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ラプラス変換

対数は掛け算を足し算に変える。二つの数を掛けるには、それぞれの対数を足して元に戻せばよい。ラプラス変換は微分方程式に対して似たことをする。微分を掛け算に置きかえるのである。代数の方程式を解いてから、元に戻す。 起源 ラプラスはこの考えに確率論を通じてたどり着いた。1812 年の『確率の解析的理論』で、彼は母関数を使って計算を整理した。確率の列をそのまま扱うかわりに、それらをすべて収めたひとつの関数を扱ったのである。この考えの連続版が次の積分で、オイラーも以前に使っていたが、ラプラスはこれを系統的に調べた。 $$F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.$$各関数 $f(t)$ は新しい関数 $F(s)$、すなわちそのラプラス変換になる。これを $\mathcal{L}\{f\}$ と書く。 いくつかの例 定数 $f(t) = 1$ では $$\mathcal{L}\{1\} = \int_0^{\infty} e^{-st}\,dt = \left[-\frac{e^{-st}}{s}\right]_0^{\infty} = \frac{1}{s} \quad (s > 0).$$指数関数 $f(t) = e^{at}$ では、指数どうしがまとまる。 $$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_0^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt = \frac{1}{s-a} \quad (s > a).$$微分が掛け算になる 変換を役に立つものにしている性質は、部分積分から出てくる。 $$\mathcal{L}\{f'\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f'(t)\,dt = \Big[e^{-st}f(t)\Big]_0^{\infty} + s\int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt = sF(s) - f(0).$$$f$ を微分することは、$F$ に $s$ を掛ける（そして初期値を引く）ことに対応する。微分方程式は代数の方程式になり、初期値ははじめから計算に組みこまれている。 ある回路 電池につないだ抵抗とコンデンサの回路では、コンデンサの電圧 $y(t)$ は、都合のよい単位で $$y' + y = 1, \qquad y(0) = 0$$に従う。両辺を変換すると $sY - 0 + Y = \frac{1}{s}$、すなわち

October 30, 2026 読んだ
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スクリュー、鉤爪、鏡

プルタルコスによれば、アルキメデスは工学を一段低い仕事とみなしており、自分の機械について本を一冊も残さなかった。それでも、同時代の人びとのあいだで彼を有名にしたのは機械だった。古代の史料はいくつかの機械を伝えているが、その信頼性には大きな差がある。 アルキメデスのスクリュー 内側に螺旋をもつか、外側に管を螺旋状に巻きつけた傾いた円筒の、下の端を水に浸す。円筒を回すと、水のひとかたまりずつが螺旋のひだに閉じこめられ、一回転ごとに上がっていき、上の端から出てくる。前一世紀の歴史家シチリアのディオドロスは、この発明をアルキメデスのエジプト滞在中のものとしている。エジプトではこの機械がナイル川沿いの畑の灌漑や、鉱山の排水に使われていたという。 もっとも簡単な形のアルキメデスのスクリュー。傾いた円柱に管を螺旋状に巻きつけたもので、1908 年の挿絵。Chambers’s Twentieth Century Dictionary · Wikimedia Commons · パブリックドメイン この装置はもっと古く、アルキメデスは改良したか広めただけだと考える歴史家もいる。いずれにせよ、スクリューはいまも使われている。下水処理場では汚泥を持ち上げるのに使われ、逆向きに回る巨大なものは、落差の小さい川で小さな水力発電所として働いている。 シラクサの防衛 包囲から一世紀もたたないうちに書いたポリュビオスが、もっとも信頼できる史料である。彼によれば、アルキメデスはどんな距離のローマ船にも届くよう、大小さまざまな投石機を用意した。城壁には手のひらの幅ほどの小さな穴をあけ、弓兵が身をさらさずに射られるようにした。そして城壁の上から、大きな石や鉛の塊を船の上に落とす起重機をつくった。 もっとも恐ろしい機械は鉤爪だった。鎖につながれた鉄の鉤をもつ腕で、船首をつかみ、てこのおもりの力で持ち上げてから急に放し、船を転覆させたり沈めたりした。ポリュビオスによれば、マルケルスは苦々しく冗談を言い、アルキメデスは自分の船をひしゃくにして海の水を汲んでいると言ったという。 燃える鏡 アルキメデスが鏡で太陽の光を集めてローマ艦隊に火をつけたという話は、ポリュビオスにもリウィウスにもプルタルコスにも出てこない。ずっと後の著者たちに現れるもので、もっとも詳しい記述は十二世紀のビザンツのヨハネス・ツェツェスによる。現代の実験の結果ははっきりしない。2005 年、MIT の学生たちは、127 枚の平らな鏡を使い、強い日ざしと晴れた空のもとで数分間かけて、30 メートル先にとまっている木の船体に火をつけることに成功した。テレビ番組『怪しい伝説（MythBusters）』は何度も試し、動いている船に対してはこの方法はうまくいかないと結論した。ほとんどの歴史家はこの話を伝説とみなしている。 プラネタリウム キケロによれば、シラクサの戦利品のなかからマルケルスが自分のためにローマへ持ち帰ったのは、ただひとつ、アルキメデスがつくった天球儀だった。太陽、月、惑星の動き、さらには日食や月食まで示すものだったという。アンティキテラ島の近くの難破船から、天体の位置を計算する前二世紀のギリシアの歯車装置が見つかってから、この記述はより信じられるものになった。この装置とアルキメデスの結びつきを示す証拠はないが、こうした機械がギリシアの技術者の手の届くものだったことはわかる。 練習：スクリューの流量アルキメデスのスクリューが毎分 30 回転し、螺旋の一回転ごとに 2 リットルの水を運ぶ。一時間に何立方メートルの水を持ち上げるか。10 m³ の貯水槽を満たすには何回転必要か。 毎分 $30 \times 2 = 60$ リットル、毎時 $60 \times 60 = 3600$ リットル、つまり $3.6$ m³ である。10 m³ = 10 000 リットルには $\frac{10\,000}{2} = 5000$ 回転が必要で、およそ 2 時間 47 分かかる。 練習：てことしての鉤爪鉤爪の腕が船の側で 12 m、おもりの側で 3 m あり、船首が腕の先に 5 トンに相当する力をおよぼすとする。それを持ち上げるにはどれだけのおもりが必要か。 てこの法則により $5 \times 12 = P \times 3$、よって $P = 20$ トンである。大きなおもりだが、城壁の近くで石や鉛の塊を使えば可能である。海の側の腕が長いほど鉤爪は遠くまで届くが、必要なおもりも大きくなる。

October 29, 2026 読んだ
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歴史的な画像と写真 すべてウィキメディア・コモンズから取りました。コモンズが提供するサムネイルを幅 800 ピクセルに縮小し、それ以外の編集はしていません。 マリア・ガエターナ・アニェージの肖像、マリア・ロンギの素描にもとづくエルネスタ・レニャーニ・ビージのビュラン版画（1812）：元のページ · パブリックドメイン。 机に向かうアニェージ、ジャン・フランソワ・ボジオの素描、メトロポリタン美術館：元のページ · CC0。 『解析教程』第一巻の扉（ミラノ、1748）：元のページ · パブリックドメイン。 ヴェルシエラの作図の図版、『解析教程』第一巻（1748）より：元のページ · パブリックドメイン。 ボローニャ大学への任命の文書（1750）：元のページ · パブリックドメイン。 アントニオ・フランチェスコ・フリージ『歴史的頌辞』の肖像（1799）：元のページ · パブリックドメイン。 ピオ・アルベルゴ・トリヴルツィオ、ミラノ、Joaquin008 撮影：元のページ · CC BY-SA 4.0。 ブレラ宮のアニェージの胸像、ミラノ、Giovanni Dall’Orto 撮影：元のページ · クレジット表示で自由に利用可。 アニェージが亡くなった場所の銘板、ミラノ、Bramfab 撮影：元のページ · CC BY-SA 4.0。 ブログのために作った図 表紙と四つのインタラクティブな図（ヴェルシエラの作図、接線と変曲点、曲線の下の面積、コーシー分布からの抽出の平均）は、このサイトのオリジナルのイラストで、文字はサイトの各言語の版があります。 記録 ファイル data/agnesi_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各トピックの歴史的な出典は、それぞれの記事の末尾にあります。 マリア・ガエターナ・アニェージの全トピック · ← マリア・ガエターナ・アニェージの遺産

October 29, 2026 読んだ
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ウィリアム・ローワン・ハミルトンの遺産

ハミルトンの原理は現代物理学の礎石となった。物理学者は、あらゆる物理現象がそれに従うことを期待しているのである。 — エルヴィン・シュレーディンガー（1943） ハミルトンは、四元数こそ自分の大きな仕事であり、未来の物理学のことばになると信じていた。細部では誤り、本質では正しかった。物理学はギブズとヘヴィサイドのベクトルを採用したが、ハミルトン自身はそれほど重要と思っていなかった力学が、その後のほとんどすべての土台になったのである。 物理学で 量子力学。シュレーディンガー方程式では、系のエネルギーは演算子、つまりハミルトニアン $\hat H$ である。原子のエネルギー準位を計算することは、そのハミルトニアンの固有値を求めることだ。 **統計力学とカオス。**各状態が一つの点であるハミルトンの相空間は、統計熱力学とカオス理論の舞台である。相空間の体積が保存されるというリウヴィルの定理は、ハミルトンの方程式から直接出てくる。 **光学。**特性関数は今も光学系の設計に使われ、円錐屈折は二十一世紀に入ってレーザーを使って再び研究されている。 数学と計算で **代数。**交換法則を捨てることで、ハミルトンは抽象代数への扉を開いた。行列、八元数、リー代数、クリフォード代数。問題が求める規則をもつ代数を発明してよい、という考えは、かなりの部分が彼のものである。 **グラフィックスと航法。**四元数は、ビデオゲームのキャラクター、映画のカメラ、ロボットの腕、宇宙望遠鏡、そしてあなたのポケットの携帯電話を回している。 **グラフ。**ハミルトン閉路は計算量理論の中心的な問題の一つである。 ダブリンで 四元数の発見百年を記念して、1943 年 11 月にアイルランドが発行した半ペニー切手。アイルランド郵政 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 1943 年、橋の百周年に、アイルランドはハミルトンの顔をあしらった切手を二種類発行し、かつて数学教師だった政府首班イーモン・デ・ヴァレラが記念行事を推し進めた。当時デ・ヴァレラが創設したダブリン高等研究所にいたシュレーディンガーは、ハミルトンの仕事について講演した。1958 年には、失われた刻字に代わる銘板がブルーム橋に取りつけられた。そして 1990 年以来、毎年 10 月 16 日に、数学者たちはダンシンク天文台から橋までのハミルトン・ウォークを行い、1843 年の道筋をたどっている。マレー・ゲルマンやスティーヴン・ワインバーグのようなノーベル賞物理学者や、数学者アンドリュー・ワイルズも歩いた。 C・グレイの素描にもとづく J・カークウッドのエッチングによるサー・ウィリアム・ローワン・ハミルトン。Wellcome Collection · Wikimedia Commons · CC BY 4.0 彼をどう語るか ハミルトンは燃えつきなかった神童である。21 歳ですでに独自の理論をもち、38 歳で散歩の途中に最大の発見をした。私生活は苦しく、酒を飲みすぎ、乱雑の中で働いた人でもあった。だが彼が残した教訓は一つの自由である。算術の規則は神聖なものではない。問題が新しい代数を求めるなら、矛盾がないかぎり、それを発明してよい。二十世紀の数学がその構造を築いたのは、この自由によってであった。 意味の変わったことば 「ベクトル」と「スカラー」のほかに、ハミルトンはテンソルということばもつくった。四元数の大きさ、それを「引きのばす」数を表すためである。1898 年、ドイツの物理学者ヴォルデマール・フォークトはこのことばを結晶の応力を表す量に転用し、その新しい意味でアインシュタインの一般相対性理論に入っていった。ハミルトンの三つのことばのうち、もとの意味を失ったのは「テンソル」だけである。 練習：四元数か行列か回転は $3 \times 3$ 行列としても、単位四元数としても保存できる。二つの回転を合成するのに、それぞれ何回の数の掛け算が必要か。 二つの $3 \times 3$ 行列の積では、9 個の成分のそれぞれが 3 つの積の和なので、$27$ 回の掛け算になる。二つの四元数の積では、4 つの部分のそれぞれが 4 つの積の和なので、$16$ 回である。しかも四元数は 9 個ではなく 4 個の数を保存すればよく、丸め誤差も、自分の大きさで割るだけで簡単に直せる。

October 27, 2026 読んだ
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ジョン・フォン・ノイマンの遺産

フォン・ノイマンのような頭脳は、人間より優れた種の存在を示しているのではないかと、私はときどき考えた。 — ノーベル物理学賞受賞者ハンス・ベーテ、ノーマン・マクレイの伝えるところによる この連載の八つの文章は、フォン・ノイマンがしたことの一部を示すにすぎない。完全な一覧は六巻の著作集を埋め、彼の時代の数学のほとんどあらゆる分野にわたっている。 純粋数学 作用素環。 1929 年から 1943 年にかけて、一部はフランシス・マレーとの共同で、今日フォン・ノイマン環と呼ばれる作用素環の理論をつくった。解析学と数理物理学で最も活発な分野の一つである。 エルゴード定理。 1932 年、統計物理学のある原理を正当化する定理の一つの版を証明した。ある量の時間平均は、とりうるすべての状態にわたる平均に等しい、という原理である。 ヒルベルトの第五問題。 1933 年、ヒルベルトが 1900 年に提出した問題の一つ、連続群はどんなときに自動的に「なめらか」になるかという問題の、コンパクトな場合を解いた。 経済、天気、戦略 経済成長。 1937 年に発表され、それより数年前にプリンストンのセミナーで報告された論文で、拡大する経済のモデルを組み立て、ミニマックスと同じ数学で均衡の存在を証明した。数理経済学の基礎となった文献の一つである。 天気予報。 1950 年、ジュール・チャーニーが率い、フォン・ノイマンも加わったグループが、ENIAC で最初の数値天気予報を行った。24 時間の予報に約 24 時間の計算がかかった。今日の天気と気候を予測するモデルは、この実験の子孫である。 核戦略。 冷戦の間、ゲーム理論は軍拡競争を考えるのに使われ、フォン・ノイマンは大陸間ミサイルの計画に加わった。この推論に結びついた「相互確証破壊」という言葉は、今も一つの時代を要約している。 「特異点」という言葉 1958 年、スタニスワフ・ウラムは友人を追悼する文章を書いた。その中で彼は、加速し続ける技術の進歩についての会話を回想している。その進歩は「人類の歴史におけるなんらかの本質的な特異点、それを越えると私たちの知る人間の営みは続きえない点」に近づいているように見える、と。これがこの意味でのこの言葉の、記録に残る最初の使用であり、何十年ものちに人工知能をめぐる議論の主題となった。 ロスアラモスの身分証の写真のジョン・フォン・ノイマン。1940 年代。Los Alamos National Laboratory · Wikimedia Commons · クレジット表記 彼をどう語るか フォン・ノイマンは、今世紀で最も抽象的な数学者の一人であると同時に、科学の軍事応用に最も深く関わった一人でもあり、その二つは彼の物語の中で切り離せない。彼がつくるのを助けた計算機は爆弾を計算するために生まれ、まもなく天気、市場、タンパク質を計算するようになった。ゲーム理論は室内ゲームについての論文から生まれ、核戦略の手引き書や携帯電話の周波数の競売にまで行き着いた。 彼が残した教訓は、分野の境界を尊重しなかった数学者の教訓である。彼は物理学も経済学も計算機も、数学が役に立ちうる場所として扱った。そして数学はほとんどいつも役に立ったのである。 IAS の記憶装置にはどれだけ入ったか 1952 年の高等研究所の計算機は、40 桁の二進数からなる「語」を 1024 個もつ記憶装置を備え、それをブラウン管に保持していた。$1024 \times 40 = 40\,960$ ビット、つまり $5\,120$ バイトであり、この段落があなたの携帯電話で占める容量より少ない。その記憶装置で、水素爆弾の計算、天気予報、生物進化のシミュレーションが走ったのである。 練習：IAS の記憶装置1 ギガバイト（$10^9$ バイト）のメモリーカードには、IAS の記憶装置がいくつ入るか。 IAS の記憶装置一つは $5\,120$ バイトである。$\frac{10^9}{5\,120} \approx 195\,000$。今日の小さなカード一枚に、フォン・ノイマンの計算機のほぼ二十万倍の記憶が入る。

October 27, 2026 読んだ
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アラン・チューリングの遺産

チューリングは機械が考えると信じている。チューリングは男と寝る。ゆえに機械は考えない。 — アラン・チューリング、ノーマン・ラウトレッジへの手紙（1952） 有罪判決の直後にチューリングが友人に書いたこの苦い三段論法は、彼の生涯を要約している。論理で考える人が、彼を理解しない人々に裁かれたのである。しかし、彼が残した仕事はいたるところにある。 計算機科学の中に チューリング機械は今も、計算するとはどういうことかの公式の定義である。計算機科学者が、ある問題には「アルゴリズムがない」と言うとき、それはどのチューリング機械もその問題を解けないという意味であり、ある問題が「難しい」と言うとき、数えているのはチューリング機械に必要な歩数である。 その数え方から、この分野で最も有名な問い、P 対 NP が生まれた。答えを確かめるのがやさしい問題は、どれも答えを見つけるのもやさしいのか。ジグソーパズルを組むのは難しいが、組み上がったパズルを確かめるのはやさしい。この違いが本物なのか、私たちの工夫が足りないだけなのかは誰も知らない。クレイ研究所は、これに答えた人に百万ドルを出すとしている。 1966 年から、計算機学会（ACM）は毎年チューリング賞を授与している。計算機科学のノーベル賞とみなされている賞である。 暗号と統計学の中に エニグマとの戦いは、暗号の安全性は鍵の数ではなく、鍵の大部分を一度に除けてしまう欠陥がないことにあると教えた。現代の暗号はこの教訓から生まれた。そしてデシバンは、I・J・グッドを通じて、ベイズ統計学を科学の中心に呼び戻す助けになった。 生物学と人工知能の中に 形態形成の方程式は、模様の数理生物学という一つの分野全体の土台になっている。そして模倣ゲームは、機械が会話するようになった今も、機械が考えるかどうかをめぐるあらゆる議論の基準である。 マンチェスターのサックヴィル公園にあるチューリングの像。2001 年に除幕された。ベンチに座り、リンゴを手にしている。David Dixon · Wikimedia Commons · CC BY-SA 2.0 名誉の回復 何十年ものあいだ、チューリングの戦時の仕事は国家機密であり、有罪判決は口にされない話題だった。状況が変わりはじめたのは 1983 年、数学者アンドルー・ホッジスの書いた伝記からである。その後、次のことが続いた。 2001 年、大学のそばの公園にマンチェスターの像。 2009 年、イギリス政府の謝罪。 2013 年の国王恩赦と、ほかの有罪者にも恩赦を与えた 2017 年の法律。 彼の誕生日である 2021 年 6 月 23 日に発行された、彼の肖像の 50 ポンド紙幣。 覚えておくこと 1936 年：チューリング機械が計算とは何かを定義し、万能機械がプログラム内蔵式の計算機を先取りする。 1936 年：停止問題がどの機械にも答えられない問いがあることを示し、計算可能数がほとんどの実数に手が届かないことを示す。 1939–1945 年：エニグマの数え上げと欠陥、ボンブ、そしてデシバンを使うバンブリスムス。 1950 年：模倣ゲームが「機械は考えるか」という問いをテストに置き換える。 1952 年：形態形成が、拡散がどのように模様を生むかを説明する。 練習：確かめるのはやさしい誰かが $8633=89\cdot97$ だと言う。確かめる手間はどれだけか。ヒントなしに因数を見つけるにはどれだけかかるか。 確かめるにはかけ算一回でよい。$89\cdot97=89\cdot100-89\cdot3=8900-267=8633$。見つけるには $\sqrt{8633}\approx93$ までの約数を試さなければならない。2 から 89 までの素数は 24 個あり、うまくいくのは最後の一つだけである。何百桁もの数になると、確かめるのは今でも一瞬だが、見つけるのは不可能に近くなる。インターネットの暗号はこの非対称に支えられている。

October 18, 2026 読んだ
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ラグランジュの画像クレジット

歴史的な画像 すべてウィキメディア・コモンズから取得しました。コモンズが提供する縮小画像を、編集せずに使っています。 ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの肖像、作者不詳の版画：出典ページ · パブリックドメイン。 ラグランジュの横顔のメダイヨン、ピエール＝ジャン・ダヴィッド・ダンジェ作のブロンズ、アンジェ美術館蔵：出典ページ · CC0。 『解析力学』（Méchanique analitique）の扉、パリ、1788 年：出典ページ · パブリックドメイン。 トリノのラグランジュ像、Twice25 撮影、2009 年：出典ページ · CC BY-SA 3.0。 ブログの図 表紙、五つのラグランジュ点の図、そして面積の等しい曲線と制約の直線のグラフは、このサイトのそれぞれの言語版を用意したオリジナルの図です。ラグランジュ点の図は縮尺どおりではありません。実際には、L1 と L2 は、太陽と地球の距離の百分の一しか地球から離れていません。 記録 ファイル data/lagrange_imagens.json に、ダウンロードした各画像の出典、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュを記録しています。各テーマの歴史的な出典は、それぞれの記事の最後にあります。 ラグランジュの全トピック · ← ラグランジュの遺産

October 14, 2026 読んだ
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歴史的な画像 すべてウィキメディア・コモンズから取りました。コモンズが提供するサムネイルを、編集せずに使っています。ユークリッドの生前に描かれた肖像はひとつもありません。出まわっている彼の姿は、ずっとあとの画家たちの想像です。 オクシリンコスのパピルス、命題 II.5、紀元 100 年ごろ、ペンシルヴェニア大学博物館：元のページ · パブリックドメイン。 『アテナイの学堂』の部分、ラファエロ、1509–1511 年：元のページ · パブリックドメイン。 オリヴァー・バーン版の命題 I.47、ロンドン、1847 年、Mirko Junge によるスキャン：元のページ · パブリックドメイン。 『原論』の最初の印刷版、エアハルト・ラトドルト、ヴェネツィア、1482 年、Folger Shakespeare Library：元のページ · CC BY-SA 4.0。 『原論』のアラビア語版、ナスィールッディーン・トゥースィーの版、ローマ、1594 年、ホートン図書館：元のページ · パブリックドメイン。 ブログの図 表紙、正三角形の作図、ピタゴラスの定理の図、平方完成の図は、このサイトのオリジナルのイラストで、サイトの各言語の版があります。平方完成の例 $x^2+10x=39$ と練習問題 $x^2+8x=65$ は、このサイトの旧二次方程式講座から取り、図は描きなおしました。3、4、5 と 6、8、10 の例と版の表は、旧幾何学講座と旧三角法講座から来ています。 記録 ファイル data/euclides_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各トピックの歴史的な出典は、それぞれの記事の末尾にあります。 ユークリッドの全トピック · ← ユークリッドの遺産

October 12, 2026 読んだ
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パスカルの賭け：証明ではなく、計算

パスカルが「神の存在を証明した」と聞いたことのある人は多いでしょう。彼はそんなことはしていませんし、それはできないとはっきり書いています。彼が提案したのは、もっと興味深いことでした。理性で決着がつかないのなら、問いを取り替えよう、というのです。「神は存在するか」と問うかわりに、「どちらに賭けるほうが得か」と問う。そしてこの二つめの問いに、フェルマーと生み出したばかりの数学、つまり公平な分配の数学で答えようとしたのです。 書き込みだらけの紙 『パンセ』の自筆の紙片。パスカルの死後、大きな台帳に貼りつけられたもので、2016 年のフランス国立図書館の展覧会で撮影された。パスカルは紙切れに、いろいろな向きに書き、何度も線で消しました。ActuaLitté · Wikimedia Commons · CC BY-SA 2.0 晩年のパスカルは、キリスト教を弁護する本のためにメモを集めていましたが、その本を書き上げることはありませんでした。1662 年に彼が亡くなると、友人たちは何百もの断片を見つけました。はさみで切り抜かれ、糸で束ねられたものもありました。友人たちはその一部を選び、1670 年に『パンセ』（思考）という題で出版しました。 賭けの断片は、二つ折りにした一枚の紙で、両面に書かれ、余白や逆さまの向きにも書き足されています。編者たちはこれを書き出しのことばで呼んでいます。**「無限、無」**です。これはパスカルと、信仰をもたない相手との対話で、その相手は、パスカルがパリの社交界で知り合ったシュヴァリエ・ド・メレのような賭博師たちをモデルにしているのかもしれません。 理性では決められない 出発点は、無力の告白です。 神は存在するか、しないかである。だが、私たちはどちらの側に傾くのか。理性はここでは何も決定できない。無限の混沌が私たちを隔てている。この無限の距離の果てで、ある勝負が行われていて、表か裏かが出る。あなたは何に賭けるか。 — ブレーズ・パスカル『パンセ』、断片「無限、無」 相手は、正しいのは何にも賭けないことだと答えます。パスカルはその逃げ道を認めません。 そうだ、しかし賭けなければならない。それは任意ではない。あなたはもう船に乗っているのだ。 — ブレーズ・パスカル『パンセ』、断片「無限、無」 信じる者として生きることも、信じない者として生きることも、すでに一つの選択です。選ばないことは、後者を選ぶことになります。 四つのマスの表 今日では、この賭けは表の形で書かれます。選択が二つ、世界の状態が二つあります。 神は存在する 神は存在しない 信じる 無限の利得：「無限に幸福な無限の生」 失うものは少ない：いくつかの楽しみ 信じない すべてを失う 得るものは少ない：その同じ楽しみ パスカルはこの表を三つの段階でたどり、段階ごとに議論は強くなっていきます。哲学者イアン・ハッキングは 1972 年の論文で、これらが三つの別々の議論であり、三つめが期待値の計算であることを示しました。 第一段階：優越。「勝てば、すべてを得る。負けても、何も失わない。だから、ためらわずに神が存在するほうに賭けなさい。」どの列でも信じるほうがよいか同じなら、計算するまでもありません。 **第二段階：五分五分のときの計算。**相手は、自分は何かを失うと反論します。パスカルはそれを認め、サイコロの勝負のように計算します。勝ち負けの見込みが五分五分なら、一つの命を賭けて二つの命を得るのは割に合う。一つを賭けて三つを得る勝負を見送るのは愚かだ、と。 **第三段階：無限。**では、見込みが五分五分でなかったら？ パスカルは、それは問題ではないと答えます。 ここには、得るべき無限に幸福な無限の生があり、負けの有限個の見込みに対して勝ちの見込みが一つある。そしてあなたが賭けるものは有限である。 — ブレーズ・パスカル『パンセ』、断片「無限、無」 計算 神が存在する確率をあなたがどれほど小さく見積もっても、それを $0$ より大きい $p$ としましょう。信仰生活のコストを有限の数 $c$、神が存在する場合の利得を $G$ とします。信じることの期待値は $$E(\text{信じる})=p\cdot G-(1-p)\cdot c$$です。$G$ が有限なら、結果はどうにでもなります。$p$、$G$、$c$ しだいです。しかしパスカルは $G=\infty$ とおきます。すると、どんな $p>0$ についても $$p\cdot\infty-(1-p)\cdot c=\infty$$となり、有限のどんな選択肢も太刀打ちできません。これは賭け金の分配と同じ考え方です。それぞれの賭けの価値は、賞金に見込みをかけたものです。違うのは、今度は賞金が無限大だということです。 1670 年版を写した海賊版の一冊にある『パンセ』の最初のページ。第 1 章の題は「無神論者の無関心に反対して」です。Clermont Auvergne Métropole · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 証明ではない この計算が言っていないことに注意してください。計算は確率 $p$ を少しも大きくしません。神が存在する見込みは千に一つだと思っていた人は、賭けのあとでも千に一つだと思っています。この議論は何をすべきかについてのもので、何が真かについてのものではありません。

October 8, 2026 読んだ
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フェルマーの遺産

数論の父 1670 年版ディオファントス『算術』の扉。トゥールーズで「P. ド・フェルマーの注釈つき」で印刷された。フェルマーの死から 5 年後に息子が出版したこの本によって、余白の書き込みはオイラーのもとに届いた。ベルナール・ボスク、トゥールーズ（1670） · Wikimedia Commons · パブリックドメイン フェルマー以前、整数についての問題は、ディオファントスのパズルのような謎解きと見なされていました。フェルマーはそれを、深い問いと独自の方法をもつ数学の一分野に変えました。1 世紀近く、彼のあとに続く人はほとんどいませんでした。1730 年以降、フェルマーの書き込みを読み、その多くを証明して数論を数学の中心的な分野にしたのはオイラーでした。そのあとにラグランジュ、ルジャンドル、ガウスが続きました。 そのほかの発見 すべてを挙げれば長くなります。いくつかのハイライトを： 二つの平方数の和： 奇素数が二つの平方数の和になるのは、それを 4 で割った余りが 1 のときに限る。たとえば $13=4+9$、$29=4+25$ だが、$7$ や $11$ はそうならない。フェルマーが 1640 年に発表し、オイラーが 1749 年に証明した。 ペル方程式： フェルマーがイギリス人に挑んだ方程式 $x^2-Ny^2=1$ は、$N$ が平方数でなければ、つねに無限に多くの解をもつ。 多角数： すべての正の整数は、高々 3 つの三角数の和、4 つの平方数の和、5 つの五角数の和、以下同様に表せる。平方数の場合はラグランジュが 1770 年に、三角数の場合はガウスが 1796 年に証明した。 曲線の長さ： フェルマーはいくつかの曲線の弧の長さを計算した。これも微積分への道を開いた問題である。 微積分への道 フェルマーの解析幾何学によって、曲線を方程式で書けるようになりました。彼の極大・極小の方法は、本質的には導関数である計算で接線や極値を求めました。$y=x^n$ の形の曲線の下の面積も計算しました。欠けていたのは、接線と面積が逆の操作だと気づくことだけでした。その一歩を踏み出したのはニュートンとライプニッツです。 物理学では、最短時間の原理が学校で習う反射と屈折を説明し、現代物理学の最適化原理への道を開きました。 まちがった予想からも学べる フェルマーは、$2^{2^n}+1$ の形の数がすべて素数だと考えたのはまちがいでした。それでもこの問いはオイラーを新しい技法に導き、思いがけずガウスの正十七角形に再び現れました。数学では、答えが予想に反するときでさえ、よい問いには大きな価値があるのです。 そして最終定理は、フェルマーの「驚くべき」証明があったにせよなかったにせよ、数学者たちに、それを解くための理論を丸ごと作り出させました。ワイルズの証明は遠く離れて見えた二つの分野を結びつけ、その道具は今ではもとの問題をはるかに超えて使われています。 まとめ フェルマーの生まれた町ボーモン＝ド＝ロマーニュにある記念像。彫刻家アレクサンドル・ファルギエールの作品。Didier Descouens · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 フェルマーはトゥールーズの裁判官で、楽しみのために数学をし、生前はほとんど何も出版しなかった。 同じ名前の異母兄がいたため、生年は 1601 年とも 1607 年ともされる。 デカルトとは独立に解析幾何学を創始した。 彼のアデカリティの方法は、ニュートンとライプニッツの微積分以前に極大・極小を求めた。 小定理は、素数 $p$ が $a$ を割り切らないとき $a^{p-1}\equiv1\pmod p$ であることを述べる。 すべての $2^{2^n}+1$ は素数だと予想したが、オイラーが $F_5$ は 641 の倍数であることを示した。 1654 年、パスカルとともに分配問題から確率論を創始した。 最短時間の原理は屈折の法則を説明する。 無限降下法は、ある種の方程式に整数解がないことを証明する。 最終定理は 358 年待ち、1995 年にアンドリュー・ワイルズが証明した。 資料： フェルマーの生涯と業績、MacTutor。

October 7, 2026 読んだ
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画像クレジット

歴史的な画像と写真 すべてウィキメディア・コモンズから得た。コモンズが提供するファイルまたはサムネイルを使い、幅を最大 800 ピクセルに縮小したほかは手を加えていない。 オーギュスタン＝ルイ・コーシーの肖像、ベルチの写真にもとづくルドルフ・ホフマンの石版画（1856）：元のページ · パブリックドメイン。 コーシーの油彩肖像、1840 年ごろ、ジャン・ロレール作とされる、ソー城所蔵：元のページ · パブリックドメイン。 コーシーの石版画、ルイ・グレゴワールとドヌー作、1840 年ごろ、スミソニアン図書館ディブナー・コレクション：元のページ · パブリックドメイン。 青銅メダイヨン、ピエール＝ジャン・ダヴィッド・ダンジェ作（1843）：元のページ · CC0。 『解析教程』の扉（1821）、汚れを除いた版（GIF から JPEG に変換）：元のページ · CC0。 エッフェル塔に刻まれたコーシーの名、Juanedc 撮影：元のページ · CC BY 2.0。 ソーの墓地にあるコーシーの墓、Antoine Rex 撮影：元のページ · CC0。 ブログのために作った図 表紙と四つの対話型の図（二分法、コーシーの判定条件における幅 ε の帯、円にそった 1/(1 + z²) の積分、回転する切り口での応力ベクトル）はオリジナルのイラストで、サイトの各言語の文章がついている。 記録 ファイル data/cauchy_imagens.json に、ダウンロードした各画像の出典、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュを記録している。各テーマの歴史的な出典は、それぞれの記事の末尾にある。 オーギュスタン＝ルイ・コーシーの全トピック · ← コーシーの遺産

October 31, 2026 読んだ
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音の速さ

音は圧縮の波である。空気が押されて縮み、次の空気を押し、また膨らむ。この波の速さは空気の二つの性質で決まる。どれだけ圧縮されにくいかと、どれだけ重いかである。 ニュートンの式 1687 年の『プリンキピア』で、ニュートンははじめて音の速さを計算した。空気は圧縮されるときボイルの法則に従う、つまり圧力が密度に比例すると仮定して、彼は $$v = \sqrt{\frac{P}{\rho}}$$を得た。海面の高さ、20 °C では、圧力は $P = 101\,325$ Pa、空気の密度は $\rho = 1.204$ kg/m³ である。式からは $$v = \sqrt{\frac{101\,325}{1.204}} \approx 290 \text{ m/s}$$となる。ところが測定ではおよそ 340 m/s、15% ほど大きかった。ニュートンは空気の粒子の大きさや水蒸気といった無理のある仮説でこの差を説明しようとした。それから百年以上、この食い違いは説明されないままだった。 熱くなる空気 誤りを見つけたのはラプラスである。気体は圧縮されると熱くなる。手押しの空気入れで自転車のタイヤに空気を入れたことのある人なら知っているだろう。ボイルの法則が成り立つのは温度が一定のときである。しかし音波の圧縮はとても速いので、熱が逃げる暇がない。圧縮された空気はわずかに熱くなり、そのためニュートンが仮定したより強く押す。今日では、この圧縮は等温ではなく断熱だという。 数学的に言えば、流体中の波の速さは $v = \sqrt{\frac{dP}{d\rho}}$、すなわち密度が上がったとき圧力がどれだけ上がるかで決まる。等温圧縮では $P = k\rho$ で $$\frac{dP}{d\rho} = \frac{P}{\rho}.$$断熱圧縮では $P = k\rho^\gamma$ で、$\gamma$ は気体の定圧比熱と定積比熱の比である。このとき $$\frac{dP}{d\rho} = k\gamma\rho^{\gamma-1} = \gamma\,\frac{P}{\rho}.$$したがって、ラプラスが 1816 年に発表した正しい式は $$v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$$である。空気では $\gamma \approx 1.40$ だから、補正はニュートンの結果に $\sqrt{1.40} \approx 1.183$ を掛けることになる。 $$v \approx 290 \times 1.183 \approx 343 \text{ m/s}.$$まさに測定値である。ラプラスは議論を逆向きにも使った。$\gamma$ を直接精密に測れるようになる前に、測定された音速から $\gamma$ を見積もったのである。

October 30, 2026 読んだ