Notação Matemática

Referências, créditos e fim do livro

Para aprofundar Martzloff, Jean-Claude. A History of Chinese Mathematics. Berlim: Springer, 1997. Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony W.-C. The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford: Oxford University Press, 1999. Ifrah, Georges. Histoire universelle des chiffres. Paris: Robert Laffont, 1994. Ascher, Marcia; Ascher, Robert. Code of the Quipu. Ann Arbor: University of Michigan Press, 1981. Alder, Ken. The Measure of All Things: The Seven-Year Odyssey and Hidden Error That Transformed the World. Nova York: Free Press, 2002. Einstein, Albert. Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. Annalen der Physik, 49, 1916, p. 769–822. Weil, André. Souvenirs d’apprentissage. Basileia: Birkhäuser, 1991. Iverson, Kenneth E. A Programming Language. Nova York: Wiley, 1962. Iverson, Kenneth E. Notation as a tool of thought. Communications of the ACM, 23(8), 1980, p. 444–465. Knuth, Donald E. Two notes on notation. American Mathematical Monthly, 99(5), 1992, p. 403–422. Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Concrete Mathematics. Reading: Addison-Wesley, 1989. Backus, John et al. The FORTRAN automatic coding system. Proceedings of the Western Joint Computer Conference, 1957, p. 188–198. Stigler, Stephen M. Stigler’s law of eponymy. Transactions of the New York Academy of Sciences, 39, 1980, p. 147–157. Carraher, Terezinha N.; Carraher, David W.; Schliemann, Analúcia D. Mathematics in the streets and in schools. British Journal of Developmental Psychology, 3, 1985, p. 21–29. Carraher, Terezinha N.; Carraher, David W.; Schliemann, Analúcia D. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 1988. D’Ambrosio, Ubiratan. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. Gerdes, Paulus. Geometry from Africa: Mathematical and Educational Explorations. Washington: Mathematical Association of America, 1999. Appel, Kenneth; Haken, Wolfgang. Every planar map is four colorable. Illinois Journal of Mathematics, 21, 1977, p. 429–567. Hales, Thomas et al. A formal proof of the Kepler conjecture. Forum of Mathematics, Pi, 5, 2017, e2. Moura, Leonardo de; Ullrich, Sebastian. The Lean 4 theorem prover and programming language. CADE 28, Springer, 2021. Fontes das imagens Imagem Fonte Licença Algarismos de varetas no Shushu jiuzhang de Qin Jiushao (1247) Wikimedia Commons domínio público Página 62 do Códice de Dresden, reprodução de Sylvanus Morley Wikimedia Commons domínio público Quipu inca do Museu Larco, Lima Wikimedia Commons CC BY 2.0, bobistraveling Mostrador da hora decimal, de Hanin (c. 1793) Wikimedia Commons domínio público Albert Einstein em 1921, por Ferdinand Schmutzer Wikimedia Commons domínio público Cartões perfurados com Fortran Wikimedia Commons domínio público O triângulo no Siyuan yujian de Zhu Shijie (1303) Wikimedia Commons domínio público Ubiratan D’Ambrosio recebendo a medalha Kenneth O. May (2001) Wikimedia Commons CC BY-SA 4.0, ICHM Mapa pintado com quatro cores Wikimedia Commons CC BY-SA 3.0, Inductiveload As figuras interativas (as três escritas de um número e a hora decimal) funcionam nos quatro idiomas do site. O registro das imagens baixadas, com o hash de cada arquivo, está em data/semiotica_imagens.json.

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Notação e cultura: roteiro e glossário

Este capítulo leu a notação como produto de pessoas, lugares e ferramentas. O roteiro abaixo junta as perguntas que ajudam a fazer essa leitura com qualquer sinal. Cinco perguntas para uma notação De que ferramenta ela nasceu? O tabuleiro das varetas, o cartão perfurado, o teclado do APL, o quadro-negro. A forma dos sinais costuma guardar a forma da ferramenta. Que comunidade a usa? Físicos, engenheiros, programadores, feirantes. A mesma letra pode ter sentidos diferentes em cada tribo, como $\log$ ou $j$. O que ela substituiu, e por quê? O metro substituiu medidas locais porque o comércio ganhava com isso; a hora decimal não substituiu nada porque ninguém ganhava. Quem ela deixa de fora? Toda abreviação cobra um pedágio de quem não conhece a convenção. Quem escreve para muitos leitores desfaz o atalho pelo menos uma vez. O que ela torna pensável? As varetas vermelhas e pretas tornaram pensáveis os números negativos; o colchete de Iverson torna contagens em somas; a escrita formal torna possível que uma máquina confira uma prova. A leitura completa de um sinal: o igual de um programa Considere a linha total = total + preco, num programa de caixa de supermercado.

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Notação para máquinas: provas que o computador confere

Durante dois mil anos, uma prova matemática foi um texto escrito para ser lido por pessoas. Ela podia pular passos “evidentes”, apoiar-se num desenho, usar convenções da comunidade. O leitor completava o resto. Nos últimos cinquenta anos, apareceu um leitor que não completa nada: o computador. As quatro cores Quantas cores bastam para pintar qualquer mapa de modo que países vizinhos tenham cores diferentes? A resposta, quatro, foi conjecturada em 1852 e resistiu mais de um século. Em 1976, Kenneth Appel e Wolfgang Haken, da Universidade de Illinois, a demonstraram reduzindo o problema a quase dois mil casos que um computador verificou um por um, em mais de mil horas de máquina.

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Na vida dez, na escola zero: a matemática fora do papel

No início dos anos 1980, três pesquisadores da Universidade Federal de Pernambuco, Terezinha Nunes Carraher, David Carraher e Analúcia Schliemann, foram às feiras do Recife conversar com crianças e adolescentes de 9 a 15 anos que vendiam cocos, milho e pipoca. Faziam-se de fregueses e propunham contas na hora da compra. Depois, voltavam com as mesmas contas escritas no papel, do jeito da escola. O resultado, publicado em 1985 com o título Mathematics in the streets and in schools, ficou famoso. Na feira, as crianças acertaram cerca de 98% das contas. Com as mesmas contas apresentadas como problemas escritos, cerca de 74%. Como exercícios de conta armada, sem história, cerca de 37%. O livro que os autores publicaram depois, no Brasil, resumiu a situação no título: Na vida dez, na escola zero (1988).

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Os nomes nos teoremas: a lei de Stigler

Os nomes dos teoremas, das fórmulas e dos números são uma parte da notação que quase ninguém questiona. Escrevemos “triângulo de Pascal”, “equação de Pell”, “regra de L’Hôpital” como se o nome fosse uma etiqueta neutra. Não é: o nome registra quem foi lido, por quem e em que língua. Uma lei que se confirma a si mesma Em 1980, o estatístico americano Stephen Stigler publicou um artigo com uma lei provocadora: nenhuma descoberta científica leva o nome de quem a descobriu primeiro. E, para completar, atribuiu a lei ao sociólogo Robert K. Merton, que já tinha estudado o fenômeno. A lei de Stigler da eponímia é, portanto, um exemplo de si mesma. Exagera, mas acerta com uma frequência incômoda.

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O igual que manda: x = x + 1 e as linguagens de programação

Para um matemático, a linha $$x = x + 1$$é uma equação sem solução: subtraindo $x$ dos dois lados, sobra $0 = 1$. Para um programador, é uma das linhas mais comuns que existem, e quer dizer “pegue o valor de $x$, some um e guarde o resultado em $x$”. O mesmo sinal, nas duas comunidades, faz trabalhos opostos: lá ele afirma uma igualdade; aqui ele manda fazer uma atribuição.

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A notação como ferramenta de pensamento: Iverson

Em 1962, o canadense Kenneth Iverson, que tinha sido professor em Harvard e então trabalhava na IBM, publicou um livro chamado A Programming Language. Apesar do título, era um livro de notação matemática: um jeito de escrever algoritmos de forma concisa e precisa, com símbolos novos para operações sobre listas e tabelas inteiras de números. Poucos anos depois, a própria IBM transformou essa notação numa linguagem que um computador podia executar, e ela ganhou o nome do livro: APL.

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Convenções de tribo: Einstein, Bourbaki e o leitor iniciado

Uma notação não pertence a todos os matemáticos da mesma maneira. Cada área, às vezes cada escola, tem os seus atalhos, e quem chega de fora tropeça neles. Isso não é defeito: é a mesma coisa que acontece com qualquer língua viva, que se divide em sotaques e jargões. Mas tem consequências para quem lê e para quem aprende. Einstein apaga o somatório Em 1916, no artigo que apresentou a relatividade geral, Albert Einstein precisava escrever centenas de expressões como

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O metro venceu, a hora decimal não

Em 1793, no auge da Revolução Francesa, a Convenção Nacional decidiu que o tempo também seria decimal. O dia passaria a ter 10 horas, cada hora 100 minutos e cada minuto 100 segundos. Relojoeiros fizeram mostradores novos, alguns com as duas escalas lado a lado para que o povo se acostumasse. Mostrador de papel apresentado pelo relojoeiro Hanin à Convenção Nacional, com as horas novas em algarismos arábicos e as antigas em romanos, para comparar: “relação das novas horas com as antigas, adotada pela Convenção Nacional”.Hanin · Wikimedia Commons · domínio público A hora decimal tornou-se obrigatória no fim de 1794 e foi suspensa em abril de 1795, dezessete meses depois de decretada. Ninguém queria trocar o relógio de casa, os relógios das igrejas continuaram batendo doze, e a nova hora não tinha nenhuma vantagem prática que compensasse o incômodo. O calendário republicano, com meses de 30 dias divididos em três “décadas” de 10, durou um pouco mais: Napoleão o aboliu no início de 1806.

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Outras escritas, outras matemáticas: varetas, pontos e nós

A escrita dos números que usamos hoje parece natural porque é a única que aprendemos. Mas outras culturas resolveram o mesmo problema, escrever quantidades e fazer contas com elas, de maneiras diferentes, e cada solução deixou marcas no que essas culturas puderam pensar. As varetas chinesas Durante quase dois mil anos, os matemáticos chineses calcularam com varetas: pauzinhos de bambu, osso ou metal arrumados sobre um tabuleiro dividido em colunas. Cada coluna era uma casa decimal, e um algarismo de 1 a 5 se fazia com o mesmo número de varetas; de 6 a 9, com uma vareta que valia cinco e mais algumas. Para que as colunas vizinhas não se confundissem, as varetas alternavam de posição: em pé nas unidades, deitadas nas dezenas, em pé de novo nas centenas.

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Referências e créditos

Para aprofundar Seron, Xavier; Fayol, Michel. Number transcoding in children: a functional analysis. British Journal of Developmental Psychology, 12, 1994, p. 281–300. Miura, Irene T.; Kim, Chungsoon C.; Chang, Chih-Mei; Okamoto, Yukari. Effects of language characteristics on children’s cognitive representation of number: cross-national comparisons. Child Development, 59, 1988, p. 1445–1450. Skemp, Richard R. Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77, 1976, p. 20–26. Gray, Eddie M.; Tall, David O. Duality, ambiguity, and flexibility: a “proceptual” view of simple arithmetic. Journal for Research in Mathematics Education, 25(2), 1994, p. 116–140. Halliday, Michael A. K. Language as Social Semiotic. Londres: Edward Arnold, 1978. O capítulo sobre o registro matemático. Pimm, David. Speaking Mathematically: Communication in Mathematics Classrooms. Londres: Routledge & Kegan Paul, 1987. Baruk, Stella. L’âge du capitaine: de l’erreur en mathématiques. Paris: Seuil, 1985. Brousseau, Guy. Théorie des situations didactiques. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1998. Pólya, George. How to Solve It. Princeton: Princeton University Press, 1945. Em português: A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978. Matz, Marilyn. Towards a process model for high school algebra errors. In: Sleeman, D.; Brown, J. S. (orgs.). Intelligent Tutoring Systems. Londres: Academic Press, 1982, p. 25–50. Gray, Jeremy J. A commentary on Gauss’s mathematical diary, 1796–1814, with an English translation. Expositiones Mathematicae, 2, 1984, p. 97–130. Berndt, Bruce C. Ramanujan’s Notebooks, partes I a V. Nova York: Springer, 1985–1998. Kanigel, Robert. The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan. Nova York: Scribner, 1991. Halmos, Paul R. How to write mathematics. L’Enseignement Mathématique, 16, 1970, p. 123–152. Knuth, Donald E.; Larrabee, Tracy; Roberts, Paul M. Mathematical Writing. Washington: Mathematical Association of America, 1989. Nemeth, Abraham. The Nemeth Braille Code for Mathematics and Science Notation. Louisville: American Printing House for the Blind, 1972. Fontes das imagens Imagem Fonte Licença O osso de Ishango Wikimedia Commons CC BY-SA 4.0, Joeykentin Cálculo mental, de Nikolai Bogdanov-Belsky (1895) Wikimedia Commons domínio público Primeira anotação do diário de Gauss (1796) Wikimedia Commons domínio público O “ΕΥΡΗΚΑ” do diário de Gauss (1796) Wikimedia Commons domínio público Página dos cadernos de Ramanujan Wikimedia Commons domínio público O cubaritmo em Recherches et inventions (1926) Wikimedia Commons domínio público As figuras interativas (os números escritos como se fala, as regras falsas e o eureka de Gauss) funcionam nos quatro idiomas do site. O registro das imagens baixadas, com o hash de cada arquivo, está em data/semiotica_imagens.json.

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Como aprender a ler e escrever matemática: roteiro e glossário

Este capítulo acompanhou quem aprende: a criança que transcreve números, o aluno que lê um enunciado, o estudante que escreve uma solução. O roteiro abaixo junta os hábitos que ajudam em todos esses momentos. Seis hábitos Leia com lápis na mão. Um texto de matemática é denso: uma linha pode valer um parágrafo. Paul Halmos aconselhava: “Não leia apenas; brigue com o texto.” Refaça as contas, invente exemplos, pergunte por que cada passo vale. Leia em voz alta. Dizer $\sum_{k=1}^{n} k^2$ como “a soma de $k$ ao quadrado, para $k$ de um até $n$” obriga a reconhecer cada parte. Onde a fala trava, a leitura também travou. Olhe a forma antes de calcular. Qual é a última operação? Há repetições, simetrias, um número que aparece duas vezes? O quadro de Bogdanov-Belsky se resolve olhando. Traduza nos dois sentidos. Do texto para a fórmula, dando nome e unidade a cada incógnita; e da fórmula de volta para o texto, para conferir se ela diz o que o problema diz. Teste com números. Antes de confiar numa regra, substitua valores pequenos. Um contraexemplo derruba uma regra falsa; muitos exemplos não provam uma verdadeira, mas dão confiança para procurar a prova. Escreva para alguém. Frases completas, palavras entre as fórmulas, o objetivo anunciado antes das contas. Se um colega não consegue seguir a solução, ela ainda não está pronta. A leitura completa de uma solução mal escrita Um aluno entrega a seguinte solução para “resolva $2x + 3 = 11$”:

October 25, 2026 Iniciar leitura