Este capítulo acompanhou quem aprende: a criança que transcreve números, o aluno que lê um enunciado, o estudante que escreve uma solução. O roteiro abaixo junta os hábitos que ajudam em todos esses momentos.

Seis hábitos

  1. Leia com lápis na mão. Um texto de matemática é denso: uma linha pode valer um parágrafo. Paul Halmos aconselhava: “Não leia apenas; brigue com o texto.” Refaça as contas, invente exemplos, pergunte por que cada passo vale.
  2. Leia em voz alta. Dizer $\sum_{k=1}^{n} k^2$ como “a soma de $k$ ao quadrado, para $k$ de um até $n$” obriga a reconhecer cada parte. Onde a fala trava, a leitura também travou.
  3. Olhe a forma antes de calcular. Qual é a última operação? Há repetições, simetrias, um número que aparece duas vezes? O quadro de Bogdanov-Belsky se resolve olhando.
  4. Traduza nos dois sentidos. Do texto para a fórmula, dando nome e unidade a cada incógnita; e da fórmula de volta para o texto, para conferir se ela diz o que o problema diz.
  5. Teste com números. Antes de confiar numa regra, substitua valores pequenos. Um contraexemplo derruba uma regra falsa; muitos exemplos não provam uma verdadeira, mas dão confiança para procurar a prova.
  6. Escreva para alguém. Frases completas, palavras entre as fórmulas, o objetivo anunciado antes das contas. Se um colega não consegue seguir a solução, ela ainda não está pronta.

A leitura completa de uma solução mal escrita

Um aluno entrega a seguinte solução para “resolva $2x + 3 = 11$”:

$$2x + 3 = 11 = 2x = 8 = x = 4.$$
  1. O que está certo: a resposta, $x = 4$, e as contas.
  2. O que está escrito: uma corrente de igualdades que afirma $11 = 8 = 4$, o que é falso. O sinal $=$ foi usado como “e então”, um dos usos que o capítulo 4 mostrou que precisam ser separados.
  3. A regra que o aluno seguiu: “escrever o que faço, em ordem, com iguais entre os passos”, uma regra coerente que mistura o registro da fala com o dos sinais.
  4. Uma reescrita: “Subtraindo $3$ dos dois lados, $2x = 8$. Dividindo por $2$, $x = 4$. Conferindo: $2 \cdot 4 + 3 = 11$.”
  5. O que se ganhou: cada linha agora é verdadeira sozinha, e o leitor sabe o que foi feito entre uma e outra.

Glossário

  • Transcodificação. Passagem de um número de uma representação para outra, como da palavra falada para o numeral escrito.
  • Erro de transcodificação. Escrever o número como se fala, pedaço por pedaço: $3004$ para “trezentos e quatro”.
  • Registro matemático. A variedade da língua usada para falar de matemática, com palavras comuns em sentidos combinados (Halliday).
  • Contrato didático. Conjunto de regras tácitas que alunos e professores seguem sem dizer, como “todo problema tem resposta” (Brousseau).
  • Palavra-chave. Palavra do enunciado tomada como ordem de operação (“mais” manda somar). Funciona às vezes e engana muito.
  • Convenção. Regra combinada, que poderia ser outra: a ordem das operações, a vírgula decimal, o sentido de $\operatorname{sen}^2 x$.
  • Regra falsa. Regra errada construída por analogia com uma certa, como $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ a partir da distributiva (Matz).
  • Contraexemplo. Um caso em que uma afirmação geral falha. Basta um para derrubá-la.
  • Proceito. Símbolo que é ao mesmo tempo um processo e o objeto que ele produz, como $3+4$ ou $13^2$ (Gray e Tall).
  • Compreensão instrumental e relacional. Saber aplicar a regra, e saber também por que ela vale (Skemp).
  • Notação linear. Escrita em uma só linha, com sinais de abertura e fechamento no lugar da posição: o Braille de Nemeth, o TeX, a calculadora.
Exercício: aplique o roteiro

Um aluno escreve: “$\sqrt{x^2 + 9} = x + 3$, então para $x = 4$ dá $7$.” Use o hábito 5.

Para $x = 4$: $\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$, e não $7$. A regra usada, $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$, é uma regra falsa por analogia com a distributiva; um único teste com números a derruba. A igualdade $\sqrt{x^2+9} = x + 3$ só vale para $x = 0$.

Exercício: leia em voz alta

Leia em voz alta, sem ambiguidade: $\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} x_k$. O que a expressão calcula?

“Um sobre $n$, vezes a soma de $x$ índice $k$, para $k$ de um até $n$.” É a média aritmética dos números $x_1, x_2, \ldots, x_n$: soma todos e divide pela quantidade. Dizer a expressão em voz alta ajuda a reconhecer, nela, uma ideia conhecida.

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