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アルキメデスの遺産

アルキメデスとアポロニオスを理解する者は、今日のもっとも偉大な人びとの発見にも、それほど驚かなくなるだろう。 — ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ 写本 アルキメデスの残したものは、細い糸をたどって私たちのもとに届いた。彼の著作のほとんどすべては、三つのビザンツのギリシア語写本にかかっていた。研究者が A 写本、B 写本と呼ぶ二つは、ルネサンス期に書き写されたり翻訳されたりしたあとで失われた。三つめが、祈祷書の下に隠れていたパリンプセストである。1269 年、ドミニコ会士メールベケのギヨームがギリシア語の文章をラテン語に訳し、この訳を通じてアルキメデスはヨーロッパの大学で読まれるようになった。ギリシア語原文の最初の印刷版は 1544 年にバーゼルで出た。 継承者たち ルネサンスと科学革命の科学者たちは、彼を師として読んだ。ガリレオはヒエロンの冠についての小論『小さな天秤』で研究生活を始め、アルキメデスの足跡をたどって立体の重心を調べた。ケプラーは無限に薄い切片の考えを使って、ぶどう酒の樽の体積を計算した。カヴァリエリ、フェルマー、パスカル、ウォリスは、微積分へとつながる方法を発展させるとき、アルキメデスの面積と体積から出発した。1906 年に『方法』が再発見されると、彼がどれほど近くまで来ていたかが明らかになった。てこの上ではかられた切片は、本質的には積分だったのである。 数学の最高の賞であるフィールズ賞のメダルの表面。アルキメデスの横顔と、ラテン語の銘 Transire suum pectus mundoque potiri、「おのれを超え、世界をつかめ」が刻まれている。Stefan Zachow、国際数学連合のため撮影 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン メダルの顔 四年ごとに 40 歳以下の数学者に贈られるフィールズ賞のメダルには、カナダの彫刻家ロバート・テイト・マッケンジーが 1933 年に制作したアルキメデスの横顔がある。裏面には、シラクサの墓と同じく円柱に内接する球と、「全世界から集まった数学者たちが、すぐれた著作に対してこの賞を贈った」というラテン語の銘がある。 名前 月のアルキメデス・クレーターは直径 82 km で、雨の海のふちにある。小惑星 3600 Archimedes も彼の名をもち、スクリュー、原理、螺旋、そしてときにアルキメデスの定数と呼ばれる定数、つまり $\pi$ そのものも同じである。エウレカという言葉は発見の叫びとしてほとんどあらゆる言語に入りこみ、アメリカのカリフォルニア州の標語にもなっている。 ホワイトヘッドの言葉 イギリスの哲学者で数学者のアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドは 1911 年に、ローマの兵士の手によるアルキメデスの死は世界の移り変わりを象徴していると書いた。「数学の図形を見つめることに没頭していたために命を落としたローマ人は、ひとりもいない」。ローマ人は偉大な技術者だったが、ギリシア人に匹敵する数学者はひとりも生まなかった。アルキメデスの死は、ある意味で、古代数学のもっとも創造的な時代の終わりを告げていたのである。 練習：クレーターアルキメデス・クレーターの直径は 82 km である。円形だとすると、その面積はいくらか。アルキメデスの限界 $\pi < \frac{22}{7}$ を使って、大きめの値を求めよ。 面積は $r = 41$ km として $\pi r^2$ である。$\pi \approx 3.1416$ なら $3.1416 \times 1681 \approx 5281$ km²。$\frac{22}{7}$ なら $\frac{22}{7} \times 1681 \approx 5283$ km² で、当然ながら少し大きい。五千を超える面積のなかで、差はわずか 2 km² である。

October 29, 2026 読んだ
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歴史的な画像と写真 すべてウィキメディア・コモンズによる。コモンズが提供する縮小画像を使っている。カークウッドのエッチングは縮小し、円錐屈折の図は色数を減らしたが、ほかには手を加えていない。 ハミルトンの肖像、Library of Congress：出典ページ · パブリックドメイン。 ハミルトンの油彩肖像、作者不詳：出典ページ · パブリックドメイン。 J・カークウッドのエッチング、Wellcome Collection：出典ページ · CC BY 4.0。 1943 年のアイルランドの切手：出典ページ · パブリックドメイン。 ブルーム橋の銘板、Cone83 撮影：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 ブルーム橋、Johnflan 撮影：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 ダンシンク天文台、David Malone 撮影：出典ページ · CC BY-SA 2.5。 ダブリンのトリニティ・カレッジ、JoachimKohler-HB 撮影：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 ヘルヴェリン山のワーズワース、ベンジャミン・ロバート・ヘイドン画：出典ページ · パブリックドメイン。 内部円錐屈折の図、Thomas Preston、William Edward Thrift：出典ページ · パブリックドメイン。 マテマテカ（サンパウロ大学）のイコシアン・ゲームの複製、Estes Objethos Atelier、撮影 Alisson Ricardo：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 このサイトのためにつくった図 表紙と、振り子の相空間、四元数による回転、イコシアン・ゲームの動く図は、この連載のためにつくったもので、サイトの四つの言語すべてで動作する。 記録 ファイル data/hamilton_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されている。各トピックの歴史的な出典は、それぞれの記事の末尾に挙げてある。 ウィリアム・ローワン・ハミルトンの全トピック · ← ウィリアム・ローワン・ハミルトンの遺産

October 27, 2026 読んだ
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歴史的な画像と写真 すべてウィキメディア・コモンズによる。コモンズが提供する縮小画像を使い、圧縮のほかには手を加えていない。 ロスアラモスの身分証のフォン・ノイマンの写真、Los Alamos National Laboratory：出典ページ · 研究所のクレジットを表記すれば自由に利用できる。 ニューメキシコでのフォン・ノイマン、Los Alamos National Laboratory：出典ページ · 研究所のクレジットを表記すれば自由に利用できる。 ブダペストの生家の記念銘板、Misibacsi 撮影：出典ページ · CC BY-SA 3.0。 ブダペストのルター派ギムナジウム、VinceB 撮影：出典ページ · CC BY-SA 3.0。 プリンストンのファルド・ホール、Zeete 撮影：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 ENIAC の前の二人のプログラマー、United States Army：出典ページ · パブリックドメイン。 EDVAC 報告書の表紙：出典ページ · パブリックドメイン。 アバディーンの EDVAC、United States Army：出典ページ · パブリックドメイン。 IAS の計算機の前のオッペンハイマーとフォン・ノイマン、Jeremy Norman Collection of Images：出典ページ · CC BY 4.0。 FERMIAC を持つウラム、Los Alamos National Laboratory：出典ページ · パブリックドメイン。 ウラムのロスアラモスの身分証：出典ページ · パブリックドメイン。 このサイトのためにつくった図 表紙と、ミニマックス定理、モンテカルロ法、マージソートの動く図は、この連載のためにつくったもので、サイトの四つの言語すべてで動作する。 記録 ファイル data/von_neumann_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されている。各トピックの歴史的な出典は、それぞれの記事の末尾に挙げてある。 ジョン・フォン・ノイマンの全トピック · ← ジョン・フォン・ノイマンの遺産

October 27, 2026 読んだ
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歴史的な画像と写真 すべてウィキメディア・コモンズによる。コモンズが提供する縮小画像を、圧縮以外の編集をせずに使っている。 16 歳のチューリング、アーサー・レジナルド・チャフィン撮影とされるパスポート写真：出典ページ · パブリックドメイン。 1951 年のチューリング、エリオット＆フライ写真館の肖像：出典ページ · パブリックドメイン。 キングズ・カレッジの礼拝堂、Martinvl 撮影：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 ブレッチリー・パークの館、DeFacto 撮影：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 ローター三つのエニグマ、アメリカ国家安全保障局：出典ページ · パブリックドメイン。 復元されたボンブ、Mike Peel 撮影：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 パイロット ACE、Philafrenzy 撮影：出典ページ · CC BY 2.0。 マンチェスターの「ベビー」の複製、Parrot of Doom 撮影：出典ページ · CC BY-SA 3.0。 サックヴィル公園の像、David Dixon 撮影：出典ページ · CC BY-SA 2.0。 大型のフグの皮膚、Chiswick Chap 撮影：出典ページ · CC BY-SA 3.0。 チューリングの模様とチーター、Philip Ball 作成の図：出典ページ · CC BY 4.0。 このサイトで作成した図 表紙、対話型のチューリング機械、反応拡散のシミュレーションは、このコースのために作成した。シミュレーションはグレイ＝スコット・モデルを 200×200 の格子で計算したもので、文字を含まないので、サイトのすべての言語で使える。対話型の機械は四つの言語すべてで動作する。 記録 ファイル data/turing_imagens.json に、ダウンロードした各画像の出典、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュ値を記録している。各テーマの歴史資料は、それぞれの記事の末尾に挙げている。 アラン・チューリングの全トピック · ← アラン・チューリングの遺産

October 18, 2026 読んだ
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パスカルの遺産

心には、理性の知らない理由がある。 — ブレーズ・パスカル『パンセ』 パスカルが完成させた本はわずかです。数学について書いたもののほとんどは、一枚刷りや手紙の形で、あるいは死後に発表されました。それでも、これほど多くの場所に顔を出す著者はめったにいません。学校で習う三角形、天気予報、車のブレーキ、保険の計算、そしてプログラミング言語の名前にまで。 賭け 『パンセ』の中で最も有名な一節は、幾何学についてのものではありませんが、パスカルがフェルマーと生み出したばかりの数学を使っています。それがパスカルの賭けです。これは神の存在を証明しようとするものではありません。パスカルは、理性ではこの問いに決着がつかないと述べ、期待値のように得と損を見込みで重みづけて、どちらに賭けるほうが得かを問います。信仰の側の利得が無限大なら、正の確率でさえあれば十分です。この議論とその三つの形、ディドロとヴォルテールの反論はパスカルの賭けにまとめました。これは、不確かさのもとで選ぶための数学である意思決定理論の最初の文章とみなされています。 短くする時間がなかった 第 16 の『プロヴァンシアル』の終わりで、パスカルは読者にこう詫びています。「この手紙が長くなったのは、短くする時間がなかったからにほかなりません。」 この一文は、急いでよい文章を書かなければならない人たちに、今も引用されています。 フェルマーへの最後の手紙 1660 年、フェルマーは、トゥールーズとクレルモンのあいだの道のりを半分ずつ旅して会おうと提案しました。病気だったパスカルはそれを断り、その手紙には晩年の彼が数学をどう見ていたかが表れています。 率直に申しますと、幾何学は精神の最高の鍛錬だと思います。しかし同時に、それがあまりに役に立たないものだとも知っていますので、ただの幾何学者と腕のよい職人とのあいだに、ほとんど違いを認めません。 — ブレーズ・パスカル、フェルマーへの手紙（1660 年 8 月 10 日） 二人はついに会うことはありませんでした。 残されたもの 確率論。 1654 年の書簡はホイヘンスを刺激し、彼は 1657 年にこの分野で最初の本を出版しました。その後にヤコブ・ベルヌーイ、ド・モアブル、ラプラスが続きます。保険、宝くじ、統計学、データサイエンスは、あの手紙の子孫です。 組合せ論と帰納法。 『算術三角形論』は組合せを整理し、数学的帰納法をはじめてはっきりと述べました。 射影幾何学。 神秘の六角形は射影幾何学の基礎となる定理の一つとなり、19 世紀にポンスレやブリアンションによって再び取り上げられました。 微積分。 ライプニッツは、パスカルの四分円についての著作を読んでいるときに特性三角形の考えを得たと語っています。これは微積分への一歩でした。 物理学。 真空の実験とピュイ・ド・ドームの実験は真空嫌いの説に終止符を打ち、気圧計と高度計を生みました。パスカルの原理は、あらゆる油圧装置に使われています。 計算機。 パスカリーヌは、製造され販売された最初の計算機でした。 残った名前 1971 年、国際単位系の圧力の単位はパスカル（Pa）と名づけられました。天気予報で「1013 ヘクトパスカル」と言うとき、それは $101\,300$ Pa、つまりパスカルが義兄に測らせた海面の気圧のことです。 1970 年、スイスの計算機科学者ニクラウス・ヴィルトは、プログラミングをわかりやすく教えるための言語を作り、パスカリーヌの発明者をたたえて Pascal と名づけました。何世代もの学生がこの言語でプログラミングを学びました。 考える葦 このコースの冒頭の言葉には続きがあります。「彼をおしつぶすために、宇宙全体が武装する必要はない。一吹きの蒸気、一滴の水でも彼を殺すには十分である。だが、たとえ宇宙が彼をおしつぶしても、人間は彼を殺すものより尊い。人間は自分が死ぬことを知っているからである。」 これを書いたのは、18 歳のときから自分が長くは生きられないと知っていた人でした。 まとめ パスカルは 1623 年から 1662 年まで生きた。16 歳で六角形の定理を発表し、19 歳でパスカリーヌを作り始めた。 算術三角形では、各数はその上の二つの数の和で、$n$ 行目の和は $2^n$、そしてその数は組合せの数 $\binom nk$ である。 この三角形はパスカル以前にインド、ペルシア、中国、ヨーロッパで知られていた。彼はそれを深く研究した。 1654 年、パスカルはフェルマーとともに確率論と期待値の考えを生み出した。 サイクロイドの一つのアーチの下の面積は $3\pi r^2$ で、車輪の面積の三倍である。 静止した液体では、圧力の増加はすべての点に等しく伝わる。水圧機は力を何倍にもするが、仕事は増やさない。 ピュイ・ド・ドームの山頂では、水銀が 8.5 cm 下がった。空気には重さがある。 練習：5 レアルのくじが、25 分の 1 の確率で 100 レアルになります。期待値で考えると、買う価値はありますか？期待される利得は $100\cdot\frac{1}{25}=4$ レアルです。くじは 5 レアルなので、一枚あたりの期待値は $4-5=-1$ レアルです。平均すると、一枚ごとに 1 レアル損をします。

October 8, 2026 読んだ
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ラプラスの悪魔

私たちは宇宙の現在の状態を、それ以前の状態の結果として、またこれから来る状態の原因として考えなければならない。ある瞬間に、自然を動かしているすべての力と、自然を構成するすべての存在のそれぞれの位置を知り、しかもそれらのデータを解析にかけられるほど広大な知性があるとすれば、その知性は宇宙のもっとも大きな物体の運動も、もっとも軽い原子の運動も、同じひとつの式のうちに包みこむだろう。その知性にとって不確かなものは何もなく、未来も過去と同じように、その目の前にあるだろう。 — ピエール＝シモン・ラプラス『確率の哲学的試論』（1814） これはラプラスのもっともよく引用される一節である。ニュートン力学を最後まで押し進めた世界観がここに要約されている。運動の法則が正確で、現在が完全に知られているなら、未来は完全に決まっている。これが決定論である。 『確率の哲学的試論』1840 年版で、知性についての一節が載っているページ。Pierre-Simon Laplace · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 悪魔ではなかった悪魔 ラプラスは「悪魔」という言葉を一度も使っていない。彼が語ったのは「知性」である。このあだ名はのちに、物理学に出てくるほかの架空の存在になぞらえてつけられた。そしてこの一節の文脈はたいてい忘れられている。これは確率の本の冒頭にあり、ラプラスの議論は見かけとは正反対なのである。 彼は、人間の精神はこの知性のかすかな似姿しか示せないと言う。私たちはすべての力もすべての位置も知らず、その一部しか知らない。だからこそ確率が必要なのだ。ラプラスにとって確率が測るのは世界のなかにある偶然ではなく、私たちの部分的な無知である。投げられた硬貨は力学の法則に従っている。表の確率を $\frac{1}{2}$ と言うのは、投げる力を正確には知らないからである。継起の規則の背後にあるのも同じ見方で、確率とはわずかしか知らない者の信念の度合いなのである。 カオス ラプラスの決定論は、現在をほぼ完全に知れば、未来もほぼ完全に知れると仮定している。1890 年、三体問題を研究していたアンリ・ポアンカレは、いつもそうなるわけではないことに気づいた。ある種の系では、初期条件のごくわずかな違いが止まることなく大きくなっていく。1963 年、気象学者エドワード・ローレンツは天気のシミュレーションのなかでこの現象を再発見した。今日カオス、あるいはバタフライ効果と呼ばれるものである。 簡単な計算でこの効果の強さがわかる。最初の誤差が $10^{-10}$、つまり百億分の一で、それが一ステップごとに倍になるとする。$n$ ステップ後の誤差は $2^n \cdot 10^{-10}$ で、それが系そのものの大きさである 1 の桁に達するのは $$2^n = 10^{10} \quad\Longleftrightarrow\quad n = \frac{10}{\log_{10} 2} \approx 33$$のときである。33 ステップで、小数十けたの精度が役に立たなくなる。しかも小数を一けた増やしても、稼げるのはおよそ 3.3 ステップにすぎない。ラプラスの知性には無限の精度が必要なのである。 二十世紀には量子力学がさらに先へ進んだ。ハイゼンベルクの不確定性原理によれば、粒子の位置と速度は、同時に任意の精度で知ることさえできない。現在が未来を決めるラプラスの世界は、確率が法則そのもののなかにある世界に席をゆずった。 もうひとつの悪魔 物理学でいちばん有名な悪魔はラプラスのものではなく、ジェームズ・クラーク・マクスウェルのものである。1867 年、マクスウェルは手紙のなかで、二つの気体の部屋のあいだの小さな扉を操り、速い分子だけを一方へ、遅い分子だけを他方へ通す小さな存在を想像した。仕事を使わずに一方の部屋を温め、他方を冷やすのだから、熱力学の第二法則に反する。この存在を「悪魔」と呼んだのはウィリアム・トムソンである。それがなぜうまくいかないかの説明は二十世紀になってようやく得られ、情報とエネルギーを結びつけた。分子を選り分けるには、悪魔は測定し記憶しなければならず、その記憶を消すにはエネルギーがかかるのである。 練習：小数十五けたコンピュータはおよそ小数 15 けたで数を記憶する。誤差が一ステップごとに倍になるとき、カオス的なシミュレーションは何ステップですべての精度を失うか。 $2^n \cdot 10^{-15} \approx 1$、すなわち $n = \frac{15}{\log_{10} 2} \approx \frac{15}{0.301} \approx 50$ ステップである。使える最良の算術をもってしても、五十回ほど倍になれば予測は意味を失う。

October 30, 2026 読んだ
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歴史的な画像と写真 すべてウィキメディア・コモンズから取りました。コモンズが提供するファイルまたはサムネイルを、幅 800 ピクセル以下に縮小し、それ以外の編集はしていません。 思索するアルキメデス、ドメニコ・フェッティ画（1620 年頃）：元のページ · パブリックドメイン。 シラクサのオルティージャ島、Andrea Schaffer 撮影：元のページ · CC BY 2.0。 アルキメデスとローマの兵士、十八世紀の古代風モザイク：元のページ · パブリックドメイン。 てこで地球を動かすアルキメデス、『メカニクス・マガジン』の版画（ロンドン、1824）：元のページ · パブリックドメイン。 『球と円柱について』のラテン語写本（1270 年頃）：元のページ · パブリックドメイン。 アルキメデスの墓を見つけるキケロ、ピエール＝アンリ・ド・ヴァランシエンヌ画（1787）：元のページ · パブリックドメイン。 アルキメデスのパリンプセストの一葉、ウォルターズ美術館：元のページ · CC BY 3.0。 アルキメデスのスクリュー、『チェンバーズ二十世紀辞典』の挿絵（1908）：元のページ · パブリックドメイン。 フィールズ賞のメダル、Stefan Zachow が国際数学連合のため撮影：元のページ · パブリックドメイン。 ブログのために作った図 表紙と四つのインタラクティブな図（てこ、π をはさむ多角形、放物線の求積の三角形、螺旋）は、このサイトのオリジナルのイラストで、文字はサイトの各言語の版があります。 記録 ファイル data/arquimedes_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各トピックの歴史的な出典は、それぞれの記事の末尾にあります。 アルキメデスの全トピック · ← アルキメデスの遺産

October 30, 2026 読んだ
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パスカルの画像クレジット

歴史的な画像 すべて Wikimedia Commons から取得しました。Commons が提供するサムネイルを、編集せずに使っています。 ブレーズ・パスカルの肖像、作者不詳、1690 年ごろ、ヴェルサイユ：出典ページ · パブリックドメイン。 楊輝の三角形、朱世傑の 1303 年の書物より：出典ページ · パブリックドメイン。 『算術三角形』（Triangulus arithmeticus）の最初のページ、クレルモン・オーヴェルニュ・メトロポール所蔵本：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 パリ工芸博物館のパスカリーヌ、David Monniaux 撮影、2005 年：出典ページ · CC BY-SA 3.0。 ピュイ・ド・ドームの実験の記念碑、Agence Rol、1923 年、フランス国立図書館：出典ページ · パブリックドメイン。 サン・テティエンヌ・デュ・モン教会の墓所の銘板、Agence Meurisse、1923 年、フランス国立図書館：出典ページ · パブリックドメイン。 『パンセ』の自筆原稿、フランス国立図書館の展覧会、ActuaLitté 撮影、2016 年：出典ページ · CC BY-SA 2.0。 『パンセ』の最初のページ、1670 年版の海賊版、クレルモン・オーヴェルニュ・メトロポール所蔵：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 ブログの図版 表紙、鉢の噴水、繰り上がりの図、サイクロイドのアーチはオリジナルの図版です。三角形、賭け金の分配、水圧機の操作パネルは、このコースのために作ったものです。これらは学習のための補助で、写本の複製でも、パスカリーヌの内部機構の再現でもありません。 記録 ファイル data/pascal_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出典、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各テーマの歴史的な出典は、それぞれの記事の最後に載せています。 パスカルの全トピック · ← パスカルの遺産

October 8, 2026 読んだ
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ピエール＝シモン・ラプラスの遺産

ラプラスのページで「こうして明らかにわかる」という言葉に出会うたびに、私は、その溝を埋め、それがどうして明らかにわかるのかを突きとめて示すために、何時間もの苦しい作業が待っていると確信する。 — ナサニエル・ボーディッチ、『天体力学』について これほど多くのものに名前を残した数学者は少ない。工学部の学生は卒業するまでに三、四回はラプラスに出会うが、たいていは彼が誰だったのかを知らないままである。 彼の名を冠したもの ラプラシアン $\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$。熱、波、電気、量子力学の方程式に現れ、輪郭をくっきりさせる画像フィルターにも使われる。 ラプラス変換。回路、制御、信号の標準的な道具である。 ラプラス分布。密度は $\frac{1}{2}e^{-|x|}$ で、彼が 1774 年に誤差の法則として提案した。二つの指数関数を一点のとがりでつなぎ合わせた形をしており、今日ではロバスト統計や、個人の情報を明かさずにデータに雑音を加える差分プライバシーに使われている。 ヤング＝ラプラスの圧力 $\Delta P = \gamma\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$。表面張力 $\gamma$、曲率半径 $R_1$ と $R_2$ の曲面をはさんだ圧力差を与える。トマス・ヤングが 1805 年にこの考えに達し、ラプラスが 1806 年に数学的な形を与えた。小さな泡ほど内部の圧力が大きい理由や、細い管のなかを水がのぼる理由を説明する。 行列式のラプラス展開、積分のラプラスの方法、そしてつねに軌道の近日点を指すラプラス＝ルンゲ＝レンツ・ベクトル。 アルクイユ派 ラプラスは天文学と同じように、物理学のすべてを粒子間の力で、精密な計算によって説明したいと考えた。化学者クロード・ルイ・ベルトレの家と隣り合うアルクイユの別荘に、彼は 1806 年から若い科学者たちを集め、アルクイユ会をつくった。シメオン＝ドニ・ポアソン、ジャン＝バティスト・ビオ、フランソワ・アラゴがそこで研究し、ジョゼフ・フーリエは彼の学生だった。ラプラスの計画はいくつかの点で最終的に敗れた。光ではオーギュスタン・フレネルの波動説が粒子説に勝ち、熱では熱素が捨てられた。しかし、物理学のすべてに精密な数学を求める姿勢は残った。 1799 年に出た『天体力学』の最初の二巻。Niels Bohr Library & Archives, American Institute of Physics · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 翻訳者たち 『天体力学』は難解なことで有名だった。ラプラスは途中の手順を飛ばし、何ページもの計算が必要なところに「容易にわかる」と書いた。マサチューセッツ州セーラムの独学の航海士で保険数理士だったアメリカ人ナサニエル・ボーディッチは、1829 年から 1839 年にかけて最初の四巻を英語に訳し、すき間を埋める注釈を加えた。注釈は原文よりも多くの紙面を占めている。イギリスでは、スコットランド出身のメアリー・サマヴィルが 1831 年に『天の機構』を出版した。この著作を解説した版で、ケンブリッジで何十年も使われた。この二冊を通じて、何世代もの英語圏の読者が天体力学を学んだのである。 ゆかりの場所 ラプラスは、エッフェル塔に名前が刻まれた 72 人のフランスの科学者・技術者のひとりである。月面では、雨の海のふちにある岬がラプラス岬と呼ばれ、小惑星 4628 ラプラスも彼の名をもつ。生まれ故郷のボーモン＝アン＝オージュには、彼をしのぶ像が立っている。

October 30, 2026 読んだ
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歴史的な画像と写真 すべてウィキメディア・コモンズから取りました。コモンズが提供するサムネイルを、編集せずに使っています。 ラプラスの肖像、元老院議長の礼服姿、ジャン＝バティスト・ポラン・ゲランによる没後の肖像画（1838）：元のページ · パブリックドメイン。 ボーモン＝アン＝オージュ、コロネル・ラングロワ広場とサン＝ソヴール教会、DimiTalen 撮影（2024）：元のページ · CC0。 ジャン・ル・ロン・ダランベールの肖像、カトリーヌ・リュジュリエ画（1777）：元のページ · パブリックドメイン。 夜明けのパリ陸軍士官学校、DXR 撮影：元のページ · CC BY-SA 3.0。 ラヴォアジエとラプラスの熱量計、Henry Lascelles にもとづく John Pass の版画（1801）：元のページ · パブリックドメイン。 大理石のメートル原器、パリ、ヴォージラール通り、Airair 撮影：元のページ · CC BY-SA 3.0。 ラプラスの墓、サン＝ジュリアン＝ド＝マイヨックのコルベール＝ラプラス家霊廟、Antoine Rex 撮影：元のページ · CC0。 『宇宙体系解説』の扉、第二版（1798）、デジタル化ファイルの 3 ページ目：元のページ · パブリックドメイン。 『確率の哲学的試論』の扉と、知性についての一節があるページ、1840 年版、デジタル化ファイルの 3 ページ目と 12 ページ目：元のページ · パブリックドメイン。 『確率の哲学的試論』の 90 ページ：元のページ · パブリックドメイン。 『天体力学』の最初の二巻（1799）、アメリカ物理学協会ニールス・ボーア図書館・アーカイブ撮影：元のページ · パブリックドメイン。 ボーモン＝アン＝オージュのラプラス像、Roland Godefroy 撮影：元のページ · CC BY-SA 4.0。 ブログのために作った図 表紙と四つのインタラクティブな図（木星と土星の会合、板の上でのラプラス方程式の緩和、サイコロの和と正規曲線の比較、継起の規則）は、このサイトのオリジナルのイラストで、文字はサイトの各言語の版があります。ラプラスの足跡の地図とグラフは、ファイル data/viagens/laplace.yaml から生成しています。 記録 ファイル data/laplace_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各トピックの歴史的な出典は、それぞれの記事の末尾にあります。 ピエール＝シモン・ラプラスの全トピック · ← ピエール＝シモン・ラプラスの遺産

October 30, 2026 読んだ
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第1章：参考文献と図版出典

さらに学ぶために Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 全 2 巻. Chicago: Open Court, 1928–1929. それぞれの記号の起源についての基本文献。この章のほとんどの年代は、この本で確かめられる。 Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton: Princeton University Press, 2014. この本と同じテーマを、わかりやすく書いた歴史。 Ifrah, Georges. The Universal History of Numbers. London: Harvill Press, 1998. 記数法とゼロについて。 Klein, Jacob. Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra. Cambridge, MA: MIT Press, 1968. ディオファントスからヴィエトへの移り変わりについて。 Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. A History of Mathematics. 第 3 版. Hoboken: Wiley, 2011. Crowe, Michael J. A History of Vector Analysis. Notre Dame: University of Notre Dame Press, 1967. 四元数とベクトルの争いについて。 Maor, Eli. Trigonometric Delights. Princeton: Princeton University Press, 1998. サインと三角法の名前の歴史について。 Grabiner, Judith V. The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus. Cambridge, MA: MIT Press, 1981. バークリー、コーシー、極限について。 Miller, Jeff. Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. 1990 年代から更新されているページで、それぞれの記号の知られているかぎり最初の使用例がわかる。 MacTutor 数学史アーカイブ、セント・アンドルーズ大学：アル＝フワーリズミー、フィボナッチ、レコード、ヴィエト、ハリオット、オートレッド、ケイリー、ブール、フレーゲ、ペアノの伝記。 このサイトの以前の記事のうち、幾何学、三角法、平方根、二次方程式、対数、導関数、連鎖律、積分、極限、関数、微分方程式、群、行列、ベクトル、四元数についての記事が、この章を書き直す土台になりました。radix quadrati の話、平方完成の図、ラテン語で書いたピタゴラスの定理、斜辺や分・秒の語源、$\Sigma$ から $\int$ への移行、$1=2$ の証明、フックの法則、「熱のカノン」と誤差の伝わり方、logarithmus から $\log$ への略記、導関数と関数の語源、穴のあいた文として関数を読むこと、三角形の動きの群の九九表、四元数とベクトルの争い、そして生きた記法と不毛な記法という考えは、それらの記事から来ています。

October 10, 2026 読んだ
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+、−、×、=：記号の小さな歴史

数学でいちばん単純な記号は、いちばん若い記号でもあります。ユークリッドは $+$ を一度も書きませんでした。アル＝フワーリズミーは $=$ を一度も書きませんでした。すでに文字を使っていたヴィエトでさえ、aequatur（等しい）を略さずに書いていました。子どもが小学校一年で習う演算記号のほとんどは、15 世紀末から 17 世紀末までの約二百年のあいだに、ヨーロッパで生まれたのです。 1489ヨハネス・ヴィトマンが、ライプツィヒの商業算術の本で $+$ と $-$ を印刷する。 1525クリストフ・ルドルフが、代数の本『コス』で平方根に $\surd$ を使う。 1557ロバート・レコードが『知恵の砥石』で $=$ を考案する。 1591フランソワ・ヴィエトが、既知の量にも未知の量にも文字を使う。 1631ウィリアム・オートレッドがかけ算に $\times$ を使う。同じ年、トマス・ハリオットの遺作が出版され、$<$ と $>$ が現れる。 1637ルネ・デカルトが累乗を指数で書く：$x^3$、$x^4$。 1659ヨハン・ラーンがわり算に $\div$ を使う。 1698ライプニッツが、$\times$ と文字 $x$ を混同しないよう、かけ算に点 $\cdot$ を提案する。 プラスとマイナス：倉庫の目印 $+$ と $-$ がはじめて印刷物に登場するのは 1489 年、ヨハネス・ヴィトマンが商人のために書いた算術の手引き書です。そこではまだ演算というより、超過と不足の目印でした。商品の箱が決められた重さより重ければ $+$、軽ければ $-$ と書かれたのです。もっとも有力な説は、$+$ がラテン語の et（「と」）の略記で、急いで書くうちに十字になった、というものです。 それ以前のイタリアでは、$\bar{p}$（plus）と $\bar{m}$（minus）と書いていました。上に線を引いたこれらの文字は、ドイツの記号と百年以上も共存しました。 等号：双子の平行線 ロバート・レコードはロンドンの医師で、ほとんどすべてがラテン語で書かれていた時代に、英語で数学の本を書いていました。1557 年、『知恵の砥石』（The Whetstone of Witte）の中で、毎行 is equalle to（は等しい）と書くのにうんざりした彼は、こう説明しています。 『知恵の砥石』（1557）で、レコードが等号を紹介している箇所。平行線の長さに注目。ロバート・レコード · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 「は等しい」という言葉を何度も繰り返すわずらわしさを避けるため、私は仕事でよくやるように、一組の平行線、つまり同じ長さの双子の線を、このように置くことにする：═══。二つのものが、これ以上等しくあることはできないのだから。 — ロバート・レコード『知恵の砥石』（1557） レコードの理由は記号論的な理由であり、しかもよい理由です。この記号は、それが表すものに似ているのです。まったく同じ二本の線が、等しさという考えそのものを描いています。彼はすぐあとに、新しい記号を使った最初の方程式を書いています。 等号を使った最初の方程式。今なら 14x + 15 = 71 と書く。14 のすぐあとの記号は、レコードが未知数（「根」）を表すのに使った記号で、ϑ はふつうの数を示す。ロバート・レコード、1557 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン レコードの記号が勝つまでには長い時間がかかりました。八十年後のデカルトもまだ別の記号を使っていましたし、大陸では $=$ が差や平行を表すのに使われたこともありました。ライプニッツとその追随者たちが採用した 1700 年ごろになって、ようやく標準になったのです。

October 10, 2026 読んだ