微分法はひとつの問いに答える。曲線が与えられたとき、各点での接線は何か。十七世紀の数学者たちは、逆の問いのほうが難しく、しかも役に立つことにすぐ気づいた。接線がもつべき性質が与えられたとき、曲線は何か。この問題は接線の逆方法と呼ばれ、『解析教程』の第四部、最後の部の主題になっている。今日ではこれを微分方程式を解くという。

1638 年の問題

この種の問題の最初期のひとつは、1638 年にフランスの法律家で数学愛好家のフロリモン・ド・ボーヌがルネ・デカルトに出したものである。デカルトはそれを完全には解けなかった。解決したのは 1684 年、ライプニッツが微積分についての最初の論文を発表し、求める曲線が対数にかかわることを示したときだった。新しい方法が、古い幾何学の届かない問題を解けることの証明だった。

一定の接線影

当時の教科書によく見られる古典的な例に、接線影を使うものがある。曲線上の点 $(x, y)$ で接線を引き、$x$ 軸と交わるところまで延ばす。接線影とは、その交点と縦座標の足とのあいだの水平距離である。その距離のあいだに接線は $y$ だけ上がるから、傾きは $y' = \frac{y}{s}$、すなわち

$$s = \frac{y}{y'}.$$

接線影がどの点でも一定で $k$ に等しい曲線は何か。条件は $y' = \frac{y}{k}$ である。変数を分離する、つまり $y$ にかかわるものを一方に、$x$ にかかわるものを他方に集めると

$$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{k} \quad\Longrightarrow\quad \ln y = \frac{x}{k} + C \quad\Longrightarrow\quad y = A\,e^{x/k}.$$

接線影が一定の曲線は指数関数であり、当時は「対数曲線」と呼ばれていた。

ヴェルシエラも解である

アニェージの曲線そのものも、ある微分方程式の解になっている。$a = 1$ で $y = \frac{1}{1 + x^2}$ とすると、導関数は

$$y' = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2} = -2x \cdot \left(\frac{1}{1 + x^2}\right)^2 = -2x\,y^2.$$

つまりヴェルシエラは、各点での接線の傾きが高さの二乗の $-2x$ 倍になる曲線なのである。下の練習では逆にたどり、この性質から出発して曲線を取りもどす。

練習：ヴェルシエラを取りもどす

条件 $y(0) = 1$ のもとで、方程式 $y' = -2x\,y^2$ を解け。

変数を分離すると $\frac{dy}{y^2} = -2x\,dx$。両辺を積分して $-\frac{1}{y} = -x^2 - C$、すなわち $\frac{1}{y} = x^2 + C$。$x = 0$ で $y = 1$ だから $C = 1$。よって $y = \frac{1}{1 + x^2}$、アニェージの曲線である。

練習：一定の法線影

曲線上の点での法線影とは、縦座標の足と、法線（接線に垂直な直線）が $x$ 軸と交わる点とのあいだの水平距離であり、$y\,y'$ に等しい。法線影が一定で $k$ に等しい曲線は何か。

条件は $y\,y' = k$ である。変数を分離して $y\,dy = k\,dx$、積分すると $\frac{y^2}{2} = kx + C$。曲線は $y^2 = 2kx + 2C$ で、軸が水平な放物線である。たとえば $k = 2$ なら $y^2 = 4x + 2C$ となる。

出典： Maria Gaetana Agnesi、Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana、第 II 巻（1749）、第 IV 部 · Gottfried Wilhelm Leibniz、「Nova methodus pro maximis et minimis」、Acta Eruditorum（1684） · Morris Kline、Mathematical Thought from Ancient to Modern Times（1972）、第 21 章。

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