素数はでたらめに現れるように見える。2、3、5、7、11、13、それから 17、19、23 まで間があき、29 までまた間があく。しかし遠くから眺めると、素数はある規則に従っている。$x$ 以下の素数の個数を $\pi(x)$ と書こう。まだ十代だったガウスは表を見ながら、数 $x$ の近くでは素数の密度がおよそ $\frac{1}{\ln x}$ であることに気づき、次の見積もりを提案した。

$$\pi(x) \approx \operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t}.$$

これが対数積分である。それがよい見積もりであることを証明する方法も、ずれを説明する方法も、誰も知らなかった。

八ページの論文

1859 年 11 月、ベルリン・アカデミーの会員に選ばれたリーマンは、数論についてのただ一つの論文『与えられた数より小さい素数の個数について』を送った。わずか八ページである。そのなかでリーマンは、ゼータ関数とオイラー積を使って、素数の個数の正確な公式を書いた。

この考えのいちばんすっきりした形では、リーマンが $f(x)$ と呼んだ少し修正した数え方を使う。素数は重み 1、素数の平方は重み $\frac{1}{2}$、立方は重み $\frac{1}{3}$、以下同様に数えるのである。リーマンの公式は

$$f(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{li}(x^{\rho}) - \ln 2 + \int_x^{\infty}\frac{dt}{t(t^2 - 1)\ln t}$$

と述べる。ここで和はゼータ関数の非自明な零点 $\rho$ すべてにわたる。第一項がガウスの見積もりで、最後の二項は小さい。なめらかな曲線 $\operatorname{li}(x)$ と素数のでこぼこした階段とを隔てているのは、零点にわたる和なのである。

零点の波

各零点 $\rho = \frac{1}{2} + i\gamma$（リーマン予想を仮定する）は、大きさがおよそ $\frac{\sqrt{x}}{\ln x}$ で、振動数 $\gamma$ で波打つ振動を寄与する。零点は楽器の音のようにはたらく。それをどんどん足していくと、なめらかな曲線が折れ曲がり、ついには素数の階段を一段ずつ再現する。ゼータの零点は「素数の音楽」を秘めているといわれるのはこのためである。

重みつきの数え方をもとにもどして、リーマンは本当の個数の近似として次の関数を得た。

$$R(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n}\operatorname{li}\!\left(x^{1/n}\right) = \operatorname{li}(x) - \frac{1}{2}\operatorname{li}\!\left(\sqrt{x}\right) - \frac{1}{3}\operatorname{li}\!\left(\sqrt[3]{x}\right) - \cdots.$$

ここで $\mu$ はメビウス関数である。これは $\operatorname{li}(x)$ よりずっとよい。

$x$ $\pi(x)$ $\frac{x}{\ln x}$ $\operatorname{li}(x)$ $R(x)$
100 25 21.7 30.1 25.7
1 000 168 144.8 177.6 168.4
10 000 1 229 1 085.7 1 246.1 1 226.9
1 000 000 78 498 72 382 78 628 78 527

素数定理

リーマンの論文は、主張したことをすべて証明したわけではなく、いくつかの段階は概略のままだった。しかし道すじを示した。1896 年、ジャック・アダマールとシャルル・ド・ラ・ヴァレ・プーサンはそれぞれ独立にリーマンの考えをたどり、素数定理を証明した。$\pi(x)$ と $\frac{x}{\ln x}$ は同じ割合で増える、つまり両者の比は 1 に近づく、という定理である。鍵となったのは、ゼータが直線 $\sigma = 1$ の上に零点をもたないことを示すことだった。

練習：π(30)

30 までの素数を数え、$\frac{30}{\ln 30}$ とくらべよ。

30 までの素数は 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29 の十個である。一方 $\frac{30}{\ln 30} = \frac{30}{3.401} \approx 8.8$ で、表と同じく単純な見積もりは小さめに外れる。$\operatorname{li}(30) \approx 13.0$ は大きめに外れる。

練習：重みつきの数え方

素数を 1、素数の平方を $\frac{1}{2}$、立方を $\frac{1}{3}$ と数えるリーマンの個数 $f(10)$ を求めよ。

10 までの素数は 2、3、5、7 で、4 になる。10 までの素数の平方は 4 と 9 で、$2 \cdot \frac{1}{2} = 1$。立方は 8 で $\frac{1}{3}$。四乗はない。$2^4 = 16$ ですでに 10 を超える。よって $f(10) = 4 + 1 + \frac{1}{3} = 5.33$ である。ふつうの個数との関係は $f(x) = \pi(x) + \frac{1}{2}\pi(\sqrt{x}) + \frac{1}{3}\pi(\sqrt[3]{x}) + \cdots = 4 + \frac{1}{2}\cdot 2 + \frac{1}{3}\cdot 1$ となる。

出典： Bernhard Riemann、「Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse」、Monatsberichte der Berliner Akademie（1859 年 11 月） · Harold M. Edwards、Riemann’s Zeta Function（1974） · Jacques Hadamard、「Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques」、Bulletin de la Société Mathématique de France 24（1896） · Marcus du Sautoy、The Music of the Primes（2003）。

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