爵へ手紙を書き、『ルドルフ表』で対数を使う。
出典: Fincke (MacTutor) · Viète (MacTutor) · Napier (MacTutor)。
日常生活での応用
- 土地 $60^\circ$ を構成する一辺が 40 m と 30 m の三角形の土地の面積は $\frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 \operatorname{sen} 60^\circ \approx 519{,}6$ m² です。
- 不規則なエリア。 測量士や地図プログラムは、多角形を三角形に分割し、エリアを追加します。これは、土地または農場の面積を計算する方法です。
- 工事と改修 三角形の花壇用の床材や芝生を購入するには、2 つの辺とそれらの間の角度を測定するだけです。
理論
射影定理
定理射影定理
$$a = b\cos\hat{C} + c\cos\hat{B} \qquad b = a\cos\hat{C} + c\cos\hat{A} \qquad c = a\cos\hat{B} + b\cos\hat{A}$$デモを見る
最初のものを試してみましょう。他も同様です。 $\overline{AD}$ を $\overline{BC}$ に対する相対的な高さとします。
1 番目のケース: $\hat{B} < 90^\circ$ と $\hat{C} < 90^\circ$。 $D$ は $B$ と $C$ の間にあります。直角三角形では $ABD$、$BD = c\cos\hat{B}$。直角三角形 $ADC$、$DC = b\cos\hat{C}$ にあります。次に$a = BD + DC = c\cos\hat{B} + b\cos\hat{C}$。
2 番目のケース: $\hat{B}$ 鈍角 ($\hat{C}$ 鈍角の場合は対称です)。 $D$ は、$B$ を超えた $\overline{CB}$ の拡張内にあります。 $BD = c\cos(180^\circ - \hat{B}) = -c\cos\hat{B}$と$DC = b\cos\hat{C}$。次に$a = DC - DB = b\cos\hat{C} + c\cos\hat{B}$。
3 番目のケース: $\hat{B}$ または $\hat{C}$ が直線です。 $D$ は直角の頂点と一致し、式は $\cos 90^\circ = 0$ として引き続き有効です。
2 つの辺とそれらの間の角度の関数としての面積
定理三角地帯
どの三角形でも、面積は 2 つの辺の半積に、それらが形成する角度の正弦を掛けたものに等しくなります。
$$S = \frac{1}{2}bc\operatorname{sen}\hat{A} = \frac{1}{2}ac\operatorname{sen}\hat{B} = \frac{1}{2}ab\operatorname{sen}\hat{C}$$デモを見る
辺$\overline{AC}$に対する高さを$\overline{BD}$とします。 $\hat{A} < 90^\circ$ の場合、直角三角形 $ADB$ には $DB = c\operatorname{sen}\hat{A}$ があります。 $90^\circ < \hat{A} < 180^\circ$、$D$が$\overline{CA}$、$DB = c\operatorname{sen}(180^\circ - \hat{A}) = c\operatorname{sen}\hat{A}$の拡張子にある場合。どちらの場合も ($\hat{A} = 90^\circ$ の場合も)、
$$S = \frac{AC \cdot DB}{2} = \frac{b \cdot c\operatorname{sen}\hat{A}}{2}.$$他の 2 つの公式も同様に証明されます。
外接円の半径の関数としての面積
定理面積と外接半径
どの三角形でも、面積は 3 つの辺の積を外接円の半径の 4 倍で割ったものに等しくなります。
$$S = \frac{abc}{4R}$$デモを見る
正弦の法則により、$\operatorname{sen}\hat{A} = \dfrac{a}{2R}$。 $S = \dfrac{bc}{2}\operatorname{sen}\hat{A}$ の代わりに $S = \dfrac{bc}{2} \cdot \dfrac{a}{2R} = \dfrac{abc}{4R}$ が入ります。
接線の法則
定理接線の法則
二等辺三角形以外の場合は、次のことが適用されます。
$$\frac{a + b}{a - b} = \frac{\operatorname{tg}\frac{\hat{A} + \hat{B}}{2}}{\operatorname{tg}\frac{\hat{A} - \hat{B}}{2}}$$$$\frac{a + c}{a - c} = \frac{\operatorname{tg}\frac{\hat{A} + \hat{C}}{2}}{\operatorname{tg}\frac{\hat{A} - \hat{C}}{2}}$$$$\frac{b + c}{b - c} = \frac{\operatorname{tg}\frac{\hat{B} + \hat{C}}{2}}{\operatorname{tg}\frac{\hat{B} - \hat{C}}{2}}$$(数式では、差の辺は等しくない必要があり、接線が存在するには関係する角度がどれも正しくありません)。
デモを見る
サインの法則より、$\dfrac{a}{b} = \dfrac{\operatorname{sen}\hat{A}}{\operatorname{sen}\hat{B}}$。比率の性質による (「和は差になる…」):
$$\frac{a + b}{a - b} = \frac{\operatorname{sen}\hat{A} + \operatorname{sen}\hat{B}}{\operatorname{sen}\hat{A} - \operatorname{sen}\hat{B}} = \frac{2\operatorname{sen}\frac{\hat{A} + \hat{B}}{2}\cos\frac{\hat{A} - \hat{B}}{2}}{2\operatorname{sen}\frac{\hat{A} - \hat{B}}{2}\cos\frac{\hat{A} + \hat{B}}{2}} = \frac{\operatorname{tg}\frac{\hat{A} + \hat{B}}{2}}{\operatorname{tg}\frac{\hat{A} - \hat{B}}{2}}.$$他の 2 つは同様の方法で証明されます。
このセクションの演習は、章リスト.