Euler's Eyes
2026-10-24
高さ、中央値、角の二等分線、および半径
辺の寸法だけを知っていれば、三角形の注目すべき部分 (高さ、中央値、内部 角の二等分線、内接円と外接円の半径) を計算できる公式を導き出します。いずれも半周$p = \frac{a + b + c}{2}$が出現します。
歴史
三辺の面積の公式は、 実用的な測定のマニュアルであるメートル法で実証したアレキサンドリアのサギ（1世紀）にちなんで名付けられました。しかし、 ペルシャの数学者アル・ ビルーニは、それより2 世紀半も前のアルキメデスの仕業だとしました。ヘロンのデモンストレーションは純粋に幾何学的なもので、円周が刻まれています。ここで行うのは余弦の法則から始まる代数的なものです。
出典: ヘロン (MacTutor) · ヘロン、メトリック、ブック I、命題 8。
日常生活での応用
- 巻き尺だけで測った面積。 辺が 13 m、14 m、15 m の土地のプロットは、ヘロンの公式によれば、角度を測定しなくても $p = 21$、面積は $\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$ m² となります。
- 最大の円形の噴水。 同じ土地で、適合する最大の円形の噴水の半径は $r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$ m、つまり内接円周です。
- 3 つの都市に 1 つのアンテナ。 3 つの都市の等距離点が外接円の中心になります。 13、14、15 km の辺がある場合、それぞれから $R = \frac{abc}{4S} = \frac{2730}{336} \approx 8{,}1$ km です。
理論
ハイツ
定理ハイツ
$$h_a = \frac{2}{a}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$$$h_b = \frac{2}{b}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$$$h_c = \frac{2}{c}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$デモを見る
辺$c$に対する高さを$\overline{CD}$とします。直角三角形では $ADC$、$h_c = b\operatorname{sen}\hat{A}$。次に、余弦の法則を使用して、
$$h_c^2 = b^2(1 - \cos^2\hat{A}) = b^2 - b^2\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)^2 = \frac{(2bc)^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2}{4c^2}.$$分子は二乗の差です。
$$(2bc + b^2 + c^2 - a^2)(2bc - b^2 - c^2 + a^2) = [(b + c)^2 - a^2][a^2 - (b - c)^2] = (b + c + a)(b + c - a)(a - b + c)(a + b - c).$$$a + b + c = 2p$、$b + c - a = 2(p - a)$、$a - b + c = 2(p - b)$、$a + b - c = 2(p - c)$ など:
$$h_c^2 = \frac{16p(p - a)(p - b)(p - c)}{4c^2} = \frac{4p(p - a)(p - b)(p - c)}{c^2}.$$他の 2 つは類似しています。
エリア：ヘロンの方程式
定理ヘロンの公式
$$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$デモを見る
$S = \frac{a h_a}{2} = \frac{b h_b}{2} = \frac{c h_c}{2}$;上記の高さのいずれかを代入すると、次の式が得られます。
例三角形 13、14、15
$p = 21$ と $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$。高さは$h_{13} = \frac{168}{13}$、$h_{14} = 12$、$h_{15} = \frac{56}{5}$です。
中央値
定理中央値
$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$$$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}$$$$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$$デモを見る
$M$ を $\overline{BC}$ の中点とします。余弦の法則を三角形 $AMB$ と $AMC$ に適用します。ここで、$M$ の角度は補足的 (逆余弦) です。
$$c^2 = m_a^2 + \frac{a^2}{4} - a\,m_a\cos\theta \qquad b^2 = m_a^2 + \frac{a^2}{4} + a\,m_a\cos\theta.$$$b^2 + c^2 = 2m_a^2 + \frac{a^2}{2}$、つまり$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$を追加します。他も同様です。
角の二等分線 内部
定理角の二等分線 内部
$$S_a = \frac{2}{b + c}\sqrt{bcp(p - a)}$$$$S_b = \frac{2}{a + c}\sqrt{acp(p - b)}$$$$S_c = \frac{2}{a + b}\sqrt{abp(p - c)}$$デモを見る
$\overline{AS}$ を $\hat{A}$ の内部 角の二等分線 とし、$\overline{BC}$、$x = BS$、$y = SC$ に $S$ を含めます。三角形 $ABS$ と $ACS$ の正弦の法則により、$S$ の角度は補足的になります (同じ正弦 $\operatorname{sen}\theta$)。
$$\frac{x}{\operatorname{sen}\frac{\hat{A}}{2}} = \frac{c}{\operatorname{sen}\theta} \qquad \frac{y}{\operatorname{sen}\frac{\hat{A}}{2}} = \frac{b}{\operatorname{sen}\theta} \;\Longrightarrow\; \frac{x}{c} = \frac{y}{b} = \frac{x + y}{b + c} = \frac{a}{b + c},$$内部角の二等分線 定理。ロゴ$x = \frac{ac}{b + c}$。余弦の法則を三角形 $ABS$ に適用すると、次のようになります。
$$S_a^2 = x^2 + c^2 - 2xc\cos\hat{B} = \left(\frac{ac}{b + c}\right)^2 + c^2 - 2\frac{ac}{b + c} \cdot c \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}.$$分母を$(b + c)^2$にして単純化すると、分子は$bc[(b + c)^2 - a^2] = bc(a + b + c)(b + c - a) = 4bcp(p - a)$となり、式はここから来ています。
内接円の半径
定理内接円の半径
$$r = \frac{S}{p} = \sqrt{\frac{(p - a)(p - b)(p - c)}{p}}$$$$r = (p - a)\operatorname{tg}\frac{\hat{A}}{2} = (p - b)\operatorname{tg}\frac{\hat{B}}{2} = (p - c)\operatorname{tg}\frac{\hat{C}}{2}$$デモを見る
内心 $I$ を頂点に接続し、$ABC$ を高さ $r$ の 3 つの三角形 $ABI$、$ACI$、$BCI$ に分割します。
$$S = \frac{c \cdot r}{2} + \frac{b \cdot r}{2} + \frac{a \cdot r}{2} = \frac{a + b + c}{2} \cdot r = p\,r,$$ヘロンの公式を使用すると、最初の式が得られます。 2 番目の場合、$x$、$y$、$z$ を $A$、$B$、$C$ から描画された接線セグメントとします (同じ頂点の 2 つの接線は等しい)。次に $x + y = c$、$y + z = a$、$z + x = b$ と系を解くと、
$$x = \frac{b + c - a}{2} = p - a \qquad y = p - b \qquad z = p - c.$$$I$は$\hat{A}$の角の二等分線、$\operatorname{tg}\frac{\hat{A}}{2} = \frac{r}{x}$、つまり$r = (p - a)\operatorname{tg}\frac{\hat{A}}{2}$にあります。他の頂点についても同様に行います。
外接円の半径
定理外接円の半径
$$R = \frac{abc}{4S} = \frac{abc}{4\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}$$デモを見る
前のトピックで $S = \frac{abc}{4R}$ を確認しました。 $R$ を分離してヘロンの公式を使用するだけです。
このセクションの演習は、章リスト.