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A vida de William Rowan Hamilton

Linha do tempo 1805Nasce na noite de 3 para 4 de agosto, em Dublin, filho de um advogado. 1808Vai morar em Trim com o tio James, clérigo e professor, que lhe ensina línguas. 1818Enfrenta o calculista americano Zerah Colburn, e a derrota o leva à matemática. 1823Entra no Trinity College de Dublin em primeiro lugar. 1827Ainda aluno, é nomeado Astrônomo Real da Irlanda. Visita Wordsworth no Distrito dos Lagos. 1832Prevê a refração cônica, observada semanas depois por Humphrey Lloyd. 1833Casa-se com Helen Bayly. Apresenta os números complexos como pares. 1834Publica o método geral em dinâmica. 1835Recebe o título de cavaleiro e passa a ser Sir William. 1837Torna-se presidente da Royal Irish Academy. 1843Em 16 de outubro descobre os quatérnios e grava a fórmula numa ponte. 1853Publica as Lectures on Quaternions. 1857Inventa o jogo icosiano. 1865É o primeiro estrangeiro eleito para a Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos. Morre em 2 de setembro, em Dunsink. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1805–1808 DublinNasce na noite de 3 para 4 de agosto de 1805, na Dominick Street, filho de um advogado. Aos três anos é mandado para a casa de um tio. 1808–1823 TrimCresce com o tio James, clérigo e professor, que lhe ensina línguas. Aos treze anos diz conhecer uma dúzia delas, do latim ao persa. 1823–1827 Trinity CollegeEstuda em Dublin e ganha os prêmios máximos em letras clássicas e em ciências. Ainda aluno, apresenta a teoria dos sistemas de raios. 1827 Rydal MountVisita William Wordsworth no Distrito dos Lagos. Os dois ficam amigos para a vida, e o poeta o aconselha a deixar a poesia para a ciência. 1827–1865 Observatório de DunsinkAos 21 anos, torna-se Astrônomo Real da Irlanda. Ali escreve a óptica, a mecânica e os quatérnios. Morre no observatório em 2 de setembro de 1865. 1843 Ponte BroomEm 16 de outubro, caminhando com a mulher ao longo do Canal Real, encontra a regra dos quatérnios e a grava numa pedra da ponte. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. De Dublin a Dunsink, com um desvio pela casa de Wordsworth, no Distrito dos Lagos. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 27, 2026 Iniciar leitura
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Os sistemas de raios e a refração cônica

No começo do século XIX a óptica era uma coleção de casos: o espelho plano, o espelho curvo, a lente, o prisma, cada um com as suas fórmulas. Hamilton, ainda estudante, perguntou-se se não havia uma única ideia por trás de todos. O resultado foi a Teoria dos sistemas de raios, lida na Royal Irish Academy em 1827 e ampliada nos anos seguintes. Uma função para governar todos os raios O ponto de partida é um princípio de Fermat: a luz vai de um ponto a outro pelo caminho que leva o menor tempo, ou, mais exatamente, um tempo estacionário. Hamilton tomou esse tempo como função das extremidades. Para dois pontos $A$ e $B$, seja $V(A, B)$ o “comprimento óptico” do caminho da luz entre eles: a distância percorrida em cada meio, multiplicada pelo índice de refração desse meio. Ele chamou $V$ de função característica.

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Os números complexos como pares

No começo do século XIX os números complexos já eram usados havia trezentos anos, desde Cardano e Bombelli, e Euler tinha feito maravilhas com eles. Wessel, Argand e Gauss os tinham desenhado como pontos do plano. Mas continuava o desconforto: o que é, afinal, $\sqrt{-1}$? Um número que, ao quadrado, dá negativo parecia uma ficção útil, não um objeto da matemática. Hamilton resolveu a questão sem desenhar nada. No ensaio Teoria das funções conjugadas, ou pares algébricos, apresentado à Royal Irish Academy em 1833 e 1835 e publicado em 1837, ele propôs que um número complexo é um par ordenado de números reais, e nada mais.

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A mecânica de Hamilton

Em 1788 Lagrange tinha transformado a mecânica de Newton num conjunto de equações que valiam em quaisquer coordenadas. Hamilton admirava esse livro, que chamou de “uma espécie de poema científico”. Em 1834 e 1835, nos dois ensaios Sobre um método geral em dinâmica, levou a ideia adiante, trazendo para a mecânica o que tinha aprendido com os raios de luz. Posição e momento Lagrange descrevia um sistema pelas posições $q$ e pelas velocidades $\dot q$. Hamilton trocou a velocidade pelo momento $p$ (para uma partícula simples, massa vezes velocidade, $p = m\dot q$) e pôs no centro de tudo uma única função, a hamiltoniana $H(q, p)$, que na maioria dos casos é a energia total: cinética mais potencial,

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Os quatérnios: a fórmula da ponte

Depois de mostrar que os complexos são pares de números reais e que a sua multiplicação gira o plano, Hamilton quis fazer o mesmo no espaço. Procurava tripletos $a + bi + cj$, com uma multiplicação que respeitasse a lei dos módulos: o tamanho do produto deveria ser o produto dos tamanhos. Tentou durante anos, sobretudo em 1843, a ponto de os filhos lhe perguntarem toda manhã se já sabia multiplicar tripletos.

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Girar no espaço com quatérnios

Os complexos de módulo 1 giram o plano. Hamilton esperava que os seus números fizessem o mesmo no espaço, e fazem, mas de um modo mais sutil do que ele imaginou de início. A receita Escreva um ponto do espaço $(x, y, z)$ como o quatérnio puro $v = xi + yj + zk$. Para girar um ângulo $\theta$ em torno de um eixo dado por um vetor unitário $u = u_1 i + u_2 j + u_3 k$, tome

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Vetores e escalares: as palavras de Hamilton

Num quatérnio $q = a + bi + cj + dk$ há duas partes de natureza diferente. O número $a$ fica parado na reta dos números reais; a parte $bi + cj + dk$ aponta numa direção do espaço. Em 1846, Hamilton deu nomes a elas: a primeira é o escalar, porque pode ser lido numa escala, de menos a mais; a segunda é o vetor, do latim vector, “o que transporta”, porque leva um ponto até outro. As duas palavras pegaram, e hoje são usadas por quem nunca ouviu falar em quatérnios.

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O teorema de Cayley–Hamilton

Todo quatérnio $q = a + v$, com parte escalar $a$ e parte vetorial $v$, satisfaz uma equação do segundo grau com coeficientes reais. Como $v^2 = -\lvert v \rvert^2$ (veja os vetores), $$q^2 = a^2 + 2av + v^2 = a^2 - \lvert v \rvert^2 + 2av,$$e daí $$q^2 - 2a\,q + \lvert q \rvert^2 = 0, \qquad \lvert q \rvert^2 = a^2 + \lvert v \rvert^2.$$Um quatérnio é raiz de um polinômio real de grau 2, assim como um número complexo $z$ é raiz de $z^2 - 2\operatorname{Re}(z)\,z + \lvert z \rvert^2 = 0$. Nas Lectures on Quaternions, de 1853, Hamilton foi mais longe e mostrou que certas funções lineares de quatérnios também satisfazem uma equação polinomial própria, que lhe serviu para calcular as suas inversas.

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O jogo icosiano e os ciclos hamiltonianos

Em 1856, ainda às voltas com álgebras não comutativas, Hamilton inventou o cálculo icosiano: três símbolos $\iota$, $\kappa$ e $\lambda$, que obedecem às regras $$\iota^2 = 1, \qquad \kappa^3 = 1, \qquad \lambda^5 = 1, \qquad \lambda = \iota\kappa.$$Hoje diríamos que são geradores do grupo das rotações do icosaedro, o sólido de vinte faces triangulares. Hamilton apresentou o cálculo num encontro da British Association em Dublin, em 1857, e percebeu que ele descrevia caminhos ao longo das arestas do dodecaedro, o sólido de doze faces pentagonais e vinte vértices.

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O legado de William Rowan Hamilton

O princípio hamiltoniano tornou-se a pedra angular da física moderna, aquilo com que um físico espera que todo fenômeno físico esteja em conformidade. — Erwin Schrödinger (1943) Hamilton acreditava que os quatérnios seriam a sua grande obra, a linguagem da física do futuro. Errou no detalhe e acertou no essencial. A física adotou os vetores de Gibbs e Heaviside, mas a mecânica de Hamilton, que ele considerava menos importante, tornou-se a base de quase tudo o que veio depois.

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Créditos das imagens

Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons; a gravura de Kirkwood foi reduzida e o diagrama da refração cônica teve a paleta de cores reduzida, sem outra edição. Retrato de Hamilton, Library of Congress: página de origem · domínio público. Retrato a óleo de Hamilton, autor desconhecido: página de origem · domínio público. Gravura de J. Kirkwood, Wellcome Collection: página de origem · CC BY 4.0. Selo irlandês de 1943: página de origem · domínio público. A placa na ponte Broom, foto de Cone83: página de origem · CC BY-SA 4.0. A ponte Broom, foto de Johnflan: página de origem · CC BY-SA 4.0. O Observatório de Dunsink, foto de David Malone: página de origem · CC BY-SA 2.5. O Trinity College de Dublin, foto de JoachimKohler-HB: página de origem · CC BY-SA 4.0. Wordsworth no Helvellyn, pintura de Benjamin Robert Haydon: página de origem · domínio público. A refração cônica interna, de Thomas Preston e William Edward Thrift: página de origem · domínio público. Réplica do jogo icosiano na Matemateca IME-USP, Estes Objethos Atelier, foto de Alisson Ricardo: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras feitas para o blog A capa e as figuras interativas do espaço de fase do pêndulo, das rotações com quatérnios e do jogo icosiano foram feitas para esta trilha e funcionam nos quatro idiomas do site.

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