第 X 章の演習 — 任意の三角形

$b = 8$ と $c = 12$ を指定された辺、$\hat{A} = 120^\circ$ をそれらの間の角度と呼ぶと、余弦の法則は次のようになります。

次に$a = \sqrt{304} = 4\sqrt{19}$メートル。

余弦の法則より、$\cos\hat{A} = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{169 + 225 - 100}{2 \cdot 13 \cdot 15} = \dfrac{294}{390} = \dfrac{49}{65}$;したがって$\hat{A} = \operatorname{arc\,cos}\dfrac{49}{65}$です。

コサインの法則により、$\cos\hat{A} = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$。 $a$、$b$、$c$ が有理数である場合、分子と分母は有理数 (有理数の和と積) であり、分母は null ではありません。したがって、$\cos\hat{A}$ は有理数です。 $\cos\hat{B}$、$\cos\hat{C}$も同様です。 ( ただし、正弦は、1、$\operatorname{sen} 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ はともかく、正三角形 では不合理になる可能性があります。)

($b$ と $c$ は正の $x > 1$ になります。) $b^2 + c^2 + bc$ を計算してみましょう。

余弦の法則$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A}$と比較すると、$-2bc\cos\hat{A} = bc$、つまり$\cos\hat{A} = -\frac{1}{2}$と$\hat{A} = 120^\circ$が来ます。

$2\operatorname{sen}^2\frac{\hat{C}}{2} = 1 - \cos\hat{C}$ と直角三角形の $\cos\hat{C} = \frac{b}{a}$ として:

$a \ge b$と$a \ge c$の最大辺を$a$とする。最大の辺は最大の角と対向するため、$\hat{A} \ge \hat{B}$ と $\hat{A} \ge \hat{C}$ となり、三角形は $\hat{A}$ が直線か鋭角か鈍角かに応じて直角、鋭角、または鈍角になります。余弦の法則より、$\cos\hat{A} = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$。それから：

• a) $\hat{A} = 90^\circ \iff \cos\hat{A} = 0 \iff a^2 = b^2 + c^2$;
• b) $0^\circ < \hat{A} < 90^\circ \iff \cos\hat{A} > 0 \iff a^2 < b^2 + c^2$;
• c) $90^\circ < \hat{A} < 180^\circ \iff \cos\hat{A} < 0 \iff a^2 > b^2 + c^2$.

結論： 三角形は、 その最大の辺の二乗が他の 2 つの二乗の和に等しいか、それより小さいか、または大きいかによって直角、鋭角、鈍角になります。

サインの法則より、$2R = \dfrac{a}{\operatorname{sen}\hat{A}} = \dfrac{15}{\frac{1}{2}} = 30$ cm;次に$R = 15$cm。

$\hat{A} = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$、$\operatorname{sen} 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$。正弦の法則により、次のようになります。

合理化: $b = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ および $c = 10(\sqrt{3} - 1)$。

a) 角度 $\alpha$ と $\beta$ を持つ任意の三角形 $A'B'C'$ を作成します (形状は正しいですが、サイズは異なります)。光線上で、$A'B'C'$ の周囲長と指定された周囲長 $2p$ をマークします。タレスの定理 (相似性) により、2 つの周囲長間の比 $A'B'C'$ が縮小または拡大されます。

b) 正弦の法則により、$a = 2R\operatorname{sen}\alpha$、$b = 2R\operatorname{sen}\beta$、$c = 2R\operatorname{sen}(\alpha + \beta)$ ($\hat{C} = 180^\circ - \alpha - \beta$ であるため)。 $2p = 2R[\operatorname{sen}\alpha + \operatorname{sen}\beta + \operatorname{sen}(\alpha + \beta)]$ を追加します。したがって、$2R$ と 3 つの側面です。

角度 $A\hat{D}B$ と $A\hat{C}B$ は同じ側の同じ角度からセグメント $\overline{AB}$ を「見る」ため、点 $A$、$B$、$C$、$D$ は半径 $R$ の同じ円上にあります。三角形 $ABD$、$AB = 2R\operatorname{sen} A\hat{D}B$ の正弦の法則により、三角形$BCD$、$CD = 2R\operatorname{sen} C\hat{B}D$にあります。メンバーごとに分割すると、$\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{\operatorname{sen} A\hat{D}B}{\operatorname{sen} C\hat{B}D}$、これが論文です。

平均底辺 $\overline{C'B'}$ は $\overline{BC}$ と平行で、長さは $\frac{a}{2}$ です。これら 2 つの平行線間の距離は高さの半分です $h_a$。 $C'M$ と $B'M$ は $BC$ と等しい角度を形成するため、$C'B'$ とも等しい (交互の) 角度を形成します。三角形 $C'MB'$ は二等辺であり、その高さ $\frac{h_a}{2}$ は $\overline{C'B'}$ の中央に位置します。それから

正弦の法則により、$a = 2R\operatorname{sen}\alpha$;そして$h_a = c\operatorname{sen}\beta = 2R\operatorname{sen}\gamma\operatorname{sen}\beta$。ロゴ$\operatorname{cotg}\varphi = \dfrac{2R\operatorname{sen}\alpha}{4R\operatorname{sen}\beta\operatorname{sen}\gamma} = \dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{2\operatorname{sen}\beta\operatorname{sen}\gamma}$。

三角形 $ABY$ では、$\alpha$ を測定する $A$ の外角は、隣接しない内角 $\frac{\alpha}{2}$ と $B\hat{Y}A$ の合計に等しくなります。次に $B\hat{Y}A = \frac{\alpha}{2}$、三角形 $ABY$ は二等辺: $AY = AB = 50$ m です。直角三角形 $AXY$ 内:

点$A$、$B$、$C$から見た3つの角度を$\alpha$、$2\alpha$、$3\alpha$とし、塔の頂上を$Y$とします。演習 386 と同様に、三角形 $ABY$ は二等辺であり、$BY = 110$ m です。三角形 $BCY$ では、$Y$ の角度は $3\alpha - 2\alpha = \alpha$ を測定し、$C$ の角度は $\pi - 3\alpha$ を測定します。正弦の法則により、

高さは$BY\operatorname{sen} 2\alpha = 110 \cdot 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 88$メートルです。

$\cos 2x = 1 - 2\operatorname{sen}^2 x$の場合:

正弦の法則によれば、$a\operatorname{sen}\hat{B} = b\operatorname{sen}\hat{A}$、括弧は null です。

直角三角形は$S_b = \frac{c}{\cos(\hat{B}/2)}$と$S_c = \frac{b}{\cos(\hat{C}/2)}$、$b = a\operatorname{sen}\hat{B}$と$c = a\cos\hat{B}$です。それから

$\hat{B} = 60^\circ$の場合：$\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \dfrac{2}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$。 $\hat{B}$と$\hat{C}$では式が対称で、$\hat{B}$が$45^\circ$から離れると式が減少するため、解は$60^\circ$と$30^\circ$のみになります。

a) 弦 $AP$ は中心角 $2\alpha$: $AP = 2r\operatorname{sen}\alpha$ の範囲を定めます。また、$HP$ は $P$ の横軸です: $HP = r\cos 2\alpha = r(1 - 2\operatorname{sen}^2\alpha)$。条件 $AP - HP = r$ は $2\operatorname{sen}\alpha - 1 + 2\operatorname{sen}^2\alpha = 1$、つまり $\operatorname{sen}^2\alpha + \operatorname{sen}\alpha - 1 = 0$、$1 - \operatorname{sen}^2\alpha = \operatorname{sen}\alpha$、または $\cos^2\alpha = \operatorname{sen}\alpha$、さらには $\cos\alpha = \frac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha$ になります。

b) 二次方程式より $\operatorname{sen}\alpha = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ (もう一方の根は $-1$ より小さい)。

c) $\operatorname{sen}\alpha \approx 0{,}618034$、$\operatorname{sen} 38^\circ 10'$ と $\operatorname{sen} 38^\circ 11'$ の間。補間中: $\frac{0{,}618034 - 0{,}617951}{0{,}618180 - 0{,}617951} \cdot 60'' = \frac{83}{229} \cdot 60'' \approx 22''$。ロゴ$\alpha \approx 38^\circ 10' 22''$。

a) $S = \frac{ab}{2}\operatorname{sen}\theta$～$0 < \theta < \pi$：高さ$\frac{ab}{2}$の正弦波弧（グラフでは$\frac{ab}{2} = 1$）。

b) 最大値は $\theta = 90^\circ$ になります。

c) $\frac{\operatorname{sen} 120^\circ}{\operatorname{sen} 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \approx 1{,}732$: 約 $73\%$ の増加。

それらのすべてで $a = 2R\operatorname{sen}\hat{A}$、$b = 2R\operatorname{sen}\hat{B}$、$c = 2R\operatorname{sen}\hat{C}$、$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = \pi$ を使用するため、$\operatorname{sen}\hat{A} = \operatorname{sen}(\hat{B} + \hat{C})$ などになります。

1) $\operatorname{sen}(\hat{B} + \hat{C})\operatorname{sen}(\hat{B} - \hat{C}) = \operatorname{sen}^2\hat{B} - \operatorname{sen}^2\hat{C}$。したがって、最初のメンバーは $2R[(\operatorname{sen}^2\hat{B} - \operatorname{sen}^2\hat{C}) + (\operatorname{sen}^2\hat{C} - \operatorname{sen}^2\hat{A}) + (\operatorname{sen}^2\hat{A} - \operatorname{sen}^2\hat{B})] = 0$ の値になります。

2) $\operatorname{sen}(\hat{B} + \hat{C})\cos(\hat{B} - \hat{C}) = \frac{1}{2}(\operatorname{sen} 2\hat{B} + \operatorname{sen} 2\hat{C}) = \operatorname{sen}\hat{B}\cos\hat{B} + \operatorname{sen}\hat{C}\cos\hat{C}$; $2R$を掛けると論文が得られます。

3) 再グループ化: $(b\cos\hat{C} + c\cos\hat{B}) + (c\cos\hat{A} + a\cos\hat{C}) + (a\cos\hat{B} + b\cos\hat{A}) = a + b + c$、射影定理により。

4) $\dfrac{a^2 - b^2}{c^2} = \dfrac{\operatorname{sen}^2\hat{A} - \operatorname{sen}^2\hat{B}}{\operatorname{sen}^2\hat{C}} = \dfrac{\operatorname{sen}(\hat{A} + \hat{B})\operatorname{sen}(\hat{A} - \hat{B})}{\operatorname{sen}^2(\hat{A} + \hat{B})} = \dfrac{\operatorname{sen}(\hat{A} - \hat{B})}{\operatorname{sen}(\hat{A} + \hat{B})}$.

5) 余弦の法則により、$c^2 + a^2 - b^2 = 2ac\cos\hat{B}$ と $c^2 + b^2 - a^2 = 2bc\cos\hat{A}$ になります。商は$\dfrac{a\cos\hat{B}}{b\cos\hat{A}} = \dfrac{\operatorname{sen}\hat{A}\cos\hat{B}}{\operatorname{sen}\hat{B}\cos\hat{A}} = \dfrac{\operatorname{tg}\hat{A}}{\operatorname{tg}\hat{B}}$です。

6) $\dfrac{b + c}{a} = \dfrac{\operatorname{sen}\hat{B} + \operatorname{sen}\hat{C}}{\operatorname{sen}\hat{A}} = \dfrac{2\operatorname{sen}\frac{\hat{B} + \hat{C}}{2}\cos\frac{\hat{B} - \hat{C}}{2}}{2\operatorname{sen}\frac{\hat{A}}{2}\cos\frac{\hat{A}}{2}} = \dfrac{\cos\frac{\hat{B} - \hat{C}}{2}}{\operatorname{sen}\frac{\hat{A}}{2}}$ を $\operatorname{sen}\frac{\hat{B} + \hat{C}}{2} = \cos\frac{\hat{A}}{2}$ とします。

7) 同様に、$\dfrac{b - c}{a} = \dfrac{2\cos\frac{\hat{B} + \hat{C}}{2}\operatorname{sen}\frac{\hat{B} - \hat{C}}{2}}{2\operatorname{sen}\frac{\hat{A}}{2}\cos\frac{\hat{A}}{2}} = \dfrac{\operatorname{sen}\frac{\hat{B} - \hat{C}}{2}}{\cos\frac{\hat{A}}{2}}$を$\cos\frac{\hat{B} + \hat{C}}{2} = \operatorname{sen}\frac{\hat{A}}{2}$とします。

$a = 4$、$b = 6$、$c = 8$ の場合: $p = 9$、ヘロンの公式によれば、$S = \sqrt{9 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1} = 3\sqrt{15}$。

• 高さ ($h = \frac{2S}{\text{lado}}$): $h_a = \frac{3\sqrt{15}}{2}$、$h_b = \sqrt{15}$、$h_c = \frac{3\sqrt{15}}{4}$。
• 中央値 ($m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$): $m_a = \sqrt{46}$、$m_b = \sqrt{31}$、$m_c = \sqrt{10}$。
• 角の二等分線 ($S_a = \frac{2}{b + c}\sqrt{bcp(p - a)}$): $S_a = \frac{12\sqrt{15}}{7}$, $S_b = 2\sqrt{6}$, $S_c = \frac{6\sqrt{6}}{5}$.
• 半径: $r = \frac{S}{p} = \frac{\sqrt{15}}{3}$ および $R = \frac{abc}{4S} = \frac{16\sqrt{15}}{15}$。

角の二等分線 は三角形を $\frac{1}{2}cS_a\operatorname{sen}\frac{\hat{A}}{2}$ と $\frac{1}{2}bS_a\operatorname{sen}\frac{\hat{A}}{2}$ の 2 つの領域に分割し、その合計は $\frac{1}{2}bc\operatorname{sen}\hat{A}$ になります。したがって、$S_a = \dfrac{2bc\cos\frac{\hat{A}}{2}}{b + c} = \dfrac{900\cos 15^\circ}{45} = 20\cos 15^\circ$。

(1) を証明しましょう。他も同様です。前に角度 $\hat{A}$ で内接した円は、点 $T$、$T_c$、および $T_b$ で辺 $\overline{BC}$ と $\overline{AB}$ および $\overline{AC}$ の延長線に接します。点から描画される接線セグメントは同じです: $BT_c = BT$ と $CT_b = CT$。それから

$AT_c = AT_b$ と同様に、それぞれは $p$ を測定します。さらに$BT_c = p - c$と$CT_b = p - b$。

• 中心$I_a$は$\hat{A}$の角の二等分線にあり、直角三角形$AT_cI_a$：$r_a = p\operatorname{tg}\frac{\hat{A}}{2}$にあります。
• $I_a$ は $B$ の外角の 角の二等分線 にあり、$180^\circ - \hat{B}$ を測定します。直角三角形 $BT_cI_a$ では、$B$ の角度は $90^\circ - \frac{\hat{B}}{2}$ であるため、$r_a = (p - c)\operatorname{tg}\left(90^\circ - \frac{\hat{B}}{2}\right) = (p - c)\operatorname{cotg}\frac{\hat{B}}{2}$ になります。
• 同様に$C$の場合は$r_a = (p - b)\operatorname{cotg}\frac{\hat{C}}{2}$となります。

$r = \frac{S}{p}$ と $r_a = \frac{S}{p - a}$、$r_b = \frac{S}{p - b}$、$r_c = \frac{S}{p - c}$ (ex-内心 からの三角形分解から $S = pr$ として得られる $S = r_a(p - a)$ から) を使用します。仮説$r_a = r_b + r_c + r$は

なぜなら$(p - b) + (p - c) = a$だからです。次に$p(p - a) = (p - b)(p - c)$、つまり$p(b + c - a) = bc$です。 2 を掛けると、$(a + b + c)(b + c - a) = 2bc$、または $(b + c)^2 - a^2 = 2bc$、または $b^2 + c^2 = a^2$ になります。演習 372 により、三角形は $A$ で直角になります。

$R = \frac{abc}{4S}$ と $r = \frac{S}{p}$。つまり $R = 3r \iff abc \cdot p = 12S^2 = 12p(p - a)(p - b)(p - c) \iff abc = 12(p - a)(p - b)(p - c)$、そして $p - a = \frac{b + c - a}{2}$ などと同様に $2abc = 3(b + c - a)(a + c - b)(a + b - c)$ です。

内心 $I$ は $\hat{A}$ から 角の二等分線 上にあり、$\overline{AB}$ 側から $r$ 離れています: $\alpha = AI = \dfrac{r}{\operatorname{sen}\frac{\hat{A}}{2}}$。 $\beta$と$\gamma$についても同様です。演習 410、$\operatorname{sen}\frac{\hat{A}}{2}\operatorname{sen}\frac{\hat{B}}{2}\operatorname{sen}\frac{\hat{C}}{2} = \frac{r}{4R}$ の関係 VII による。それから

出力されたステートメントの 2 番目のメンバーには $\frac{abc}{2p}$ がありますが、これは要因 2 によって間違っています。正三角形 側では 1、$\frac{\alpha\beta\gamma}{r} = \frac{2}{3}$、一方 $\frac{abc}{2p} = \frac{1}{3}$。

なれ $R$ そして $R'$ 外接円の半径。我々は持っています $\operatorname{sen}\hat{A}' = \operatorname{sen}\hat{A}$, $\operatorname{sen}\hat{B}' = \operatorname{sen}\hat{B}$ そして $\hat{C}' = \pi - \hat{A}' - \hat{B}' = \hat{A} - \hat{B}$。正弦の法則により、

$\operatorname{sen}(\hat{A} + \hat{B})\operatorname{sen}(\hat{A} - \hat{B}) = \operatorname{sen}^2\hat{A} - \operatorname{sen}^2\hat{B}$とすると、$bb' + cc' = 4RR'\operatorname{sen}^2\hat{A} = (2R\operatorname{sen}\hat{A})(2R'\operatorname{sen}\hat{A}') = aa'$となります。

$a = 2R\operatorname{sen}\hat{A}$(等)、$S = \frac{1}{2}ab\operatorname{sen}\hat{C} = 2R^2\operatorname{sen}\hat{A}\operatorname{sen}\hat{B}\operatorname{sen}\hat{C}$、$S = pr$、$abc = 4RS$、内接円の図から$\operatorname{tg}\frac{\hat{A}}{2} = \frac{r}{p - a}$(等)とします。

1) $\frac{1}{4}(a^2 \cdot 2\operatorname{sen}\hat{B}\cos\hat{B} + b^2 \cdot 2\operatorname{sen}\hat{A}\cos\hat{A}) = 2R^2\operatorname{sen}\hat{A}\operatorname{sen}\hat{B}(\operatorname{sen}\hat{A}\cos\hat{B} + \operatorname{sen}\hat{B}\cos\hat{A}) = 2R^2\operatorname{sen}\hat{A}\operatorname{sen}\hat{B}\operatorname{sen}\hat{C} = S$.

2) $a^2 - b^2 = 4R^2(\operatorname{sen}^2\hat{A} - \operatorname{sen}^2\hat{B}) = 4R^2\operatorname{sen}\hat{C}\operatorname{sen}(\hat{A} - \hat{B})$;置き換えると、2 番目のメンバーは $2R^2\operatorname{sen}\hat{A}\operatorname{sen}\hat{B}\operatorname{sen}\hat{C} = S$ になります。

3) $\operatorname{cotg}\frac{\hat{A}}{2} = \frac{p - a}{r}$ (など) の場合、最初のメンバーは $\frac{1}{r}[(b - c)(p - a) + (c - a)(p - b) + (a - b)(p - c)]$ の価値があります。 $p$ の項を合計すると $p \cdot 0$、その他の項を合計すると $-[(b - c)a + (c - a)b + (a - b)c] = 0$ になります。

4) 余弦の法則により、$\operatorname{cotg}\hat{A} = \frac{\cos\hat{A}}{\operatorname{sen}\hat{A}} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4S}$ (など)。最初のメンバーに $4S$ を掛けます: $(b^2 - c^2)(b^2 + c^2 - a^2) + (c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2) + (a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2)$。分割払い $b^4 - c^4 + c^4 - a^4 + a^4 - b^4$ の合計はゼロになり、残りも $-a^2(b^2 - c^2) - b^2(c^2 - a^2) - c^2(a^2 - b^2)$ になります。

5) 商品の価値は$\dfrac{r^3}{(p - a)(p - b)(p - c)} = \dfrac{r^3 p}{S^2} = \dfrac{r^3p}{p^2r^2} = \dfrac{r}{p}$です。

6) $q = ab + bc + ca$ の場合: $(p - a)(p - b)(p - c) = pr^2$ を展開して $abc = 4Rrp$ を使用すると、$q = p^2 + r^2 + 4Rr$ が得られます。それで

7) $\operatorname{sen}^2\frac{\hat{A}}{2} = \frac{1 - \cos\hat{A}}{2} = \frac{a^2 - (b - c)^2}{4bc} = \frac{(p - b)(p - c)}{bc}$ (など)。 3つの正方形の積は$\dfrac{[(p - a)(p - b)(p - c)]^2}{(abc)^2} = \dfrac{(pr^2)^2}{(4Rrp)^2} = \dfrac{r^2}{16R^2}$です。

8) $\cos\hat{A} + \cos\hat{B} = 2\operatorname{sen}\frac{\hat{C}}{2}\cos\frac{\hat{A} - \hat{B}}{2}$ と $\cos\hat{C} = 1 - 2\operatorname{sen}^2\frac{\hat{C}}{2}$。 $\operatorname{sen}\frac{\hat{C}}{2} = \cos\frac{\hat{A} + \hat{B}}{2}$ として、合計は (7) に対して $1 + 2\operatorname{sen}\frac{\hat{C}}{2}\left[\cos\frac{\hat{A} - \hat{B}}{2} - \cos\frac{\hat{A} + \hat{B}}{2}\right] = 1 + 4\operatorname{sen}\frac{\hat{A}}{2}\operatorname{sen}\frac{\hat{B}}{2}\operatorname{sen}\frac{\hat{C}}{2} = 1 + \frac{r}{R}$ の価値があります。

9) $a\cos\hat{A} + b\cos\hat{B} + c\cos\hat{C} = R(\operatorname{sen} 2\hat{A} + \operatorname{sen} 2\hat{B} + \operatorname{sen} 2\hat{C}) = 4R\operatorname{sen}\hat{A}\operatorname{sen}\hat{B}\operatorname{sen}\hat{C} = \frac{2S}{R} = \frac{2pr}{R}$、$\operatorname{sen} 2\hat{A} + \operatorname{sen} 2\hat{B} = 2\operatorname{sen}\hat{C}\cos(\hat{A} - \hat{B})$ と $\operatorname{sen} 2\hat{C} = -2\operatorname{sen}\hat{C}\cos(\hat{A} + \hat{B})$ を使用します。

$S = 2R^2\operatorname{sen}\hat{A}\operatorname{sen}\hat{B}\operatorname{sen}\hat{C}$ と $\operatorname{sen}\hat{A} = \operatorname{sen}(\hat{B} + \hat{C})$ として、$R$ が得られます。側面は正弦の法則から来ています。印刷されたテンプレートは、2 の要素なしで $a = R\operatorname{sen}(\hat{B} + \hat{C})$ などを書き込みます。正三角形 側の 1 は、$a = \frac{1}{2}$ になります。