阿尔冈平面：找到位置的虚数

从十六世纪起，意大利的代数学家就知道，解某些三次方程时，即使最后的答案是实数，也得经过负数的平方根。他们用 $\sqrt{-1}$ 时很不自在。笛卡儿称之为虚数，这个名字流传了下来。莱布尼茨把它描述为“介于存在与不存在之间的两栖动物”。

问题是符号学的。$\sqrt{-1}$ 是一种遵守代数规则的写法，却不指向任何可以看见或测量的东西。实数在数轴上有位置；$\sqrt{-1}$ 却无处容身。

给虚数一个位置

答案来自两位业余者。1797 年，挪威测量员卡斯帕尔·韦塞尔向丹麦科学院提交了一篇论文，一个世纪里没有人读过。1806 年，住在巴黎的瑞士簿记员让-罗贝尔·阿尔冈自费、不署名地出版了一篇小文章，提出了同样的想法：把虚数放在一条与实数轴垂直的直线上。

数 $a+bi$ 变成点 $(a,b)$：水平方向 $a$ 个单位，竖直方向 $b$ 个单位。数 $1$ 在原点右边；$-1$ 在左边；$i$ 在上方；$-i$ 在下方。原来没有对象的写法有了一个位置。有了位置，就有了意义。

看看乘以 $i$ 时会发生什么：

$$1\xrightarrow{\times i}i\xrightarrow{\times i}-1\xrightarrow{\times i}-i\xrightarrow{\times i}1.$$

在平面上，这四个点分别是右、上、左、下：每乘一次 $i$，就逆时针转四分之一圈，即 $90°$。这对任何数都成立：$i(a+bi)=-b+ai$，就是点 $(a,b)$ 绕原点转了 $90°$。

现在，那个看似荒谬的等式

$$i^2=-1$$

说的是一件显而易见的事：两个四分之一圈就是半圈，而半圈把 $1$ 带到 $-1$。符号没有变，却不再神秘。这正是第2章借杜瓦尔研究过的现象：转换到另一个表征域——几何的表征域——揭示了代数表征域所隐藏的东西。

图也解释了一般的乘法。每个复数都有一个模，即到原点的距离，和一个辐角，即与实轴的夹角。规则是：

两个复数相乘，模相乘，角相加。

一次乘法变成一次旋转加一次伸缩。1831 年，高斯赋予这个想法它所缺少的声望，使用了复数一词，并开始在平面上画数。从那以后，$\sqrt{-1}$ 这种写法不再令人畏惧，复数成了电学、波动和量子力学的语言。

练习：不用计算求 (1 + i)²

用图来计算 $(1+i)^2$，再用代数验证。

$1+i$ 的模是 $\sqrt2$，角是 $45°$。平方后，模变成 $(\sqrt2)^2=2$，角变成 $90°$：这是原点上方 $2$ 个单位的点，即 $2i$。代数验证：$(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i$。

练习：(1 + i)⁸

计算 $(1+i)^8$。

角变成 $8\cdot45°=360°$，转了整整一圈，模变成 $(\sqrt2)^8=2^4=16$。所以 $(1+i)^8=16$，一个正实数。用代数要展开一个八次的二项式；用图，只要数圈数。