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積の法則：一つの計算に二つの変化

$u$ がどう変わり、$v$ がどう変わるかわかっているとき、積 $uv$ はどう変わるでしょうか。自然な予想は変化同士を掛けること、$d(uv)=du\cdot dv$ です。なんとも対称的で、エレガントに見えます…… ライプニッツも同じ予想をしました。 ライプニッツの検証と失敗 文字 $d$ を使い始めた 1675 年 11 月 11 日の同じ手稿で、ライプニッツは自問しました。$d(xy)$ は $dx\,dy$ と等しいのか、$d\!\left(\frac xy\right)$ は $\dfrac{dx}{dy}$ と等しいのか。彼はエレガントさを信じるかわりに、例を使って確かめ、成り立たないことを見つけました。数日後、彼は正しい法則を見つけました。 これは大切な教訓です。微積分の発明者でさえまちがえ、彼らを救ったのは検算でした。 自分でも試してみましょう。$u=x$、$v=x$ とすると積は $x^2$ で、その導関数は $2x$。ところが導関数同士の積は $1\cdot1=1$。合いません。 大きくなる長方形 $u$ と $v$ を長方形の 2 辺、$uv$ をその面積と考えましょう。2 辺をほんの少しずつ増やします。$u$ は $u+du$ に、$v$ は $v+dv$ になります。 新しい面積は $(u+du)(v+dv)$ です。どれだけ増えたでしょうか。 $$d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=v\,du+u\,dv+du\,dv.$$幾何学的には、長方形は三つの部分を得ました。面積 $v\,du$ の細長い帯、面積 $u\,dv$ のもう一本の細長い帯、そして角にある面積 $du\,dv$ の小さな正方形です。 小さな正方形は二つの無限小の量の積なので、帯に比べて無限に小さい。ライプニッツはそれを無視して、 $$d(uv)=u\,dv+v\,du$$を得ました。予想の $du\,dv$ は、まさにどうでもいい部分だったのです。 極限を使った書き方 今日では $p(x)=f(x)\,g(x)$ と書き、増加分を増分 $h\ne0$ で割ります。 $$\frac{\Delta p}{h}=g\,\frac{\Delta f}{h}+f\,\frac{\Delta g}{h}+\frac{\Delta f}{h}\,\Delta g.$$$h\to0$ のとき、最初の 2 項はそれぞれ $gf'$ と $fg'$ に近づきます。最後の項はゼロに近づきます。$\dfrac{\Delta f}{h}$ は決まった数 $f'$ に近づき、$\Delta g$ はゼロに近づくからです。したがって

October 6, 2026 読んだ
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流率：瞬間の変化をどう測るか

ある車が、90 キロ離れた別の街まで 1 時間で着きました。平均の速さは時速 90 キロです。でも速度計は、一瞬ごとに違う数字を示していました。速度計はいったい何を測っているのでしょうか。速さは距離を時間で割ったものですが、一瞬のあいだには距離も進まず、時間も経ちません。ゼロをゼロで割っても答えは出ません。 これこそ、1665 年にニュートンが答えようとした問いでした。その答えが流率法です。 流れる量 ニュートンは、変化する量を、川の水のように時間とともに流れるものと考えました。流れる量を流量（フルーエント）、それが流れる速さを流率（フラクション）と呼びました。流率を表すには、文字の上に小さな点を打ちました。1704 年に出版された『曲線の求積について』で、彼はこう書いています。 $x$、$y$、$z$ を流量とし、その流率をそれぞれ $\dot x$、$\dot y$、$\dot z$ で表す。 — アイザック・ニュートン『曲線の求積について』（1704） $x$ が位置なら、$\dot x$ は速度です。言いかえれば、速度は空間から「流れ出る」のです。二つの点 $\ddot x$ は流率の流率、つまり加速度を表します。 ニュートンの計算 $y=x^2$ がどう変化するかを調べるため、ニュートンはごく短い時間を流しました。それを $o$ と書きます。その間に $x$ は $x+\dot x\,o$ に、$y$ は $y+\dot y\,o$ になります。関係 $y=x^2$ は変わらず成り立つので、 $$y+\dot y\,o=(x+\dot x\,o)^2=x^2+2x\dot x\,o+\dot x^2o^2.$$両辺から $y=x^2$ を引いて $o$ で割ると、 $$\dot y=2x\dot x+\dot x^2\,o.$$ここで大胆な一歩です。$o$ は「無限に小さい」ので、ニュートンは最後の項を捨てました。残るのは $\dot y=2x\dot x$、つまり $y$ は $x$ の $2x$ 倍の速さで変化する、ということです。 消え去った量の亡霊 $o$ で割っておきながら、その後 $o$ をゼロとみなす。この一歩は多くの人を悩ませました。1734 年、アイルランドの主教ジョージ・バークリーは『解析家』を出版して微積分を攻撃し、現れたり消えたりするこの量は「消え去った量の亡霊」ではないかと問いました。批判はもっともでした。答えが出たのは 19 世紀、コーシーとワイエルシュトラスによる極限の定義によってです。

October 6, 2026 読んだ
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極大、極小、変曲点

『解析教程』の第二部は微分法にあてられており、その主な応用のひとつは、学生なら誰もが学ぶ極大と極小の求め方である。アニェージは曲線や幾何の問題の例を何十もあげてこの方法を教えるが、手順はいつも同じだ。量を式に書き、微分し、微分をゼロとおき、確かめる。 いちばん高い点 極大や極小の点では、曲線は一瞬だけ水平になる。接線の傾きがゼロになるのである。接線の傾きは導関数だから、極大と極小の候補は $y' = 0$ となる点である。 $a = 1$ のアニェージの曲線では $y = \frac{1}{1 + x^2} = (1 + x^2)^{-1}$ である。合成関数の微分法により $$y' = -(1 + x^2)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2}.$$導関数がゼロになるのは $x = 0$ だけである。$x < 0$ では正（曲線は上がる）、$x > 0$ では負（曲線は下がる）。したがって $x = 0$ が極大で、$y = 1$ である。 曲がり方が変わるところ 頂上の近くでは、ヴェルシエラはふたのように下向きに曲がっている。頂上から離れ、軸に近づくところでは、おわんのように上向きに曲がっている。曲がる向きが変わる点を変曲点という。アニェージは当時の数学者たちと同じく、二階の微分を使って変曲点を見つけた。$y''$ の符号が変わるところで、曲がる向きが変わるのである。 商の微分法で $y'$ を微分すると $$\begin{aligned} y'' &= \frac{-2(1 + x^2)^2 + 2x \cdot 2(1 + x^2) \cdot 2x}{(1 + x^2)^4} \\ &= \frac{-2(1 + x^2) + 8x^2}{(1 + x^2)^3} = \frac{6x^2 - 2}{(1 + x^2)^3}. \end{aligned}$$分母はつねに正だから、符号は $6x^2 - 2$ の符号で決まり、これは次の点でゼロになる。

October 29, 2026 読んだ
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導関数と積分

『解析教程』の二年後、コーシーは『王立エコール・ポリテクニークにおける無限小計算講義要録』（1823）を出版した。四十の短い講義で、彼は微分学と積分学を極限の考えで建て直した。これは本質的に、微積分の教科書が今日でもしたがっている筋道である。 導関数 ラグランジュにとって、$f$ の導関数とは、$f(x + i)$ のべき級数における $i$ の係数だった。コーシーはそれを極限として定義した。 $$f'(x) = \lim_{i \to 0} \frac{f(x + i) - f(x)}{i}.$$$f(x) = x^2$ なら、$\frac{(x + i)^2 - x^2}{i} = \frac{2xi + i^2}{i} = 2x + i$ で、これは $2x$ に向かう。$i$ が「無限に小さい」と仮定する必要も、何かを捨てる必要もない。$i \neq 0$ で商を計算し、それがどこへ向かうかを見ればよい。 積分 それまで、積分するとはおもに原始関数を見つけることだった。積分は微分の逆だったのである。コーシーは順序を逆にし、積分を直接定義した。$f$ が $[x_0, X]$ で連続なとき、区間を点 $x_0 < x_1 < \cdots < x_n = X$ で分け、和 $$S = (x_1 - x_0) f(x_0) + (x_2 - x_1) f(x_1) + \cdots + (X - x_{n-1}) f(x_{n-1})$$をつくる。コーシーは、すべての小区間が小さくなるとき、$S$ が区間の分け方によらない極限に近づくことを証明した。この極限が積分 $\int_{x_0}^{X} f(x)\,dx$ である。三十年後、リーマンはこの定義を不連続な関数にまで広げ、各小区間で任意の点を選べるようにした。

October 31, 2026 読んだ
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dy/dx は分数か

微積分の先生はよく、二つのことを同時に言う。「$\frac{dy}{dx}$ は分数ではない」と「$du$ は分数のように約してよい」。どちらも正しく、それこそがライプニッツの記法の強さであり危うさである。それは分数のように見え、たいていの計算では分数のようにふるまう。似ていることがどこで通用し、どこで崩れるかを知ることは、数学を読むうえで最も繊細な能力の一つである。 うまくいくところ 連鎖律。 $y$ が $u$ に、$u$ が $x$ に依存するなら $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.$$$du$ が分数のように「約される」。$y=(x^2+1)^{10}$ で $u=x^2+1$ とすると、$\frac{dy}{du}=10u^9$、$\frac{du}{dx}=2x$ なので、$\frac{dy}{dx}=20x(x^2+1)^9$。 逆関数。 $y=e^x$ なら $x=\ln y$ で、 $$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}=\frac1{e^x}=\frac1y.$$分数をひっくり返すと、$\ln y$ の導関数が出てくる。ほかの記法では定理を要する規則が、ここでは紙を裏返すだけで出てくる。 変数分離。 $\frac{dy}{dx}=ky$ では、$dx$ を「反対側へ移す」。 $$\frac{dy}{y}=k\,dx\quad\Longrightarrow\quad\ln y=kx+C\quad\Longrightarrow\quad y=Ce^{kx}.$$厳密な数学者は「反対側へ移す」に顔をしかめるが、結果は正しく、この種の計算ではいつも正しいことを保証する定理がある。 崩れるところ 2 階導関数。 $\frac{d^2y}{dx^2}$ という書き方は「$d^2y$ を $dx^2$ で割る」と言っているように見え、$\frac{d^2y}{dx^2}=\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ だと結論したくなる。$y=x^2$ では $\frac{d^2y}{dx^2}=2$ だが、$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=4x^2$。まったく関係がない。さらに悪いことに、2 階導関数の連鎖律は 2 階導関数どうしの積ではない。 $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d^2y}{du^2}\left(\frac{du}{dx}\right)^2+\frac{dy}{du}\cdot\frac{d^2u}{dx^2}$$で、どんな「約分」も予告しない項が一つ余計にある。 偏導関数。 理想気体では $pV=nRT$ である。三つの量のどれも、残りの二つの関数として書けて、偏導関数は $$\frac{\partial p}{\partial V}=-\frac{p}{V},\qquad\frac{\partial V}{\partial T}=\frac{nR}{p},\qquad\frac{\partial T}{\partial p}=\frac{V}{nR}.$$もし分数なら、積は約されて $1$ になるはずである。ところが $$\frac{\partial p}{\partial V}\cdot\frac{\partial V}{\partial T}\cdot\frac{\partial T}{\partial p}=-\frac pV\cdot\frac{nR}p\cdot\frac{V}{nR}=-1.$$マイナスは、記法が隠しているものから来る。それぞれの $\partial$ は別々の変数を固定しており、その変数は書かれていない。一つめの因子の $\partial p$ と三つめの因子の $\partial p$ は同じ対象ではない。物理学者はこれを知っていて、熱力学では固定する変数を添字で書く。$\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T$。

October 18, 2026 読んだ
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Δ から d へ：縮んでいく差

ある車が午後 2 時に 120 キロ地点を、3 時に 210 キロ地点を通過した。平均の速さは $$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{210-120}{15-14}=90\ \text{km/h}$$である。ギリシア文字の大文字デルタ $\Delta$ は、ギリシア語の $D$ で、差（difference）を表す。$\Delta s$ は「デルタかける $s$」ではない。「$s$ がどれだけ変わったか」を意味する一つの記号である。物差しと時計があればできる、本物の数による計算である。 しかし速度計が示すのは一時間の平均の速さではない。今の速さである。そして「今」には長さがない。$\Delta t=0$ で、ゼロで割ることには意味がない。微積分はこの行き詰まりを極限への移行によって解き、その記法は形を変えずに移行についていく。 縮んでいく分数 $y=x^2$ と点 $x=a$ をとる。右へ $\Delta x$ 進むと、$y$ の変化は $$\Delta y=(a+\Delta x)^2-a^2=2a\,\Delta x+(\Delta x)^2,$$平均変化率は $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=2a+\Delta x$$である。ここで $\Delta x$ を縮めていく。変化率は $2a$ に近づき、残りの $\Delta x$ は消える。残ったものにライプニッツの名がつく。 $$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=2a.$$記法が何をしたかに注目しよう。分数 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ が分数 $\frac{dy}{dx}$ になった。形は保たれ、ギリシア文字がラテン文字に替わっただけである。$d$ は縮んだ $\Delta$ なのである。この見た目の連続性は大きな強みである。有限の差の分数を扱える人は、すでに導関数の扱い方について直感をもっている。そしてこれは誤りの源でもある。導関数は二つの数の分数ではない。似ていることがどこで崩れるかは次の文章で示す。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 Δy は dy ではない 現代の書き方では、$\Delta y$ と $dy$ は別のものであり、区別しておく価値がある。歩幅 $\Delta x$ に対して、

October 18, 2026 読んだ
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導関数の四つの書き方

$y=x^3$ なら、導関数は $3x^2$ である。ここまでは誰もが同じように書く。違うのは、その導関数につける名前である。物理の本では $\dot y$、微積分の本では $\frac{dy}{dx}$ か $f'(x)$、微分方程式の本では $Dy$ と書かれている。同じ対象に四つの記号があり、どれもほかを打ち負かしてはいない。 四つの書き方 記法 考案者 時期 読み方 $\dot y$ アイザック・ニュートン 1660 年代、1704 年に出版 $y$ の流率、$y$ が時間とともに流れる速さ $\dfrac{dy}{dx}$ ゴットフリート・ライプニッツ 1675 年、1684 年に出版 無限に小さな二つの差の比 $f'(x)$ ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ 1797 年 $f$ の導関数の $x$ での値 $Df$ ルイ・アルボガスト 1800 年 関数 $f$ に施した演算子 $D$ ニュートンの点とライプニッツの $d$ の争いは、第1章のライプニッツと微積分ですでに語った。ここで問題にしたいのは別の問いである。それぞれの書き方は何を見せ、何を落としているのか。 それぞれが見せるもの ニュートンの点は、変数が時間であることを示す。$dt$ は書かれない。ニュートンにとって、すべての量は時間のなかを流れるからである。経済的な書き方で、$\ddot x$ は加速度、第二法則は $m\ddot x=F$ となる。しかし変数が時間でないとき、何について微分しているのかを言えない。だから物理学のなかでしか生き残らなかった。 ライプニッツの $\frac{dy}{dx}$ は二つの変数を見せる。何が変わるか（$y$）と、何について変わるか（$x$）。しかも分数の形をしているので、連鎖律のように計算がひとりでに進む。四つのなかで最も能動的な記法であり、同時に最も人を惑わす記法でもある。それがいつなのかは第3の文章で示す。 ラグランジュの $f'(x)$ は、導関数が $f$ から生まれた新しい関数であることを見せる。変化も、無限小も、時間も語らない。ある関数が別の関数を生むことだけを語る。それがまさにラグランジュの意図だった。 アルボガストの $D$ は、微分することが掛け算と同じ演算であることを見せる。$Df$ と書けば、数に対してすることを $D$ に対してもしたくなる。2 乗する、足す、因数分解する。それがどこまで行けるかは第4の文章で示す。

October 18, 2026 読んだ