Uma notação não pertence a todos os matemáticos da mesma maneira. Cada área, às vezes cada escola, tem os seus atalhos, e quem chega de fora tropeça neles. Isso não é defeito: é a mesma coisa que acontece com qualquer língua viva, que se divide em sotaques e jargões. Mas tem consequências para quem lê e para quem aprende.

Einstein apaga o somatório

Em 1916, no artigo que apresentou a relatividade geral, Albert Einstein precisava escrever centenas de expressões como

$$\sum_{\mu=1}^{4} a_\mu b^\mu = a_1 b^1 + a_2 b^2 + a_3 b^3 + a_4 b^4.$$

Ele percebeu que, nas suas fórmulas, a soma aparecia sempre que um índice se repetia, uma vez embaixo e uma vez em cima. Então combinou com o leitor: quando um índice aparecer duas vezes, a soma está subentendida, e o $\Sigma$ não precisa ser escrito. A expressão acima fica só $a_\mu b^\mu$.

Albert Einstein durante uma conferência em Viena, em 1921, retratado por Ferdinand Schmutzer.
Albert Einstein durante uma conferência em Viena, em 1921, retratado por Ferdinand Schmutzer.Ferdinand Schmutzer · Wikimedia Commons · domínio público

Conta-se que Einstein brincou com um amigo: “Fiz uma grande descoberta em matemática: suprimi o sinal de soma toda vez que a soma deve ser feita sobre um índice que aparece duas vezes.” A brincadeira tem fundo sério. A convenção de Einstein é hoje a língua franca da relatividade e da geometria diferencial; um físico lê $R_{\mu\nu} g^{\mu\nu}$ sem pensar que há uma soma dupla de dezesseis parcelas escondida ali. Um estudante de outra área vê duas letras e não vê soma nenhuma.

Os sinais de Bourbaki

O grupo Nicolas Bourbaki, o matemático coletivo francês que reescreveu os fundamentos da matemática a partir de 1935, deixou marcas na notação que hoje parecem universais. O sinal $\varnothing$ do conjunto vazio foi escolhido por André Weil, que conhecia a letra Ø do alfabeto norueguês, para o primeiro volume dos Elementos de matemática, em 1939. E nas margens dos livros de Bourbaki aparece um sinal de trânsito, a curva perigosa ☡, avisando o leitor de que o trecho exige atenção redobrada.

Uma letra, várias tribos

  • $i$ ou $j$? Para os matemáticos, $\sqrt{-1}$ é $i$. Para os engenheiros eletricistas, é $j$, porque o $i$ já estava ocupado pela corrente elétrica. Os dois escrevem a mesma coisa como $3 + 4i$ e $3 + 4j$.
  • $\log$. Para muitos matemáticos, $\log x$ é o logaritmo natural, de base $e$. Para engenheiros e calculadoras, é o de base 10. Para cientistas da computação, quase sempre é o de base 2. Os três sentidos convivem em livros publicados no mesmo ano.
  • $\langle \psi |$. Os físicos quânticos escrevem estados com os colchetes de Paul Dirac (1939), o bra $\langle \phi |$ e o ket $| \psi \rangle$, que juntos formam o bracket $\langle \phi | \psi \rangle$. A notação faz um trocadilho com a palavra inglesa para colchete e, ao mesmo tempo, faz certos cálculos quase se escreverem sozinhos.
Exercício: desfazer a convenção

Com índices de 1 a 3 e a convenção de Einstein, escreva por extenso $a_i b_i$ e $\delta_{ii}$, em que $\delta_{ij}$ vale $1$ se $i = j$ e $0$ caso contrário.

$a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$: é o produto escalar do capítulo 1. E $\delta_{ii} = \delta_{11} + \delta_{22} + \delta_{33} = 3$: o índice repetido manda somar, e o resultado é a dimensão do espaço.

Exercício: o j do engenheiro

Um engenheiro escreve a impedância $Z = 3 + 4j$. Qual é o seu módulo, e como um matemático escreveria o mesmo número?

O matemático escreveria $z = 3 + 4i$. Nos dois casos, o módulo é $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. A troca de letra não muda nada no cálculo; muda só quem se sente em casa lendo a fórmula.

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