$\text{XLVII}$ に $\text{XII}$ をかけてみてください。私たちの数字に直さずに、です。 どこから手をつければいいのかさえわかりません。$\text{XLVII}$ の $\text{X}$ は十ですが、$\text{L}$ の前にあるので引き算になり、$\text{XL}=40$ です。$\text{V}$ はどこにあっても五です。一の位の列も十の位の列もなく、それぞれの記号が、自分の形に値をぶらさげています。同じ計算を $47\times 12$ と書けば、二行で終わります。 $$47\times 12 = 47\times 10 + 47\times 2 = 470 + 94 = 564.$$答えはローマ数字で $\text{DLXIV}$ です。ローマ人が計算下手だったわけではありません。彼らは単に数字そのもので計算しなかったのです。計算はそろばんや線を引いた台の上の小石で行い、数字は結果を書きとめるためだけに使いました。小石はラテン語で calculus といいます。英語の calculation（計算）はここから来ています。 数字の値は位置で決まる 私たちが使っているのは位取りの仕組みです。同じ形でも、置かれた位置によって値が変わります。$205$ の $2$ は二百、$25$ の $2$ は二十、$2$ の $2$ は二です。 ゼロが十の位を守っている。ゼロがなければ、205 は 25 になってしまう。この本のために作成した説明図。 記号論のことばで言えば、数字 $2$ 単独では不完全な記号です。その意味を完成させるのは位置であり、ある位が空のとき、その位置を守るのがゼロです。$205$ のような書き方の値は、三つの形のどれかにあるのではなく、それらを組み立てる規則の中にあります。 $$205 = 2\cdot 10^2 + 0\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0.$$だから位取り記数法は、生きた記法の完璧な例なのです。学校で習うたし算・ひき算・かけ算・わり算の規則（「くり上がり」「くり下がり」）は、この書き方が一の位の下に一の位を、十の位の下に十の位をそろえるからこそ存在します。計算は、そろばんなしで、紙の上そのもので行われるのです。 ゼロまでの長い旅 バビロニア人は紀元前 1800 年ごろには、すでに 60 進法の位取りで数を書いていました（1 時間が 60 分なのはそのためです）。けれども何世紀ものあいだ、空いた位を表す記号がありませんでした。$1$ と $60$ が同じ見た目になることもあり、読む人は文脈から推測していました。数の途中の空きを示す区切りの記号が粘土板に現れるのは、紀元前 300 年ごろになってからです。世界の反対側では、マヤの人々も貝殻のような形のゼロにたどりついていました。
生徒に「9 の平方根は？」と聞けば、たいてい「3」と答えるでしょう。では、なぜ「根」と呼ぶのか、なぜ「平方」なのかと聞くと、話はたいていそこで終わってしまいます。名前は中身のないラベルになり、記号 $\sqrt{\phantom{9}}$ は、数から何かを「引き抜く」奇妙なかぎ形になってしまいました。 けれども、この名前はかつて物語のすべてを語っていました。ギリシアの幾何学者は、求める数をただ辺（pleurá）と呼んでいました。面積 9 の正方形の辺は 3 です。アラビアの代数学者はそれを、正方形が「生えてくる」根という意味で jidhr と呼び、中世のラテン語訳者は radix と書きました。たとえば次の文は、 $$\textit{radix quadrati 4 aequalis 2}$$何の謎もなく、こう言っていたのです。面積 4 の正方形の辺は 2 に等しい。 面積 1 の小さな正方形 9 個で、辺が 3 の正方形ができる。9 の平方根は、この正方形の辺である。この本のために作成した説明図。 ラテン語からかぎ形へ ある日だれかが、文を記号に置きかえようと決めたわけではありません。計算を手で写す人たちは、いちばんよく繰り返す言葉を略し、その略記は世代ごとに短くなっていきました。次の流れは模式的なものですが、中世の写本から 16 世紀の印刷本までに書き方がたどった道筋に沿っています。 radix quadrati が √ になるまで（クリックで進む） radix quadrati 4 aequalis 2：「面積 4 の正方形の辺は 2 に等しい」。 rad. quad. 4 aeq. 2：写字生が、よく繰り返す言葉を略す。 R. q. 4 aeq. 2：ほとんど R の字だけが残る。16 世紀のカルダーノやボンベリもまだこれを使っていた。 $r\,4 = 2$：ドイツ語の文献では、引きのばした小文字の r が根を表す。 $\sqrt{4}=2$：r の線がのびて数を「のみこむ」。1525 年にクリストフ・ルドルフがこの記号を印刷し、1637 年にデカルトが、根号の中の数をおおう横線を加えた。 記号は速さを手に入れ、記憶を失いました。今日 $\sqrt{4}$ を読む人には、もう正方形は見えません。だから、生徒が「$\sqrt{4}$ は $2$ なのか $-2$ なのか」とたずねたとき、いちばんはっきりした答えは古い名前から出てきます。辺の長さが負になることはありません。$\sqrt{a}$ はつねに負でない値を表す、という現代の約束は、記号が忘れてしまった幾何学の直接の遺産なのです。