Euler's Eyes
2026-10-18
導関数の四つの書き方
$y=x^3$ なら、導関数は $3x^2$ である。ここまでは誰もが同じように書く。違うのは、その導関数につける名前である。物理の本では $\dot y$、微積分の本では $\frac{dy}{dx}$ か $f'(x)$、微分方程式の本では $Dy$ と書かれている。同じ対象に四つの記号があり、どれもほかを打ち負かしてはいない。
四つの書き方
| 記法 | 考案者 | 時期 | 読み方 |
|---|---|---|---|
| $\dot y$ | アイザック・ニュートン | 1660 年代、1704 年に出版 | $y$ の流率、$y$ が時間とともに流れる速さ |
| $\dfrac{dy}{dx}$ | ゴットフリート・ライプニッツ | 1675 年、1684 年に出版 | 無限に小さな二つの差の比 |
| $f'(x)$ | ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ | 1797 年 | $f$ の導関数の $x$ での値 |
| $Df$ | ルイ・アルボガスト | 1800 年 | 関数 $f$ に施した演算子 $D$ |
ニュートンの点とライプニッツの $d$ の争いは、第1章のライプニッツと微積分ですでに語った。ここで問題にしたいのは別の問いである。それぞれの書き方は何を見せ、何を落としているのか。
それぞれが見せるもの
ニュートンの点は、変数が時間であることを示す。$dt$ は書かれない。ニュートンにとって、すべての量は時間のなかを流れるからである。経済的な書き方で、$\ddot x$ は加速度、第二法則は $m\ddot x=F$ となる。しかし変数が時間でないとき、何について微分しているのかを言えない。だから物理学のなかでしか生き残らなかった。
ライプニッツの $\frac{dy}{dx}$ は二つの変数を見せる。何が変わるか（$y$）と、何について変わるか（$x$）。しかも分数の形をしているので、連鎖律のように計算がひとりでに進む。四つのなかで最も能動的な記法であり、同時に最も人を惑わす記法でもある。それがいつなのかは第3の文章で示す。
ラグランジュの $f'(x)$ は、導関数が $f$ から生まれた新しい関数であることを見せる。変化も、無限小も、時間も語らない。ある関数が別の関数を生むことだけを語る。それがまさにラグランジュの意図だった。
アルボガストの $D$ は、微分することが掛け算と同じ演算であることを見せる。$Df$ と書けば、数に対してすることを $D$ に対してもしたくなる。2 乗する、足す、因数分解する。それがどこまで行けるかは第4の文章で示す。
無限小に反対したラグランジュ
18 世紀の終わり、微積分はとてもうまく働き、とてもまずく説明されていた。$dx$ が何なのかを誰も言えなかった。それで割るのだからゼロではありえない。最後には捨てるのだからゼロでないともいえない。ラグランジュは思い切った出口を試みた。どの関数もべき級数で書けると仮定したのである。
$$f(x+h)=f(x)+p\,h+q\,h^2+\cdots$$$h$ の係数 $p$ は $x$ の新しい関数であり、彼はそれを導関数（fonction dérivée）と呼んで $f'(x)$ と書いた。今日使われる「導関数」という言葉はここから来ている。$f(x)=x^3$ なら
$$(x+h)^3=x^3+3x^2\,h+3x\,h^2+h^3$$で、$h$ の係数は $3x^2$ である。無限小も極限もない。代数だけである。記号 $f'$ はこの哲学を運んでいる。ダッシュは「〜の導関数」を意味し、「小さな量の比」を意味しない。
ラグランジュの計画は失敗した。べき級数で書けない関数があるからである。19 世紀には、コーシーの極限が基礎の役目を引き継いだ。しかし記法は、それを生んだ哲学より長く生き延びた。
分野ごとの書き方
今日では四つが並んで使われ、それぞれの分野が自分にいちばん役立つものを選んでいる。
- 力学は点を使う。ほとんどすべてを時間で微分するからである。$\dot x$ は速度、$\ddot x$ は加速度。
- 解析学は $f'(x)$ を使う。関数を対象として考えるからである。
- 応用の微積分は $\frac{dy}{dx}$ を使う。たえず変数を取り替えるからである。
- 微分方程式は $D$ を使う。導関数を代数的に操作したいからである。
数学をよく読む人は、気づかないうちにある書き方から別の書き方へ移っている。初学者は、四つが同じものを語っていることを学ばなければならない。それは自明ではない。$\dot y$ の形のどこにも $f'(x)$ を思わせるものはないからである。
練習：同じ計算を四つの書き方で
$y=x^3$ の 2 階導関数を四つの記法で書け。ニュートンについては $x$ を時間とする。
ニュートン：$\ddot y=6x$。ライプニッツ：$\frac{d^2y}{dx^2}=6x$。ラグランジュ：$f''(x)=6x$。アルボガスト：$D^2y=6x$。対象はいつも同じ関数 $6x$ である。変わるのは、そこへたどり着くために各記法が示す道筋である。
練習：ラグランジュの導関数
ラグランジュの方法で $f(x)=x^2+5x$ の導関数を求めよ。
$f(x+h)=(x+h)^2+5(x+h)=x^2+5x+(2x+5)\,h+h^2$。$h$ の係数は $2x+5$ なので、$f'(x)=2x+5$。$h$ で割る必要も、$h$ をゼロに近づける必要もなかったことに注意しよう。