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作为数对的复数

到十九世纪初，复数已经用了三百年，从卡尔达诺和邦贝利开始，欧拉更是用它们创造了奇迹。韦塞尔、阿尔冈和高斯把它们画成了平面上的点。但不安依然存在：$\sqrt{-1}$ 究竟是什么？一个平方为负的数，看起来像是一种有用的虚构，而不是数学的对象。 哈密顿没有画任何图就解决了这个问题。在 1833 年和 1835 年提交给皇家爱尔兰学院、1837 年发表的论文《共轭函数或代数数对的理论》中，他提出：复数就是一个有序实数对，仅此而已。 游戏规则 对数对 $(a, b)$ 和 $(c, d)$，哈密顿定义 $$(a, b) + (c, d) = (a + c,\; b + d), \qquad (a, b)\cdot(c, d) = (ac - bd,\; ad + bc).$$形如 $(a, 0)$ 的数对与实数的行为完全一样：$(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)$，$(a, 0)\cdot(c, 0) = (ac, 0)$。所以可以把 $(a, 0)$ 简单地写成 $a$。而数对 $(0, 1)$ 有一个特殊的性质： $$(0, 1)\cdot(0, 1) = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1,\; 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = (-1, 0) = -1.$$把 $(0, 1)$ 记作 $i$，数对 $(a, b)$ 就是 $a + bi$，且 $i^2 = -1$。“负一的平方根”不再是个谜：它是一对服从明确乘法规则的实数。关于复数的一切，都可以用实数的算术来验证。

October 27, 2026 阅读
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黎曼曲面

黎曼 1851 年的博士论文有个朴素的标题：《单复变函数一般理论的基础》。论文中有两个改变了数学的想法：一个复变函数要有导数必须满足的条件，以及处理多值函数的一种几何方法。 可以求导的函数 复变函数 $f(z)$（$z = x + iy$）可以写成 $f = u + iv$，其中 $u$ 和 $v$ 是 $x$、$y$ 的实函数。要使 $f$ 在复数意义下有导数，也就是说，不论 $h$ 沿哪个方向趋于零，极限 $\frac{f(z + h) - f(z)}{h}$ 都相同，$u$ 和 $v$ 就必须满足柯西–黎曼方程： $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.$$柯西早已知道这组方程，黎曼把它们放到了理论的中心。一个推论是 $u$ 和 $v$ 都是调和函数，满足拉普拉斯方程，这就是复变函数如此适合描述电、热和流体的原因。 平方根的问题 有些复变函数不止一个值。最简单的例子是 $\sqrt{z}$。把 $z$ 写成极坐标形式 $z = r\,e^{i\theta}$，它的一个平方根是 $\sqrt{r}\,e^{i\theta/2}$。现在绕原点转一整圈：$\theta$ 增加 $2\pi$，点 $z$ 回到出发的位置。但平方根变成了 $$\sqrt{r}\,e^{i(\theta + 2\pi)/2} = \sqrt{r}\,e^{i\theta/2}\,e^{i\pi} = -\sqrt{r}\,e^{i\theta/2}.$$转一圈后，平方根变了号；转两圈，才回到初始值。这个函数在平面上没有良好的定义。

October 31, 2026 阅读
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四元数：桥上的公式

在证明复数就是实数对、复数乘法会旋转平面之后，哈密顿想在空间中做同样的事。他在寻找三元数 $a + bi + cj$，以及一种满足模的定律的乘法：乘积的大小应等于大小的乘积。他试了很多年，尤其是在 1843 年，以至于孩子们每天早上都问他会不会乘三元数了。 为什么三个不行 算术里藏着一个障碍。如果存在一种满足模的定律、系数为整数的三元数乘法规则，那么两个三平方和的乘积就总会是三平方和。但是 $$3 = 1^2 + 1^2 + 1^2, \qquad 5 = 2^2 + 1^2 + 0^2, \qquad 3 \times 5 = 15,$$而 $15$ 不是三个平方数之和（试试看：可用的平方数是 $0, 1, 4, 9$，任何三个的组合都凑不出 $15$）。用四个平方数，困难就消失了：$15 = 9 + 4 + 1 + 1$。而且从 1748 年起，人们就知道欧拉的四平方恒等式：两个四平方和的乘积总是四平方和。大自然似乎要求四个部分，而不是三个。 那次散步 1843 年 10 月 16 日是星期一，哈密顿和妻子沿着皇家运河从邓辛克步行去都柏林，去主持皇家爱尔兰学院的一次会议。二十二年后，他亲自向儿子讲述了当时的情景： 虽然她不时和我说话，但我心里一直有一股思想的暗流在涌动，它终于得出了一个结果，说我立刻感到了它的重要性也不为过。仿佛一条电路接通了，迸出了一个火花。[……] 我也无法抗拒那股冲动，尽管它也许并不怎么合乎哲学：在我们经过布鲁厄姆桥时，用小刀在桥的一块石头上刻下了带有符号 i、j、k 的基本公式。 — 威廉·罗恩·哈密顿，致儿子阿奇博尔德的信（1865） 这个公式是 $$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1.$$ 都柏林布鲁姆桥（旧称布鲁厄姆桥）上的纪念牌：“1843 年 10 月 16 日，威廉·罗恩·哈密顿爵士从这里经过时，灵光一闪，发现了四元数乘法的基本公式 i² = j² = k² = ijk = −1，并把它刻在了这座桥的一块石头上”。Cone83 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 乘法表 一个四元数是 $q = a + bi + cj + dk$，含四个实数。所有乘积都可以从桥上的公式推出。把 $ijk = -1$ 的右边乘以 $k$：$ijk^2 = -k$，即 $-ij = -k$，于是 $ij = k$。同样可得：

October 27, 2026 阅读
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ITA 2026 – 第一阶段：数学题详解

来源： ITA ——第一阶段试卷 和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2026 第一阶段共有 48 道选择题：数学 12 道、物理 12 道、化学 12 道、英语 12 道。 本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 1 至 12。 试卷约定。 $i^2 = -1$；$\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭；$]a, b[$ 为开区间 $a < x < b$。 答案一览 题号 内容 答案 1 复数：模与辐角 D 2 对数：用近似值解方程组 B 3 矩阵：对称、等差数列与奇异性 E 4 复数：解构成的多边形 C 5 平面几何：六角星 D 6 空间位置关系 作废 7 旋转矩阵 A 8 多项式：关于一点对称 B 9 抛物线、切线与面积 D 10 三角方程组 E 11 双射计数 A 12 半径成等比数列的相切圆 B 第 1 题：z − w 为实数，w 的辐角为 π/6 题目 设 $z, w \in \mathbb{C}$，$z - w = -2\sqrt{3}$ 且 $w \ne 0$。若 $z$ 的模为 $2\sqrt{3}$，$w$ 的辐角为 $\pi/6$，则 $z$ 的实部等于

October 28, 2026 阅读
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ITA 2025 – 第一阶段：数学题详解

来源： ITA ——第一阶段试卷 和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2025 第一阶段共有 48 道选择题：数学 12 道、物理 12 道、化学 12 道、英语 12 道。 本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 1 至 12。 试卷约定。 横轴和纵轴记作 $O_x$ 和 $O_y$，$O$ 为原点；$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$； $i^2 = -1$；$\overline{AB}$ 为线段，$AB$ 为过 $A$、$B$ 的直线。 答案一览 题号 内容 答案 1 复数：三角形 $1$、$z$、$z^2$ 的面积 B 2 多面体：是否存在 E 3 二项式定理：常数项 C 4 函数：单射与满射 D 5 数列、等差数列与等比数列 D 6 含参数的指数方程 B 7 同解的线性方程组 A 8 三角函数的定义域 E 9 旋转体 作废 10 两个多项式的公共根 D 11 共焦点的椭圆与双曲线 A 12 约数的个数 C 第 1 题：以 1、z、z² 为顶点的三角形 题目 设复数 $z = a + 2i$，其中 $a \in \mathbb{R}$ 为正数。使 $1$、$z$、$z^2$ 在复平面上对应的点构成 面积为 200 的三角形的 $a$ 的值为

October 28, 2026 阅读
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ITA 2024 – 第一阶段：数学题详解

来源： ITA ——第一阶段试卷 和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2024 第一阶段共有 60 道选择题，每科 12 道（物理、葡萄牙语、英语、数学、化学）。 本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 37 至 48。 试卷约定。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$A - B$ 为集合 $A$ 与 $B$ 的差集；$i^2 = -1$； $M_n(\mathbb{R})$ 为 $n \times n$ 实矩阵的集合；$\overline{AB}$ 为线段，$AB$ 为过 $A$、$B$ 的直线； $m(\overline{AB})$ 为 $\overline{AB}$ 的长度；$A\hat{B}C$ 为以 $B$ 为顶点的角；$\det A$ 为行列式， $A^T$ 为 $A$ 的转置。 答案一览 题号 内容 答案 37 集合运算 B 38 矩阵方程组 E 39 含反正切的二倍角 A 40 计数：抽屉原理 B 41 多项式：120 个多项式的根之和 D 42 成等比数列的根 C 43 圆柱与等比数列 E 44 多面体：欧拉公式 D 45 平面几何：四边形的面积 C 46 复数：$a^m = b^m$ D 47 解析几何：外角平分线 A 48 包含一个圆的椭圆 C 第 37 题：三个集合恒等式 题目 设 $A, B, C \subseteq \mathbb{R}$，且 $C \subseteq A$。考虑以下命题：

October 28, 2026 阅读
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ITA 2023 – 第一阶段：数学题详解

来源： ITA ——第一阶段试卷 和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2023 第一阶段共有 60 道选择题，每科 12 道（物理、葡萄牙语、英语、数学、化学）。 本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 37 至 48。 试卷约定。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$i^2 = -1$；$M_n(\mathbb{R})$ 为 $n \times n$ 实矩阵的集合；$\overline{AB}$ 为线段，$AB$ 为过 $A$、$B$ 的直线；$m(\overline{AB})$ 为 $\overline{AB}$ 的长度；$A\hat{O}B$ 为以 $O$ 为顶点的角；$\det A$ 为 $A$ 的行列式。 答案一览 题号 内容 答案 37 行列式与有唯一解的方程 C 38 复数：迭代 $f(z) = z^2 + i$ E 39 凸多边形与等差数列 B 40 多项式：根的调和平均数 C 41 指数函数：不等式 B 42 平面几何：三角形中的矩形 D 43 复数：幂之和 D 44 双曲线：与焦点构成的三角形 A 45 概率：硬币游戏 B 46 旋转体：两个圆锥 E 47 三角方程 A 48 多项式：次数为 3 的倍数的项的系数 C 第 37 题：含行列式且有唯一解的方程 题目 设 $A \in M_3(\mathbb{R})$，使得恰有一个实数 $x$ 满足方程 $\det(\sqrt[3]{2}\,x^2 A) + \det(xA^3) = \det A^2$。则 $x + \det A$ 等于

October 28, 2026 阅读
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ITA 2022 – 第二阶段：数学题详解

来源： ITA ——第二阶段数学试卷。 文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2022 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布第二阶段的官方解答；下面的解答 由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个公式或数值计算）核对过。 记号约定与第一阶段相同：$i^2 = -1$，$m(\overline{AB})$ 为线段 $\overline{AB}$ 的长度， $A\hat{O}B$ 为以 $O$ 为顶点的角。 答案一览 题号 内容 答案 1 多项式：矩形的周长 $a = \frac{164}{125}$，$b = \frac{336}{125}$ 2 复数：虚部为零 $z = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$ 3 递推定义的矩阵 725 4 计数：井字棋 120 5 反三角函数 $\frac{\pi}{4}$ 和 $\frac{3\pi}{4}$ 6 解析几何：直线夹角与距离 $Q = \left(-\frac{4}{5}, \frac{6}{5}\right)$ 7 立体几何：正六棱台 $112 + \frac{224\sqrt{3}}{3}$ 8 圆内接四边形：外接圆半径 $r = \frac{7\sqrt{3}}{3}$ 9 有公共水平切线的三个圆 $\left\{\left(1, \frac{21}{4}\right)\right\}$ 10 依次内接的正八面体与立方体 $\frac{l_{10}}{l_1} = \frac{1}{3^9}$ 第 1 题：周长为 8 的矩形的边长 题目 设 $x \in \mathbb{R}$。矩形 $R$ 的两边长为 $a = 9x^2 - 5x^4$ 和 $b = 8x - 8x^3$。 已知 $R$ 的周长为 8，求 $a$ 和 $b$。

October 28, 2026 阅读
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ITA 2022 – 第一阶段：数学题详解

来源： ITA ——第一阶段试卷 和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2022 第一阶段共有 70 道选择题：物理 15 道、葡萄牙语 15 道、英语 10 道、 数学 15 道、化学 15 道。本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 41 至 55。 试卷约定。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$i$ 为虚数单位（$i^2 = -1$）； $M_n(\mathbb{R})$ 为 $n \times n$ 实矩阵的集合；$\overline{AB}$ 为以 $A$、$B$ 为端点的线段， $m(\overline{AB})$ 为其长度；$A\hat{O}B$ 为以 $O$ 为顶点、由射线 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 构成的角。 答案一览 题号 内容 答案 41 对数：换底公式 B 42 平面几何：垂直平分线与勾股定理 E 43 同解的线性方程组 C 44 复数：关于实数的命题 A 45 多项式与复平面上的面积 D 46 矩阵：交换性与行列式 E 47 正切与等差数列 D 48 圆锥曲线：双曲线的中心 C 49 立体几何：立方体中的棱锥与外接球 D 50 空间中的位置关系 A 51 二进制表示与概率 C 52 概率：过立方体顶点的直线 A 53 三角形中的三角函数 C 54 三角方程 C 55 正弦定理与外接圆 C 第 41 题：以 120 和 14400 为底的对数之和 题目 若

October 28, 2026 阅读
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阿尔冈平面：找到位置的虚数

从十六世纪起，意大利的代数学家就知道，解某些三次方程时，即使最后的答案是实数，也得经过负数的平方根。他们用 $\sqrt{-1}$ 时很不自在。笛卡儿称之为虚数，这个名字流传了下来。莱布尼茨把它描述为“介于存在与不存在之间的两栖动物”。 问题是符号学的。$\sqrt{-1}$ 是一种遵守代数规则的写法，却不指向任何可以看见或测量的东西。实数在数轴上有位置；$\sqrt{-1}$ 却无处容身。 给虚数一个位置 《论在几何作图中表示虚量的一种方法》（巴黎，1806）的扉页，出版时没有署作者名。这本书上有朱尔·乌埃尔的手写题赠，他在 1874 年重新出版了这篇文章。Jean-Robert Argand · Wikimedia Commons · 公有领域 答案来自两位业余者。1797 年，挪威测量员卡斯帕尔·韦塞尔向丹麦科学院提交了一篇论文，一个世纪里没有人读过。1806 年，住在巴黎的瑞士簿记员让-罗贝尔·阿尔冈自费、不署名地出版了一篇小文章，提出了同样的想法：把虚数放在一条与实数轴垂直的直线上。 数 $a+bi$ 变成点 $(a,b)$：水平方向 $a$ 个单位，竖直方向 $b$ 个单位。数 $1$ 在原点右边；$-1$ 在左边；$i$ 在上方；$-i$ 在下方。原来没有对象的写法有了一个位置。有了位置，就有了意义。 乘以 i 就是旋转 看看乘以 $i$ 时会发生什么： $$1\xrightarrow{\times i}i\xrightarrow{\times i}-1\xrightarrow{\times i}-i\xrightarrow{\times i}1.$$在平面上，这四个点分别是右、上、左、下：每乘一次 $i$，就逆时针转四分之一圈，即 $90°$。这对任何数都成立：$i(a+bi)=-b+ai$，就是点 $(a,b)$ 绕原点转了 $90°$。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 现在，那个看似荒谬的等式 $$i^2=-1$$说的是一件显而易见的事：两个四分之一圈就是半圈，而半圈把 $1$ 带到 $-1$。符号没有变，却不再神秘。这正是第2章借杜瓦尔研究过的现象：转换到另一个表征域——几何的表征域——揭示了代数表征域所隐藏的东西。 乘法就是旋转加伸缩 图也解释了一般的乘法。每个复数都有一个模，即到原点的距离，和一个辐角，即与实轴的夹角。规则是： 两个复数相乘，模相乘，角相加。 一次乘法变成一次旋转加一次伸缩。1831 年，高斯赋予这个想法它所缺少的声望，使用了复数一词，并开始在平面上画数。从那以后，$\sqrt{-1}$ 这种写法不再令人畏惧，复数成了电学、波动和量子力学的语言。

October 19, 2026 阅读
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FUVEST 2023 – 第二阶段：解决数学问题

来源： FUVEST – 第二阶段测试，第二天 （问题 M01 至 M06）和文件 预期方法。 FUVEST 2023的第二阶段持续了两天。第一天是葡萄牙语和写作；在 第二天，测试每个科目都有 6 个问题，数学从 M01 至 M06。每个候选人只回答了他们职业生涯的主题（在 有些职业，只有每个科目的第一个问题）。 FUVEST没有发布第二阶段的模板；决议是我们的。她透露 一份“预期方法”文件，其中包含候选人的预期路径。 下面的每个分辨率均由第二条路径检查并与此进行比较 文档。 模板 问题 主题 答案 M01 各部分相关功能：运费 a）$f_A(x) = 4x + 30$； b）$15 < x < 45$； c) 190千克和10千克，或150千克和50千克 M02 二次函数 a) $a = 1$、$b = c = 0$； b) $c = 12$； c) $b \leq -5$ 或 $b \geq 5$ M03 计数函数和概率 a) 256; b) 76; c) $\frac{91}{144}$ M04 切圆和 PG a) 6; b) $\frac{1}{3}$; c) $18\pi$ M05 不等式：NBR 阶梯 9077 a）$31 \leq L \leq 32$； b) 15步长为16,8厘米×30,4厘米； c) 最大。 $\frac{2}{3}$，分钟。 $\frac{1}{2}$ M06 复数 a) $b = -2$; b) $z = \frac{3}{2} - 2i$; c) $a < 2$, $a \neq 0$ 问题M01：两家快递公司的资费（相关功能） 陈述 两家货运公司 $A$ 和 $B$ 是竞争对手。公司 $A$ 每公斤订单收取 R$ 4,00 加上 R$ 30,00 作为固定费用。已经是 对于以下订单，公司的关税 $B$ 为每公斤 R$ 6,00，无固定费用 最多 30 公斤；对于超过 30 公斤的订单，公司 $B$ 收取 R$ 2,00 费用 每公斤，另加固定费用 R$ 120,00。

September 27, 2026 阅读