ラプラス変換
対数は掛け算を足し算に変える。二つの数を掛けるには、それぞれの対数を足して元に戻せばよい。ラプラス変換は微分方程式に対して似たことをする。微分を掛け算に置きかえるのである。代数の方程式を解いてから、元に戻す。
起源 ラプラスはこの考えに確率論を通じてたどり着いた。1812 年の『確率の解析的理論』で、彼は母関数を使って計算を整理した。確率の列をそのまま扱うかわりに、それらをすべて収めたひとつの関数を扱ったのである。この考えの連続版が次の積分で、オイラーも以前に使っていたが、ラプラスはこれを系統的に調べた。
$$F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.$$各関数 $f(t)$ は新しい関数 $F(s)$、すなわちそのラプラス変換になる。これを $\mathcal{L}\{f\}$ と書く。
いくつかの例 定数 $f(t) = 1$ では
$$\mathcal{L}\{1\} = \int_0^{\infty} e^{-st}\,dt = \left[-\frac{e^{-st}}{s}\right]_0^{\infty} = \frac{1}{s} \quad (s > 0).$$指数関数 $f(t) = e^{at}$ では、指数どうしがまとまる。
$$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_0^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt = \frac{1}{s-a} \quad (s > a).$$微分が掛け算になる 変換を役に立つものにしている性質は、部分積分から出てくる。
$$\mathcal{L}\{f'\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f'(t)\,dt = \Big[e^{-st}f(t)\Big]_0^{\infty} + s\int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt = sF(s) - f(0).$$$f$ を微分することは、$F$ に $s$ を掛ける（そして初期値を引く）ことに対応する。微分方程式は代数の方程式になり、初期値ははじめから計算に組みこまれている。
ある回路 電池につないだ抵抗とコンデンサの回路では、コンデンサの電圧 $y(t)$ は、都合のよい単位で
$$y' + y = 1, \qquad y(0) = 0$$に従う。両辺を変換すると $sY - 0 + Y = \frac{1}{s}$、すなわち
